5 Propriétés mécaniques de la pâte
5.6 Caractérisation du comportement temporel
5.6.4 Modèle Maxwell non linéaire
5.6.4.1 Généralité
Les résultats tirés des mêmes trois essais de relaxation proposés ci-haut sont de nouveau traités suivant le modèle de Maxwell non linéaire. Les contraintes tirées des paliers de relaxation correspondant aux masses volumiques 1100,9 et 1306,6 kg/m3 obtenues lors du troisième essai (paliers de relaxation de 60 s) sont aussi
traités. Les résultats sont obtenus à l’aide d’un algorithme d’optimisation afin d’établir la meilleure concordance de la courbe modélisée avec la courbe expérimentale. De plus, le modèle est confronté à une analyse de sensibilité. Seulement les résultats de l’analyse basée sur les valeurs expérimentales provenant du second essai (1296,7 kg/m3) sont présentés.
5.6.4.2 Description du modèle
Le modèle de Maxwell non linéaire est basé sur le modèle rhéologique linéaire présenté à la Figure 5.16. Il est constitué d’un ressort et un pot visqueux placés en série. Le ressort conserve ses propriétés élastiques linéaires telles que décrites par les équations 5.22 à 5.24.
𝜎 = 𝐸𝜀𝑒 ( 5.22)
Le module de Young utilisé dans l’équation est une valeur constante puisque qu’il fait référence à une masse volumique spécifique. Ainsi, la dérivée de l’équation 5.22 est :
𝜎̇ = 𝐸𝜀̇ → 𝜎̇ = 𝐸𝜀𝑒 𝑒̇ ( 5.23)
Le taux de déformation élastique est donc défini comme suit :
𝜀𝑒̇ =𝜎̇
𝐸 ( 5.24)
C’est le pot visqueux qui adopte un comportement non linéaire. L’équation 5.25 présente le comportement d’un pot visqueux non linéaire.
𝜎 = 𝜂𝑛𝜀𝑣̇ ( 5.25)
Le taux de déformation visqueux est obtenu directement en l’isolant de l’équation 5.25 :
𝜀𝑣̇ = 𝜎
𝜂𝑛 ( 5.26)
Par contre, cette équation a un déséquilibre au niveau des unités. Il est donc nécessaire de multiplier par un terme relatif non linéaire (𝜂𝜎 𝜎̃⁄ )𝑛−1 qui corrigera ce problème d’unités :
𝜀̇𝑣=𝜎̃ 𝜂( 𝜎 𝜎̃) 𝑛 ( 5.27)
Comme pour le modèle de Maxwell linéaire, le taux de déformation total est équivalent à la somme des taux de déformation élastique et visqueux :
𝜀̇ =𝜎̇ 𝐸+ 𝜎̃ 𝜂( 𝜎 𝜎̃) 𝑛 = 0 ( 5.28) 𝜀𝐸̇ = 𝜎̇ +𝐸𝜎̃(1−𝑛) 𝜂 𝜎𝑛= 0 ( 5.29)
La solution de l’équation différentielle 5.29 qui définie la contrainte a été obtenue à l’aide de Maple
𝜎(𝑡) = (𝑡(𝑛 − 1)𝐸𝜎̃(1−𝑛)𝜂 + 𝜎0(1−𝑛)) ( −1𝑛−1)
( 5.30)
où 0 représente la contrainte à l’instant t = 0 s et 𝜎̃ représente une constante arbitraire qui possède les mêmes unités que la contrainte. De l’équation 5.30, les variables 𝜎̃, et n sont à déterminer en utilisant un algorithme d’optimisation qui permet de reproduire la courbe de contrainte expérimentale.
5.6.4.3 Méthode inverse (curve fitting)
Cette section présente les résultats obtenus à l’aide de la méthode inverse basée sur l’équation 5.30 afin de reproduire les résultats expérimentaux. Cependant, l’algorithme d’optimisation n’est pas en mesure de trouver de solution à cette équation pour les données obtenues expérimentalement. Afin de réduire la complexité du problème 𝜎̃ a été posé égale à 0 qui est connu pour tous les cas. Ainsi, il n’y a que n et à déterminer. Le Tableau 5.3 présente un sommaire de toutes les valeurs obtenues dans cette section.
La Figure 5.19 présente les contraintes axiales expérimentales ainsi que les contraintes numériques obtenues par méthode inverse. Les courbes expérimentales sont tirées des premier et troisième essais pour les paliers de relaxation correspondant à une masse volumique avoisinant 1100 kg/m3, i.e. 1096,0 et 1011,9 kg/m3 pour
les essais 1 et 3 respectivement. La Figure 5.19(a) montre une correspondance très acceptable entre les deux courbes. Les coefficients n et obtenus pour tracer la courbe en pointillés rouges sont respectivement 4,822 et 1243,2 Pa·s. La Figure 5.19(b) présente deux courbes numériques. La courbe rouge a été obtenue en utilisant l’ensemble des données, correspondant aux 60 secondes de l’essai, dans l’algorithme d’optimisation. Les coefficients n et obtenus sont 6,871 et 330 Pa·s. La courbe bleue a été obtenue en utilisant seulement les données correspondant aux dix premières secondes de l’essai. Les coefficients n et obtenus sont 5,599 et 979 Pa·s. Ces coefficients présentent un rapprochement avec les valeurs obtenues relativement au premier essai. La différence peut être causée par une dissipation plus longue qui réduit les contraintes à l’intérieur de la pâte. Ceci influence la valeur de 𝜎̃ (=0) qui a pour effet de modifier la réponse au modèle (n et ).
La Figure 5.19(c) présente un grossissement de la Figure 5.19(b) pour une plage de temps de 10 secondes. La courbe bleue présente une meilleure réponse que la courbe rouge. Cependant, l’erreur sur la courbe bleue est visiblement plus grande lorsque la réponse est extrapolée à 60 s (Figure 5.19(b)). Ainsi, une période de relaxation plus longue peut augmenter la précision des coefficients n et . Par contre, la réponse sera légèrement moins bonne dans les premiers instants de l’essai où les contraintes sont majoritairement dissipées.
(b)
(c)
Figure 5.19 : Contraintes axiales expérimentale et numériques en fonction du temps tirées (a) du premier essai pour une masse volumique de 1096,0 kg/m3, (b) du troisième essai pour une masse volumique de
La Figure 5.20 présente les contraintes axiales expérimentales et les contraintes numériques relatives aux second et au troisième essais. Les paliers de relaxation correspondent à une masse volumique avoisinant 1300 kg/m3 : 1296,7 kg/m3 pour le second essai et 1306,6 kg/m3 pour le troisième essai. La Figure 5.20(a)
présente les résultats relatifs au second essai. Les coefficients n et obtenus par l’algorithme d’optimisation sont respectivement 9,656 et 1,551 MPa·s. La courbe modélisée coïncide bien avec la courbe expérimentale. Cependant, le modèle des quatre modèles de Maxwell linéaire placé en parallèle procure une réponse plus précise (Figure 5.18). La Figure 5.20(b) présente les deux courbes numériques obtenues à partir de l’ensemble des données (rouge) et à partir des données correspondant aux 25 premières secondes de l’essai (bleue). Les coefficients n et obtenus pour tracer la courbe rouge sont 13,112 et 1,409 MPa·s. Les coefficients n et
obtenus pour tracer la courbe bleue sont 12,194 et 2,046 MPa·s. La Figure 5.20(c) présente un grossissement de la Figure 5.20(b) pour une plage de temps de 25 secondes. Les deux réponses, courbes rouge et bleue, présentent de très bons résultats. Cependant, la réponse obtenue à partir des données relatives aux 25 premières secondes (bleue) est légèrement meilleure. Toutefois, l’erreur sur la courbe bleue n’est pas aussi prononcée que précédemment lorsque la réponse est extrapolée à 60 s (Figure 5.20(b)). Naturellement, ceci est dû à l’utilisation d’un échantillonnage plus grand. Il représente sensiblement la moitié des données liées à l’essai de relaxation.
(b)
(c)
Figure 5.20 : Contraintes axiales expérimentale et numériques en fonction du temps tirées (a) du second essai pour une masse volumique de 1296,7 kg/m3, (b) du troisième essai pour une masse volumique de 1306,6
La Figure 5.21 présente la contrainte axiale expérimentale et la contrainte numérique relatives au troisième essai pour le palier de relaxation correspondant à une masse volumique de 1486,2 kg/m3. La correspondance
entre les deux courbes est une fois de plus très appréciable. Les coefficients n et de la courbe modélisée sont respectivement 28,318 et 222,59 MPa·s.
Figure 5.21 : Contraintes axiales expérimentale et numériques en fonction du temps tirées du troisième essai pour une masse volumique de 1486,2 kg/m3.
Tableau 5.3 : Sommaire des valeurs obtenues et utilisées pour tracer les courbes de réponse. Masse volumique Essai η n 𝜎̃ [kg/m3] [ - ] [MPa·s] [ - ] [MPa] 1096,0 1 1,2432x10-3 4,8218 34,501x10-3 1100,9 3* 0,979x10-3 5,599 30,864x10-3 1100,9 3 0,330x10-3 6,871 30,864x10-3 1296,7 2 1,551 9,656 0,406 1306,6 3** 2,046 12,194 0,433 1306,6 3 1,409 13,112 0,433 1486,2 3 222,59 28,318 3,985
* Signifie que l’analyse a été produite à partir des valeurs liées à une période de 10 s. ** Signifie que l’analyse a été produite à partir des valeurs liées à une période de 25 s.
Le modèle de Maxwell non linéaire modélise de façon satisfaisante le comportement temporel de la pâte d’anode lors d’un essai de relaxation. Les courbes obtenues par méthode inverse (pointillé rouge) se collent bien aux
courbes expérimentales. En fait, la réponse du modèle gagne en précision avec les courbes expérimentales liées à des masses volumiques de plus en plus élevées. Les coefficients n et augmentent de façon non linéaire avec la masse volumique d’où l’essai de relaxation est tiré. Cependant, le paramètre temporel demeure erroné puisque 𝜎̃ a été arbitrairement fixé. Selon l’équation 5.30, le paramètre est fortement influencé par le coefficient 𝜎̃. Un facteur « x(n-1) » lie la valeur de à celle de 𝜎̃. À cause de cette relation, il y a une infinité de
solutions satisfaisant l’équation 5.30 qui permet d’obtenir une correspondance entre la courbe numérique et la courbe expérimentale. Ceci explique pourquoi l’algorithme d’optimisation ne parvient pas à identifier les trois coefficients inconnus (n, et 𝜎̃) de l’équation 5.30. La section qui suit propose une analyse de sensibilité relative à l’équation 5.30.
5.6.4.4 Analyse de sensibilité
L’analyse de sensibilité permet d’observer la relation entre les coefficients et 𝜎̃. Pour cette analyse, seulement les résultats liés au palier de relaxation du second essai sont présentés (1296,7 kg/m3). Les résultats liés aux
deux autres essais exhibent un comportement similaire.
La Figure 5.22 présente les surfaces de réponse illustrant la contrainte calculée à partir de l’équation 5.30. Les surfaces de réponse présentées dans cette figure font référence à un temps spécifique de l’essai. En d’autres mots, l’équation 5.30 a été évaluée pour chacun des temps de 2,5 s (courbe rouge) à 22,5 s (courbe bleue) par intervalle de 2,5 s. Le coefficient n employé correspond à la valeur obtenue précédemment de 9,70. Le coefficient a évolué suivant la plage de 1,0 Pa·s à 1,0 GPa·s et 𝜎̃ a évolué de 1,0 Pa à 3,0 MPa.
(a)
(b)
Figure 5.22 : Surfaces de réponse de la contrainte en fonction des coefficients et 𝜎̃ pour une série de temps variant de 2,5 s à 22,5 s présentées sous deux angles différents : (a) vu de haut et (b) vu de côté.
La valeur de la contrainte expérimentale associée au temps correspondant à la surface de réponse (mi)8 a été
soustraite pour mieux visualiser l’ensemble des surfaces (mi -t). Aussi, un plan représentant une contrainte nulle a été tracé (en noir). Ainsi, il est plus facile d’observer que toutes les surfaces de réponse interceptent le plan zéro selon la même courbe. Ceci confirme qu’il y a une infinité de solutions possible pour la durée de l’essai en relaxation qui prédit le comportement temporel de la pâte d’anode.
5.6.4.5 Conclusion
Le modèle de Maxwell non linéaire a été utilisé afin de modéliser des essais de relaxation réalisés sur de la pâte d’anode pour trois masses volumiques différentes. Le modèle offre une bonne prédiction du comportement temporel de la pâte en considérant que le module de Young n’est fonction que de la masse volumique E().
Cependant, la forme non linéaire ne correspond pas à la loi constitutive choisie dans ce projet. Le modèle de Maxwell non linéaire comporte trois coefficients, soit , n et 𝜎̃. Malgré qu’il y ait une relation connue entre et 𝜎̃, il est difficile d’identifier le paramètre temporel avec précision.
5.7 Conclusion
Dans ce chapitre, une méthode de caractérisation des propriétés mécaniques de la pâte d’anode à haute température en fonction de sa masse volumique a été présentée. Un essai en compression qui utilise un moule à paroi déformable a été développé. Le module de Young et le coefficient de Poisson ont été déterminés à partir des mêmes essais où la rampe de chargement a été spécifiquement réfléchie. Le comportement temporel de la pâte a nécessité une autre série d’essais avec une rampe de chargement adaptée. La méthode semble être en mesure de remplir ses objectifs de caractérisation avec l’habilité du moule à se déformer sans être endommagé. Trois essais répétés ont servi à déterminer les propriétés élastiques de la pâte : module de Young et coefficient de Poisson. Ces trois essais ont présenté des résultats expérimentaux très similaires. Les chargements ont été conçus pour exciter les propriétés mécaniques spécifiques en fonction de la masse volumique de la pâte. Les perturbations obtenues se sont avérées avoir une faible amplitude pour les masses volumiques plus petites et beaucoup plus appréciable pour les masses volumiques plus grandes que 1300 kg/m3 où les agrégats de
carbone sont entièrement consolidés (Thibodeau, et al., 2014a). Les dernières perturbations montrent une amplitude qui diminue légèrement en raison de l’endommagement des agrégats. Malgré les faibles déformations du moule observées en début d’essai, tous les états de contraintes et de déformations de la pâte nécessaires à
cette analyse ont pu être correctement évalués. Ils sont évalués à partir des déformations du moule, de la hauteur de la pâte (LVDT) ainsi que de la charge axiale appliquée (cellule de charge).
Le module de Young a été évalué uniquement en fonction de la masse volumique de la pâte. Deux courbes ont été obtenues. L’une est basée sur des données relatives aux chargements et la seconde sur des données relatives aux déchargements. De façon générale, les deux courbes présentent la même tendance. La valeur obtenue est très faible pour des masses volumiques inférieures à 1200 kg/m3 et augmente drastiquement par
la suite. Cependant, le module de Young évalué à partir des données relatives aux déchargements présente une surévaluation causée par des contraintes résiduelles à l’intérieur de la pâte. La courbe liée aux chargements est aussi possiblement affectée par des contraintes résiduelles pour les masses volumiques plus élevées. Pour contrer cet effet indésirable, une courbe de chargement a été proposée à la Figure 5.11. Cette courbe permet un relâchement total de la contrainte exercée sur la pâte entre chacun des cycles.
Le coefficient de Poisson a également été évalué selon les mêmes données relatives aux chargements et déchargements. Les courbes obtenues en fonction de la masse volumique de la pâte présentent trois sections distinctes où les tendances sont très similaires. Dans la première section qui correspond aux masses volumiques faibles, les valeurs obtenues montrent une surévaluation due à une équation très sensible aux petites perturbations. À ce niveau de compactage, la pâte n’offre aucune déformation radiale/tangentielle. Dans la partie centrale de la courbe, les valeurs du coefficient de Poisson atteignent leur maximum. Par la suite, dernière section correspondant aux masses volumiques les plus élevées, les valeurs du coefficient de Poisson diminuent. Ceci coïncide avec l’endommagement des agrégats de carbone.
L’analyse du comportement temporel de la pâte de carbone a été basée sur trois essais contenant une série de paliers de relaxation. La durée des paliers a été de 10, 25 et 60 s pour le premier, second et troisième essai respectivement. Les courbes de relaxation présentent une contrainte axiale expérimentale qui décroit selon un comportement asymptotique. Ces courbes ont une très faible amplitude pour les masses volumiques inférieures à 1250 kg/m3. Par la suite, l’amplitude augmente rapidement car des contraintes résiduelles sont cumulées.
Aussi, la pâte atteint un certain niveau de compactage qui rend les déformations plus difficiles.
Le comportement temporel de la pâte a été analysé selon trois modèles rhéologiques. Le module de Young évalué plus tôt est nécessaire pour chacune de ces analyses. Le premier modèle analysé est un modèle de Maxwell linéaire. Celui-ci correspond parfaitement à la loi constitutive choisie pour ce projet. Ce modèle n’a qu’un seul coefficient inconnu : le paramètre temporel . Toutefois, la réponse du modèle, qui a une forme exponentielle, ne parvient pas à reproduire le comportement en relaxation de la pâte. L’ajout d’un deuxième degré de liberté n’a pas suffisamment aidé pour que ce modèle soit utilisé. Le second modèle a été construit à l’aide de quatre modèles de Maxwell linéaire placés en parallèle. Les résultats obtenus sont remarquables.
Cependant, la difficulté à extraire toute l’information rend ce modèle moins attrayant. Le dernier modèle traité est un modèle de Maxwell non linéaire. Ce dernier à la même structure que le modèle de Maxwell linéaire avec pot visqueux dont le comportement est non linéaire. Toutefois, trois coefficients interviennent dans ce modèle : un terme temporel , un terme de puissance n et un terme arbitraire 𝜎̃. Les résultats obtenus conduisent à une infinité de solutions pour prédire le comportement temporel de la pâte car il existe une relation spécifique entre
et 𝜎̃. Une analyse de sensibilité a confirmé la présence de cette relation. Bien que ce modèle présente d’excellents résultats, il est difficile d’en extraire le coefficient temporel exact et d’utiliser l’ensemble des coefficients pour nourrir la loi constitutive. Le coefficient n est indépendant de et 𝜎̃ et il augmente avec la masse volumique. Le coefficient augmente également avec la masse volumique lorsque 𝜎̃ est fixé égale à la contrainte initiale 0. Les modèles de Burger et de Kelvin-Voigt ont été écartés dès le départ dû à leur forme qui ne correspond pas avec la loi constitutive et due à la difficulté d’extraire les paramètres recherchés.