Modèle de la masse effective et théorie

Le développement le plus simple de l’approximation de la fonction enveloppe est limité à la bande de conduction et est appelé le modèle de Ben Daniel – Duke ou de la masse effective [BenD 66]. Ce modèle considère que toutes les bandes à l’exception de la bande de conduction sont éloignées en énergie. L’équation de Schrödinger prend alors la forme suivante :

(−^ħ 2 2 𝑑 𝑑𝑧 1 𝑚∗(𝑧) 𝑑 𝑑𝑧^{+ 𝑈𝐻(𝑧)) 𝜓𝑛(𝑧) = (𝐸𝑛} ′ − ^ħ 2𝑘_∥2 2𝑚∗(𝑧)^{) 𝜓𝑛(𝑧) = 𝐸𝑛(𝑧) 𝜓}𝑛(𝑧)

avec 𝑚∗(𝑧) la masse effective qui correspond à la courbure des sous-bandes et est définie, dans le cas isotrope, par la relation :

𝑚∗(𝑧) = ^ħ 2 𝜕2𝐸(𝑧)

𝜕2𝑘

Les énergies 𝐸_𝑛 sont définies comme étant indépendantes de la dispersion dans le plan (𝑂𝑥𝑦), il est supposé que 𝐸𝑛^′ − ^ħ2𝑘∥²

2𝑚∗(𝑧) et la masse effective sont constantes dans les puits et les barrières. On remarque donc que la dispersion de l’énergie 𝐸𝑛 est gérée par 𝑘_∥² et possède donc une dispersion parabolique. La valeur des masses effectives des différents matériaux utilisés dans ce travail est récapitulée dans le Tableau 2.7.

𝑚𝑒,∥^∗ 𝑚_𝑒,⊥^∗ 𝑚_ℎℎ,∥^∗ 𝑚_ℎℎ,⊥^∗ 𝑚_𝑙ℎ,∥^∗ 𝑚_𝑙ℎ,⊥^∗ 𝑚_𝑠𝑜,∥^∗ 𝑚_𝑠𝑜,⊥^∗ 𝐺𝑎𝑁 ^0.206 (0.2) 0.202 (0.18) ^{1.1 1.65 1.1 0.15 0.15 1.1} 𝐴𝑙𝑁 ^0.32 (0.33) 0.3 (0.25) 3.53 (0.25) 10.42 (3.68) 3.53 (3.68) 0.24 (6.33) 0.25 (3.65) 3.81 (0.25) 𝑍𝑛𝑂 ^0.28 (0.23) 0.24 (0.21) ^{2.74 0.54 3.03 0.55 0.27 1.12}

Tableau 2.7- Valeur des masses effectives pour la structure wurtzite de GaN, AlN [Vurg 03] [Suzu 96] ([Suzu 95]) et ZnO [Lamb 02] [Bret 07] ([Lamb 02]). Les valeurs utilisées sont libres mais les différentes

valeurs trouvées dans la littérature sont mises entre parenthèses. L’équation de Schrödinger se simplifie alors de la façon suivante :

(− ^ħ 2 2𝑚∗

𝑑²

𝑑𝑧2+ 𝑈_𝐻(𝑧)) 𝜓_𝑛(𝑧) = 𝐸_𝑛 𝜓_𝑛(𝑧)

Afin de conserver la continuité de la structure de bande d’une hétérostructure, G. Bastard a proposé d’utiliser la condition de continuité aux interfaces des grandeurs 𝜓𝑛(𝑧) et _𝑚∗¹_(𝑧) 𝜓𝑛(𝑧) .

2.2 Propriétés des hétérostructires à base de semiconducteurs III-N et II-VI

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Le potentiel cristallin 𝑈_𝐻(𝑧) est quant à lui défini par une fonction en dents de scie discontinue aux interfaces puisque le champ interne peut atteindre quelques MV/cm selon l’axe c polaire et être de signe opposé entre le puits et la barrière. Le potentiel est défini par la fonction en morceaux ayant des discontinuités aux interfaces par :

𝑈_𝐻(𝑧) = {

𝑒𝐹_𝑃(𝑧 − 𝑧₁) 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠 𝑒𝐹_𝑏 (𝑧 − 𝑧₂) + 𝑐𝑠𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖è𝑟𝑒

avec 𝑧1 et 𝑧2 des constantes définies par la géométrie de l’hétérostructure.

Contrairement au modèle de la masse effective, le modèle 𝑘 ∙ 𝑝 prend en compte la dispersion de l’énergie autour du point 𝛤. De plus le modèle 𝑘 ∙ 𝑝 dans ces développements sophistiqués à 6 bandes (6𝑥6) et 8 bandes (8𝑥8) voire avec un nombre de bandes plus élevé permet la prise en compte de l’interaction entre les bandes de valence et du couplage entre bandes de valence et bande de conduction. Ces modèles sophistiqués permettent la simulation précise de structures compliquées et sont particulièrement adaptés aux semiconducteurs à petite bande interdite où les interactions entre bandes sont fortes. Néanmoins dans le cas des semiconducteurs à large bande interdite où les interactions entre bandes sont plus faibles, le modèle moins complexe et moins chronophage de la masse effective est tout à fait suffisant à l’obtention de simulations précises. Cependant en raison de la discontinuité de potentiel élevé entre l’interface GaN/AlN ou ZnO/MgO, les états excités peuvent atteindre des énergies importantes où l’effet de la non-parabolicité devient sensible. Cet effet est présent essentiellement dans les gammes du PIR et du MIR, il faut alors tenir compte de l’augmentation de la masse effective avec l’énergie. Il est cependant possible de prendre en compte le décalage vers le rouge à cause des effets non-paraboliques dans le modèle de la masse effective en y intégrant un coefficient de non-parabolicité 𝑎, défini par :

𝐸_𝑛^𝑝=^ħ 2𝑘_𝑧²

2𝑚∗ = 𝐸_𝑛^𝑛𝑝(1 + 𝑎 𝐸_𝑛^𝑛𝑝)

avec 𝐸_𝑛^𝑝, 𝐸_𝑛^𝑛𝑝 les énergies dans le modèle parabolique et non-parabolique. Ce coefficient a été évalué à 0.613 eV-1 pour le système des puits quantiques GaN/AlN dans la référence [Tche 06] et inconnu dans le système ZnO/MgO. Il est à noter l’existence d’autres modèles tenant compte de la non-parabolicité dans l’approximation de la masse effective notamment celui introduit par Nelson [Nels 87] par l’utilisation d’un second terme en k4.

Le modèle 𝑘 ∙ 𝑝 utilise les solutions exactes de l’équation de Schrödinger à 𝑘 = 0 qui sont déterminées par l’expérience puis utilise ces solutions comme bases afin de déterminer la dispersion de leur fonction d’onde et de leur énergie à des valeurs finies de 𝑘. Dans ce modèle, le terme ħ^𝒌∙𝒑_𝑚, n’est plus ignoré mais est traité comme une perturbation de l’hamiltonien. Les solutions de ce modèle sont alors du type : 𝐸_𝑛,𝒌(𝑧) = 𝐸_𝑛′ − ^ħ 2𝑘2 2𝑚∗(𝑧) ^{= 𝐸𝑛,0 + ∑ 𝜀𝑛} 𝑖 𝑖 Avec 𝜀_𝑛^𝑖 les solutions de la perturbation à l’ordre 𝑖.

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Le premier terme 𝜀𝑛¹ est nul à cause de la symétrie des fonctions périodique 𝑢𝑛,0 de Bloch. En revanche, le second terme prend la forme suivante :

𝜀_𝑛2= ^ħ 2 𝑚2 ∑ ^{|⟨𝑢𝑛,0|𝒌 ∙ 𝒑|𝑢𝑛,0⟩|} 2 𝐸_𝑛,0− 𝐸_𝑛′,0 𝑛′≠𝑛

Les ordres plus élevés sont en général négligés.

La masse effective se développe alors comme suit : 1 𝑚∗= ¹ 𝑚⁺ 2 𝑚2𝑘2 ∑ ^{|⟨𝑢𝑛,0|𝒌 ∙ 𝒑|𝑢𝑛,0⟩|} 2 𝐸_𝑛,0− 𝐸_𝑛′,0 𝑛′≠𝑛

Le terme 𝜀_𝑛² contient le terme de couplage inter-bande donnant lieu à la non-parabolicité.

Il existe plusieurs degrés de sophistication du modèle 𝑘 ∙ 𝑝 qui permettent de prendre en compte le couplage entre les différentes bandes. Le modèle 8 bandes (8𝑥8) est un bon intermédiaire entre précision et temps d’exécution des simulations et traite le couplage entre les bandes les plus proches de la bande interdite qui sont la bande de conduction avec les trois bandes de valence (HH, LH, SO). Ces modèles 𝑘 ∙ 𝑝 à plusieurs bandes nécessitent l’utilisation des paramètres de Luttinger dont l’intérêt est seulement théorique puisque leur valeur n’a pas de signification physique. Leur valeur est récapitulée dans le Tableau 2.8.

𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 𝐴6 𝐴7 𝐸_𝑃^∥ (eV) 𝐸𝑃^⊥ (eV)

𝐺𝑎𝑁 - 5.947 - 0.528 5.414 - 2.512 - 2.510 - 3.202 0 14 14

𝐴𝑙𝑁 - 3.991 - 0.311 3.671 - 1.147 - 1.329 - 1.952 0 17.3 16.3

𝑍𝑛𝑂 - 2.743 -0.393 2.377 - 2.069 - 2.051 - 2.099 0.001 13.042 9.604 Tableau 2.8 - Valeur des paramètres de Luttinger pour la structure wurtzite de GaN,

AlN [Rink 08] et ZnO [Yan 12].

Dans le cas d’hétérostructures dopées n ou p, les charges vont peupler les différents états électroniques inter-sous-bandes. Cette distribution spatiale des charges de potentiel 𝑈𝑆𝐶(𝑧) perturbe le profil de bande en s’additionnant au potentiel préexistant :

𝑈(𝑧) = 𝑈𝐻(𝑧) + 𝑈𝑆𝐶

Le potentiel induit par les porteurs 𝑈_𝑆𝐶(𝑧) se calcule à partir de l’équation de Poisson : 𝑑

𝑑𝑧^(𝜀(𝑧) 𝑑

𝑑𝑧^𝑈𝑆𝐶(𝑧)) = −𝜌(𝑧)

Avec 𝜀(𝑧) la permittivité et 𝜌(𝑧) la densité de charge qui est reliée aux fonctions enveloppes par :

𝜌(𝑧) = −𝑒 (∑ 𝑛_𝑖(𝑧) 𝑖

|𝜓_𝑖(𝑧)|2− 𝑁𝐷(𝑧))

Avec 𝑛𝑖(𝑧) la densité d’état classique multipliée par la probabilité de présence |𝜓𝑖(𝑧)|2 d’un état 𝑖. Le second terme 𝑁𝐷(𝑧) est la densité volumique des charges ionisées.

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Les densités électroniques doivent vérifier la condition de neutralité électrique : ∫ (𝑁_𝐷(𝑧) − 𝑛(𝑧)) 𝑑𝑧 = 0

𝐿 0

Dans un puits quantique dopé n, la densité surfacique d’électrons par niveau d’énergie s’écrit : 𝑛_𝑖(𝐸_𝑖) =^{𝑚𝑘𝐵𝑇}

𝜋ħ2 ln (1 + exp (^{𝐸𝐹− 𝐸𝑖} 𝑘_𝐵𝑇 ^{) )} Avec 𝑘𝐵 la constante de Boltzmann et 𝐸𝐹 le niveau de Fermi.