4. Optimisation des décisions dans une chaîne logistique décentralisée à deux étages de
4.2. MODÈLE DE PILOTAGE DE FLUX
Dans le système analysé, chaque entreprise dispose d’un stock de sortie à partir duquel ses demandes vont
être servies. Quand la demande arrive, elle est satisfaite s’il y a des produits en stock, sinon elle est
retardée. La gestion de stock dans les entreprises est accomplie suivant la politique de stock nominal. À
l’état initial, le stock de l’entreprise de niveau i = 1, 2 contient le niveau de stock nominal « S
i» qui
détermine le niveau maximal du stock. Le réapprovisionnement du stock est déclenché lorsque la position
de stock devient inférieure au niveau S
i, c’est-à-dire chaque fois qu’une demande arrive. Nous supposons
que la demande arrive chez le producteur à chaque fois en quantité unitaire et selon un processus de
Poisson ayant le taux λ. Pour simplifier les notations, nous supposons que le producteur utilise un produit
intermédiaire délivré par le fournisseur pour fabriquer un produit fini. De la même façon, le fournisseur
utilise une unité de matière première pour fabriquer un produit intermédiaire. Les entreprises ne disposent
pas de stocks d’entrée. Selon cette dépendance, à chaque niveau i = 1, 2, l’arrivée d’une demande unitaire
déclenche, en interne, un ordre de fabrication unitaire et en même temps une commande unitaire pour
l’entreprise de niveau i – 1. Ainsi, l’arrivée d’une demande chez le producteur génère simultanément une
demande unitaire pour chaque entreprise de niveau antérieur. Par hypothèse, l’entreprise de niveau « 0 »
est un stock infini de matière première et les temps de transport des produits entre les étages sont
négligeables. Sous ces hypothèses, les matières premières sont toujours disponibles. Par conséquent, le
fournisseur reçoit une matière première chaque fois qu’une demande arrive.
En appliquant la politique de stock nominal (S
i– 1, S
i), le système de fabrication fonctionne si le niveau
de stock est inférieur au niveau S
idans le but de le ramener à son niveau maximal. Les temps de
fabrication du produit intermédiaire chez le fournisseur et du produit fini chez le producteur sont des
variables aléatoires à distribution de probabilité exponentielle ayant respectivement les taux μ
1et μ
2(μ
1≠ μ
2). Le taux d’utilisation ρ
i= λ / μ
ide chaque entreprise i = 1, 2 satisfait la condition de stabilité
ρ
i< 1. Quand le processus de fabrication d’une unité est terminé, l’unité prend sa place dans le stock de
sortie correspondant s’il n’y a pas de ruptures de stock, ou bien elle est utilisée pour satisfaire les
commandes retardées en suivant l’ordre FIFO. Lorsqu’une unité est envoyée d’un étage à l’autre en
réponse à une demande, l’unité rejoint une file d’attente à capacité illimitée devant le serveur suivant.
Selon ces hypothèses, les produits intermédiaires dans le système sont partagés entre le stock de sortie du
fournisseur et la file d’attente du producteur. Dans la Figure 4.2, la répartition physique des produits
intermédiaires entre les entreprises est représentée par deux stations de synchronisation consécutives.
Figure 4.2. Représentation du système par les files d’attente
Pour chaque niveau i = 1, 2, l’évolution du système est décrite en utilisant des variables d’état en régime
permanent :
P
i:le nombre de commandes en attente de fabrication au niveau i
K
i: le nombre de commandes en attente de fabrication et en fabrication au niveau i (P
iplus l’unité
éventuellement en cours de fabrication)
C
i: le nombre d’unités délivrées par l’entreprise de niveau i – 1 et en attente de fabrication
au niveau i
C1 I1 B1 B2 I2 P1 μ1 Fournisseur P2 μ2 Producteur Arrivées λ∞
C2N
i: le nombre d’unités délivrés par l’entreprise de niveau i – 1 en attente de fabrication et en
fabrication au niveau i (C
iplus l’unité éventuellement en cours de fabrication)
I
i: le niveau de stock possédé du niveau i
B
i: le niveau de rupture de stock du niveau i
Notons que chaque vecteur d’état X =(X
i)
i=1,2, X = P, K, C, N, I, B, est non-négatif, X ≥ 0, par
définition.
Selon la politique de stock nominal, la position de stock (= commandes attendues + quantité en stock –
demandes retardées) reste constante au niveau S
i. Donc, S
i= K
i+ I
i– B
ien régime permanent. Par
conséquent, I
i= [S
i– K
i]
+et B
i= [K
i– S
i]
+où [x]
+dénote max{x, 0}. Sous l’hypothèse que les matières
premières sont toujours disponibles, K
1= N
1chez le fournisseur. Par contre, le nombre de commandes
dans le système de fabrication du producteur, K
2, dépend du niveau de rupture de stock du fournisseur :
K
2= B
1+ N
2(Lee et Zipkin, 1992 ; Gupta et Selvaraju, 2006).
Notons que ce système de stock nominal peut aussi être représenté sans prendre en compte la répartition
physique (ou conceptuelle) des produits intermédiaires entre les entreprises (Figure 4.3). Pour une telle
représentation, qui est plus adaptée pour un système centralisé, la relation K
2= B
1+ N
2peut être réécrit
comme K
2= I
1+ N
2+ K
1– S
1(Duri et al.,2000).
Figure 4.3. Représentation du système sans la répartition physique des produits intermédiaires
L’évolution du système peut être décrite par une chaîne de Markov en temps continu en utilisant le
vecteur d’état K =(K
i)
i=1,2qui satisfait les conditions K ≥ 0 et K
2≥ K
1– S
1(Lee et Zipkin, 1992). La
condition K
2≥K
1– S
1assure que la relation K
2= I
1+ N
2+ K
1– S
1soit toujours satisfaite. Selon la relation
K
2= I
1+ N
2+ K
1– S
1, quand le niveau de stock possédé chez le fournisseur « I
1» et le nombre de produits
intermédiaires dans le système de fabrication du producteur « N
2» deviennent nuls, le producteur ne peut
pas diminuer K
2avant que le fournisseur finisse le processus de fabrication d’un produit intermédiaire.
Autrement dit, quand le nombre total de produits intermédiaires dans le système « I
1+ N
2» devient nul,
une pénurie de produit intermédiaire est provoquée chez le producteur. Cette pénurie bloque le système
de fabrication de produits finis en présence des demandes.
I1+C2 P2 B2 I2 P1 μ1 μ2 Arrivées λ