Chapitre 1 : Introduction générale
2.2. Modèle
Le modèle que nous présentons est adapté à une organisation disposant d’un réseau de m équipements identiques, de stock de pièces de rechange et d’un atelier de réparation comptant k canaux de réparation parallèles. Si une composante tombe en panne, elle est remplacée immédiatement par une composante de rechange si disponible en stock. La composante défaillante est acheminée vers l’atelier de réparation pour être remise en état de fonctionnement. Tous les sites sont connectés par des canaux de transport ordinaires. Figure.2.1.
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Réseau de N0 machines en opération
Canaux de réparation N2 Stock N4 S N3 N1 Canaux de N5 transport
Figure.2.1. Processus de défaillance et de réparation.
Nous supposons que chaque équipement contient un seul composant critique. Est considéré critique par rapport au critère de la disponibilité, tout composant dont sa défaillance entraîne immédiatement l’arrêt de la machine. Les autres composants (non-critiques) qui constituent l’équipement peuvent être gérés indépendamment, et ce à la lumière des consommations passées en utilisant les modèles classiques de gestion des stocks.
Les processus des arrêts des équipements, des arrivées des pièces défectueuses, des transferts des pièces traitées et de la mise à disposition des pièces pour maintenance sont des processus stochastiques à temps continus.
Soit à l’instant t, les variables aléatoires : 𝑁0(𝑡) : Le nombre d’équipements en opération.
𝑁1(𝑡) : Le nombre de pièces défectueuses dans le canal du transport à destination de réparation. 𝑁2(𝑡): Le nombre de pièces dans le système (attente pour réparation + en traitement).
𝑁3 (𝑡): Le nombre de pièces réparées dans le canal de transfert vers le stock.
𝑁4 (𝑡): Le nombre de pièces en stock.
𝑁5 (𝑡): Le nombre de pièces dans le canal de transfert pour remplacement.
1)
𝑁1(𝑡) + 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡) + 𝑁4(𝑡) = 𝑆 (2.1) 𝑁4(𝑡) = 𝑆 − (𝑁1(𝑡) + 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡))
Posons 𝑋(𝑡) la variable aléatoire résultant de la convolution de, respectivement, 𝑁1(𝑡), 𝑁2(𝑡) 𝑒𝑡 𝑁3 (𝑡)
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𝑋(𝑡) = 𝑁1(𝑡) + 𝑁2(𝑡) + 𝑁3 (𝑡) (2.2)
𝑁4(𝑡) = 𝑆 − 𝑋(𝑡)
𝑁4(𝑡) est l’état du stock à un instant t donné, il peut prendre deux formes : soit en rupture de stock dont le nombre BO-Backorder number soit un stock en main dont le nombre OH- Stock on Hand. 𝑁4(𝑡) ∶ {𝑂𝐻(𝑡) = [𝑆 − 𝑋(𝑡)] + . 𝐵𝑂 (𝑡) = [𝑆 − 𝑋(𝑡)]− (2.3) En utilisant le principe d’égalités des stocks, on obtient :
𝑂𝐻(𝑡) − 𝐵𝑂 (𝑡) = 𝑆 − 𝑋(𝑡) (2.4) La probabilité que le stock en main contienne x pièces de rechange est :
P (𝑂𝐻(𝑡) = 𝑥) = { 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑆 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑆 . ∑𝑆+𝑚𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑦) 𝑦=𝑠 𝑠𝑖 𝑥 = 0 (2.5) La probabilité de rupture de stock peut être écrite :
P (𝐵𝑂(𝑡) = 𝑥) = { 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑆 + 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑚 . ∑𝑆 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑦) 𝑦=0 𝑠𝑖 𝑥 = 0 (2.6) Pour un horizon de planification T, l’espérance mathématique des variables aléatoires décrivant le
processus de défaillance et de réparation du réseau : 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑋 =∫ 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑇 (2.7) 𝐸[𝑂𝐻(𝑡)] = ∫ 𝑂𝐻(𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑇 (2.8) 𝐸[𝐵𝑂(𝑡)] =∫ 𝐵𝑂(𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑇 (2.9) Le nombre moyen de pièces dans le stock :
𝐸[𝑂𝐻(𝑆, 𝑡)] = ∑(𝑆 − 𝑥) 𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑥)
𝑆
𝑥=0
(2.10) Le nombre moyen de pièces en souffrance :
𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆)𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑥)
𝑆+𝑚
𝑥=𝑆+1
42
NB : la somme des probabilités jusqu’à (𝑆 + 𝑚) indique que le réseau ne fonctionne pas lorsque
le nombre de pièces défectueuses dans le système atteint 𝑆 + 𝑚. Toutefois, nous pouvons adapter les calculs à différents contextes où le fonctionnement du réseau dépend du nombre minimal de machines en opération (ex. minimum K machines en opération), soit un système (K parmi N) dans son sens générique. L’équation (2.11) peut être écrite :
𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆)𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑥)
𝑁−𝐾+1
𝑥=𝑆+1
(2.11. bis. 1) Pour une population infinie (réseau très étendu) :
𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] = ∑ (𝑥 − 𝑆)𝑃 (𝑋(𝑡) = 𝑥)
∞
𝑥=𝑆+1
(2.11. bis. 2) À partir de l’équation (2.10) 𝑒𝑡 (2.11) on obtient :
𝐸[𝑂𝐻(𝑆, 𝑡)] − 𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] = 𝑆 − 𝑋(𝑡) (2.12)
2)
𝐵𝑂(𝑡) + 𝑁5(𝑡) + 𝑁0(𝑡) = 𝑚 (2.13)
𝑁0(𝑡) = 𝑚 − 𝐵𝑂(𝑡) − 𝑁5(𝑡)
La disponibilité instantanée 𝐴(𝑡) est la proportion du temps de bon fonctionnement des machines, elle est égale au rapport entre le nombre de machines en opération au temps t, 𝑁0(𝑡), et le nombre
total des équipements du parc 𝑚.
𝐴(𝑡) = 𝑁0(𝑡) 𝑚 = 1 − 𝐵𝑂 (𝑡) − 𝑁5(𝑡) 𝑚 (2.14) 𝐴 = 𝐸[𝐴(𝑡)] =∫ 𝐴(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 𝑇 (2.15) 𝐴 = 1 − 𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] − 𝐸[𝑁5 (𝑡)] 𝑚 (2.16) 2.3.Problème d’optimisation
Le modèle décisionnel que nous proposons est un problème d’optimisation multi-objectif, le gestionnaire prendra une décision à partir de la courbe d’efficience, Coût-Disponibilité.
`Min 𝐶(𝑆) = 𝐶ℎ. 𝐸[𝑂𝐻(𝑡)] + 𝐶𝑇 (𝐸[ 𝑁1(𝑡)] + 𝐸[𝑁3(𝑡)] + 𝐸[𝑁5 (𝑡)]) + 𝐶𝑘. k + 𝐶𝑓
𝑀𝑎𝑥 𝐴 = 1 − 𝐸[𝐵𝑂 (𝑆, 𝑡) ] − 𝐸[𝑁5 (𝑡)] 𝑚
43 Avec : 𝑘 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓 𝐶𝑘 ⌉ 𝑆 = 1,2, … ⌈𝐵𝑢𝑑𝑔𝑒𝑡 − 𝐶𝑓 𝐶ℎ ⌉
Les différents coûts par unité de temps sont donnés comme suit : 𝐶𝑓: La somme des coûts fixes.
𝐶𝑘 : Coût variable de réparation. 𝐶ℎ : Coût de stockage de la pièce.
𝐶𝑇: Coût de transport.
Le choix du couple (A, C), la disponibilité 𝐴 et total de l’investissement C(s) doit être en cohérence avec les objectifs de disponibilité 𝐴𝑂𝑏𝑗 que souhaite l’organisation et dans les limites de son budget.
Vue de la complexité des processus stochastiques sous-jacents et la multiplicité des convolutions de diverses distributions, ce modèle est impossible à résoudre sans poser des limitations et des hypothèses. Toutefois la simulation et les procédures numériques s’avèrent efficaces dans un certain cas où les paramètres sont bien ajustés.
2.4.Hypothèses et analyse du modèle
1. La désignation « composante, composant, pièce, système, équipement » est générique, le modèle proposé peut s`appliquer à un équipement, à un module ou à une composante élémentaire.
2. Tous les composants sont supposés réparables. Pour des raisons économiques et techniques, de tels systèmes sont composés d'éléments qui sont moins coûteux à réparer que de les remplacer par des neufs. Leurs durées de vie sont longues, leurs systèmes de gestion sont beaucoup plus compliqués que les systèmes de gestion des stocks classiques (fournitures et consommables). Mais cela n’exclue pas qu’avec peu de changements, on peut adapter le modèle pour gérer des consommables et/ou réparables.
3. La politique de contrôle des stocks de type (S-1, S) est justifiée lorsque les coûts de gestion, de transport, de traitement et de commande sont négligeables par rapport au coût d’achat et de stockage de la pièce. Sinon, nous pouvons nous intéresser au réapprovisionnement par lots Q plutôt qu’à l’unité. La décision sur la quantité à massifier est un compromis entre les différents coûts (commande, stockage, etc.) y compris des pertes encourues, si une perte de disponibilité et/ou une interruption accidentelle du service a lieu.
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4. Les modèles mathématiques décrivant le processus de défaillance et de réparation utilisent la théorie des files d’attente qui traduit fidèlement le phénomène du couple défaillance et réparation provoqué par la contrainte de capacité des stations de réparation. 5. L’ordre de priorité, premier arrivé premier servi FIFO- First In, First Out, est une hypothèse vraie dans le cas d’équipements mono-composant (un seul composant critique). Si l’équipement est constitué de plus d’un composant critique, nous maintenons la règle FIFO sous prétexte que les composants arrivant au système d’attente sont supposés de criticité égale. Adopter d’autres règles de priorité au niveau opérationnel peut engendrer des gains substantiels, par exemple : prioriser les équipements encore sous garantie ou faire de la cannibalisation, etc. Une couverture du sujet traitant les systèmes multiserveurs et multi-classes se trouve dans Harten et al. (2000).
6. Le critère d’indépendance stochastique est maintenu pour des fins de calculs. En réalité, la défaillance d’un élément impacte la fiabilité du système. Si les spécifications d’interface avec les éléments voisins sont précises, l’élément défectueux pourrait entraîner leur dégradation et/ou au pire des cas, leur défaillance.
7. Le processus stochastique qui engendre les arrivées des pièces défectueuses à la station de réparation suit une loi de poisson à paramètre constant 𝜆 . Cette hypothèse est justifiée lorsque la durée de vie des composants critiques suit une loi exponentielle (ex. composants électroniques, équipements dans la phase de maturité, c’est-à-dire, à taux de panne constant) ou lorsque la taille de la population étudiée est suffisamment grande, voire infinie.
8. On suppose que les processus stochastiques sous-jacents subissent peu ou pas de changement dans le temps. On se limite donc à l’étude de l’évolution du système dans un régime permanent afin de trouver une politique de contrôle optimale qui dépend essentiellement de la quantité des pièces de rechange à garder en stock et éventuellement des capacités de traitement des stations de réparation et des transports.
𝐸[𝑋(𝑆)] = 𝑋 = lim 𝑇→∞ ∫ 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡0𝑇 𝑇 (2.17) 𝐸𝑂𝐻(𝑆) = lim 𝑇→∞ ∫ 𝑂𝐻(𝑡) 𝑑𝑡0𝑇 𝑇 = ∑ (𝑆 − 𝑥)P (𝑋 = 𝑥) (2.18) 𝑆 𝑥=0 𝐸𝐵𝑂 (𝑆)= lim 𝑇→∞ ∫ 𝐵𝑂 (𝑡) 𝑑𝑡0𝑇 𝑇 = ∑ (𝑥 − 𝑆)P (𝑋 = 𝑥) 𝑆+𝑚 𝑥=𝑆+1 (2.19) De l’équation (3.12) : 𝐸𝑂𝐻(𝑆) − 𝐸𝐵𝑂 (𝑆) = 𝑆 − 𝑋 (2.20)
NB :Si les processus stochastiques varient dans le temps, on se contente d’étudier le système en
observant ses paramètres (taux d’arrivée, délai de traitement, etc.) à des intervalles de temps suffisants en supposant que les paramètres du système à des intervalles consécutifs sont mutuellement exclusifs (équations: de (2.7) à (2.9)). Une mise à jour des paramètres est fortement
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recommandée chaque période (3 mois, 6 mois, un an..) pour redimensionner le niveau du stock et l’adapter au contexte opérationnel du réseau.
Gross (1975) a effectué une analyse de sensibilité en cas de variation du taux de panne et du taux de défaillance tout en étudiant le comportement du modèle durant la phase de transition.
9. Si la livraison des pièces de rechange est quasi-immédiate, 𝑁5(𝑡) → 0. La disponibilité
devient :
𝐴 = 1 − 𝐸𝐵𝑂 (𝑆)
𝑚 (2.21)
2.4.1. Modèle d’attente à capacité de traitement illimitée et de nombre d’équipements infini
Lorsque la population du parc d’équipements est considérée infinie (𝑚 → ∞), 𝐴 → 1 cela conduit le décideur à s’intéresser à d’autres mesures de performance comme le nombre moyen de pièces en souffrance, EBO- Expected Backorder. Nous exposerons en détail, dans la Section.2.5.1, la mutation vers les autres mesures de performance les plus utilisées dans la littérature et éventuellement celles qui figurent dans les closes de contrat PBL- Performance based Logistics (PBL) (Kim et al (2007)).
Cette hypothèse est beaucoup plus adaptée aux organisations (fournisseurs et prestataires de service de maintenance) qui gèrent des gammes de composants chez leurs clients. L’objectif est de garantir un service efficace et rapide. Le modèle de décision peut prendre la forme du problème multi- objectif suivant :
Min 𝐶(𝑆) Min 𝐸𝐵𝑂 (𝑆)
S : 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟
2.4.1.1.Modèle METRIC- Multi-Echelon Technique for Recoverable Item Control (Sherbrooke (1968))
Si nous adoptons toutes les hypothèses décrites ci-haut, en plus, nous supposons que les canaux de réparation et de transport ont des capacités illimitées avec des distributions générales G à délais moyens respectivement 1/µ ,𝑡1,𝑡3, 𝑡5 on obtient le modèle METRIC- Multi-Echelon Technique for Recoverable Item Control (Sherbrooke (1968)).
Pour les transports, cette hypothèse parait valide pour une organisation dont les moyens de transport et de manutention sont engagés en permanence soit par le biais de contrats avec des prestataires ou bien gérés à l’interne.
Pour des pièces dont le profil de consommation faible, les délais de transfert 𝑡1,𝑡3,𝑡5 sont généralement omis par rapport au délai alloué à la réparation d’une pièce donnée. Cette hypothèse
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est bien fondée car les sites d’affaires (entrepôts, ateliers, etc.) sont déployés pour garantir un service quasi-immédiat en matière d’acheminement des pièces défectueuses vers les ateliers de réparation et pour la mise à disposition des pièces pour remplacement.
En ce qui concerne la capacité des ateliers de réparation, l’hypothèse est un peu restrictive. Dans la pratique, les ressources des entreprises sont souvent limitées, la réparation est généralement confiée à des canaux spécialisés (organisme prestataire, main d’œuvre qualifiée, etc.), un engagement optimal est souvent requis pour garantir un service satisfaisant.
Toutefois, l’hypothèse pour des systèmes à faible taux de panne parait acceptable si au moment d’arrivées des pièces défectueuses, le délai d’attente est considéré faible ou négligeable, et le système d’attente demeure stable quel que soit la distribution de temps de réparation considéré. Alfredsson et Verrijdt (1999) ont effectué une analyse de sensibilité par Simulation, ils ont démontré que le comportement du système étudié demeure stable lorsque les temps de traitements sont déterministes, exponentiels, ou Log-normales.
Le processus stochastique résultant dans le cas de système M/G/∞ (les arrivées des pièces de rechange suivent la loi de Poisson, et les canaux de réparation et de transport ont de capacités illimitées avec des distributions de durées générales G) est un processus de Poisson de paramètre
λ
µ. 𝑡1. 𝑡3 (Théorème de Palm). Une démonstration du théorème se trouve dans Palm (1938).
On peut considérer les canaux de transports et l’atelier de réparation comme un seul système d’attente. Pour 𝑡1 = 𝑡3 = 1 (délais par unités de temps) :
𝑃{𝑋 = 𝑥} = µ𝜆𝑥𝑥.𝑥!𝑒− λµ , avec 𝑥 entier (2.22) De l’équation (3.20) : 𝐸𝐵𝑂(𝑆) = 𝑋 − 𝑆 + 𝐸𝑂𝐻(𝑆) 𝐸𝐵𝑂(𝑆) = λ µ− 𝑆 + ∑(𝑆 − 𝑥)P (𝑋 = 𝑥) (2.23) 𝑆 𝑥=0
La courbe d’efficience est obtenue en résolvant le problème bi-objectif suivant : Min 𝐶(𝑆)
Min 𝐸𝐵𝑂(𝑆) Avec S ∶ 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟
L’obtention d’une solution exacte du problème est très difficile. La Relaxation Lagrangienne permet, jusqu’à un certain nombre de références, de donner de résultats exacts. Pour de grand nombre de références, nous faisons recours à des méthodes heuristiques.
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Pour trouver une solution dans le domaine étudié, il faut que la fonction 𝐸𝐵𝑂(𝑆) soit décroissante et convexe. Une heuristique gloutonne avec recherche locale est nécessaire. Les procédures de calcul sont très complexes et ils ne sont pas discutés ici.
Slay (1984) propose un modèle d’approximation appelé VARI-METRIC en supposant que le nombre moyen de pièces en réparation est égal à sa variance correspondant à une distribution Binomiale négative. Graves (1985) a utilisé la même distribution pour élaborer un modèle approximatif à deux échelons. Cette problématique sera discutée au chapitre 3.
𝐸[𝑋] = 𝑉𝐴𝑅[𝑋]
L’expression de la distribution Binomiale négative peut être obtenue analytiquement en résultant de la convolution des deux distributions :
- des arrivées de pièces défectueuses suivant une loi de Poisson à paramètre constant λ :
𝜆𝑥
.𝑥!𝑒
−λ
- du délai de réparation suivant une distribution gamma : 𝛽.𝛽𝛼
𝜓 (𝛼+1)𝑒
−𝛽
La distribution résultante est une distribution binomiale négative avec paramètre 𝛼 + 1 𝑒𝑡 𝛽+𝜆𝛽 et donc,
P {𝑋 = 𝑥} =𝜓 (𝛼+𝑥+1)𝑥! 𝜓 (𝛼+1) (𝛽+𝜆𝛽 )
𝛼+1
(𝛽+𝜆𝜆 )𝑥, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼, 𝜆 𝑒𝑡 𝛽 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓𝑠 (2.24)
Le nombre moyen de pièces en réparation est égal :
𝐸[𝑋] = (𝛼+1𝛽 )𝜆 (2.25)
La variance de la distribution binomiale négative est :
𝑉𝐴𝑅[𝑋] = (𝛼+1𝛽2 ). (𝛽 + 𝜆). λ (2.26) Le modèle METRIC repose sur l’hypothèse que les ateliers de réparation sont de capacités illimitées et de population d’équipements infinie. Bien que ces hypothèses peuvent être justifiées dans les applications militaires, elles nous semblent moins réalistes dans la plupart des industries. Les ressources et les budgets des entreprises sont souvent limités, la disponibilité immédiate des prestations de services dans le marché des affaires n’est pas toujours garantie, particulièrement dans les zones ou l’accessibilité est difficile.
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L’étude du système avec une capacité de réparation limitée nous conduit à des modèles beaucoup plus compliqués à résoudre en raison de la prise en compte du phénomène d’attente dans le système provoqué par la contrainte de capacité des stations de réparation.
2.4.2. Modèle d’attente avec capacité de traitement limitée
Plusieurs contributions scientifiques ont été publiées dans la littérature traitant le problème à capacité de traitement limitée.Taylor et Jackson (1954) sont les premiers qui ont appliqué la théorie des files d'attente aux problèmes d'approvisionnement des pièces de rechange. Le modèle a permis d’estimer le nombre de moteurs de rechange nécessaires pour maintenir une flotte d'avions à un niveau de service requis. Le modèle d’attente est supposé de capacité limitée. Gross et al, 1977 utilisent ce modèle dans le cas où les opérations de retrait, de transport et de réparation de la pièce défectueuse représentent trois traitements séparés, modélisés en trois stations de services en série. Il utilise les séries d’Erlang à cet effet.
Plusieurs extensions du modèle d’attente ont été abordées, Gross et Ince (1978), Gross et al. (1983, 1987, 1993), Gross et Harris (1985), Albright et Soni (1988), Albright (1989), Ebeling (1991, 2005), Albright et Gupta (1993), et Whitt (1983, 1993), Diaz et Fu (1997, 2005).
2.4.2.1.Modèle d’attente général GI/G/k (Whitt (1993))
En relaxant les hypothèses 10 et 11, c’est-à-dire, qu’en supposant que le parc machines est de population finie et que les stations de réparation ont des capacités limitées, Whitt (1993) propose une approximation par un modèle de file d’attente GI/G/k, la distribution des arrivées des pièces défectueuses suit une loi générale indépendante, le délai de réparation est une distribution quelconque.
Le nombre moyen des pièces défectueuses dans le système d’attente est approximé par les relations suivantes : 𝐸[𝑁2] = 𝜆 [(𝐶𝑎2+ 𝐶𝑠2 2 ) ( 𝑝0 𝑘µ 𝑘𝜌𝑘 𝑘! (1 − 𝜌)2) + 1 µ] (2.27) 𝑉𝐴𝑅[ 𝑁2(𝑡)] = 𝐸[ 𝑁22] – 𝐸[ 𝑁2]2 (2.28)
𝑘: Le nombre de canaux de réparation.
𝜌 = 𝑘µ𝜆: L’intensité du système d’attente avec k canaux de réparation.
49 𝑝0 = 1 ∑𝑚−1(𝑘𝜌)𝑖! +1 𝑘! (1 − 𝜌) (𝑘𝜌)𝑘 𝑖=0 (2.29) 𝐶𝑎 𝑒𝑡 𝐶𝑠 : Coefficients de la variation des temps d’inter-arrivées et du délai de réparation,
respectivement.
À partir du modèle de Whitt (1993) nous tirons deux cas particuliers et une troisième approximation intéressante :
- Pour 𝐶𝑎 = 1 , il n y a aucune variation de taux de panne, le système d’attente est de type M/G/k. Le nombre moyen des pièces dans le système d’attente :
𝐸[ 𝑁2] = 𝜆 [(1 + 𝐶𝑠2 2 ) ( 𝑝0 𝑘µ 𝑘𝜌𝑘 𝑘! (1 − 𝜌)2) + 1 µ] (2.30) - Pour 𝐶𝑠 =𝐶𝑎 = 1 , le taux de panne et le taux de réparation sont constants, le système est
adapté au modèle M/M/k (Gross et Harris (1982)). La propriété Markovienne des arrivées des pièces et des délais de réparation est intéressante. Le nombre moyen de pièces dans le système d’attente pour k canaux de réparation est écrit :
𝐸[ 𝑁2] = 𝑘 𝜌 + 𝑝0 𝜌 (𝑘𝜌)𝑘
𝑘! (1 − 𝜌)2 (2.31)
- L’approximation ci-dessous demeure intéressante :
𝐸[𝑁𝐺𝐼/𝐺/𝑘2 ]. 𝐸[ 𝑁
𝑀/𝑀/𝑘]2 ≈ 𝐸[𝑁𝑀/𝑀/𝑘2 ]. 𝐸[ 𝑁𝐺𝐼/𝐺/𝑘]2 (2.32)
2.4.2.2.Modèle M/M/k (Gross et Harris (1982))
Le modèle de boucle de défaillance et de réparation 𝑁𝑀/𝑀/𝑘 proposé par Gross (1982) possède la propriété markovienne. Le processus stochastique décrivant la défaillance des pièces suit une loi de Poisson et le délai de réparation est une distribution exponentielle.
Schématiquement, le réseau est constitué d’un parc de N machines identiques, de magasins de pièces de rechange et d’un atelier de réparation comptant k canaux de réparation parallèles. Si une composante tombe en panne, elle est remplacée par une composante de rechange si disponible en stock. La composante défaillante est acheminée vers l’atelier de réparation pour la remettre en état de fonctionnement (Figure 2.2).
50 N équipements λ λ λ λ µ λ λ λ λ λ µ µ K CANAUX DE RÉPARATION Stock S
Figure.2.2. : Processus de défaillance et de réparation.
Si nous notons :
𝜆𝑥 : Le taux moyen d’arrivée des pièces lorsque x pièces sont dans le système d’attente.
µ𝑥 : Le taux moyen de réparation lorsque x pièces sont dans le système d’attente.
Soit 𝑃𝑖 la probabilité, en régime permanente, que i composantes défaillantes soit en attente ou en cours de réparation.
Dans le cas où les données suivantes sont disponibles :
- Le nombre de machines en service N, indépendantes et identiquement distribuées ; - Le taux de panne 𝜆 constant;
- Le taux de réparation 𝜇 constant; - Le nombre de réparateur k ;
- Où s est le nombre de composantes de remplacement.
𝑃𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑖): La probabilité que i composantes défaillantes soit en attente ou en cours de
réparation.
𝑃0 = 𝑃(𝑋 = 0) : La probabilité qu’aucune composante défaillante soit en attente ou en cours de
réparation (𝑖 = 0).
𝑃𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑖) =𝐶𝑖. 𝑃(𝑋 = 0)
𝐶𝑖 est donnée par la somme d’équations ci-dessous.
En partant de la modélisation du réseau utilisant la théorie des files d’attente, le processus de défaillance et de réparation des composantes peut être considéré comme un processus
51
La chaîne de Markov associé à ce processus est représentée par les deux alternatives, pour 𝑘 < 𝑠 et 𝑘 ≥ 𝑠 respectivement (Figures 2.3 et 2.4). - Pour k <s (Figure.2.3) 0 1 2 k-1 k k+1 Nλ µ 2µ 3µ (k-1)µ kµ Nλ Nλ s-1 s s+1 kµ kµ N+S-1 N+s kµ kµ kµ kµ kµ kµ Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ Nλ (N-1)λ 2λ λ
Figure.2.3. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation pour k< 𝑠
𝐶𝑖 = { 𝑁𝑖 𝑖! ( λ µ) 𝑖 ; 𝑖 = 1, … . . 𝑘 𝑁𝑖 𝑘𝑖−𝑘𝑘!( λ µ) 𝑖 ; 𝑖 = 𝑘 + 1, … . 𝑠 𝑁𝑠 𝑁! (𝑁 − 𝑖 + 𝑠)! 𝑘𝑖−𝑘𝑘!( λ µ) 𝑖 ; 𝑖 = 𝑠 + 1, … . . 𝑠 + 𝑁 (2.33) - Pour k ≥ s (Fig.2.4) 0 1 2 s-1 s s+1 Nλ µ 2µ 3µ (s-1)µ sµ Nλ Nλ k-1 k k+1 kµ (s+1)µ N+S-1 N+s kµ kµ kµ kµ Nλ Nλ Nλ 2λ λ (N-1)λ (s+2)µ (k-1)µ (N+S-k+2)λ (N+S-k+1)λ (N+S-k)λ (N+S-k-1)λ
Figure.2.4. Chaîne de Markov associée au processus de défaillance et de réparation pour k≥ 𝑠
𝐶𝑖 = { 𝑁𝑖 𝑖! ( λ µ) 𝑖 ; 𝑖 = 1, … . . 𝑠 𝑁𝑠 𝑁! (𝑁 − 𝑖 + 𝑠)! 𝑖!( λ µ) 𝑖 ; 𝑖 = 𝑠 + 1, … . 𝑘 𝑁𝑠 𝑁! (𝑁 − 𝑖 + 𝑠)! 𝑘𝑖−𝑘𝑘!( λ µ) 𝑖 ; 𝑖 = 𝑘 + 1, … . . 𝑠 + 𝑁 (2.34)
Pour i= 0 on aura : 𝑃0 =𝐶0. 𝑃0 donc 𝐶0 = 1 Pour i= 1 on aura : 𝑃1 =𝐶1. 𝑃0
52
Pour i= 2 on aura : 𝑃2 =𝐶2. 𝑃0
……….
Pour i= s + N on aura : 𝑃𝑠+𝑁 =𝐶𝑠+𝑁. 𝑃0
On a le somme des probabilités égale à 1 : ∑𝑖=𝑠+𝑁𝑖=0 𝑃𝑖= 1
𝑃0+ 𝑃1 +𝑃2… 𝑃𝑠+𝑁= 1. 𝑃0 + 𝐶1. 𝑃0+ 𝐶2. 𝑃0 +…+𝐶𝑠+𝑁. 𝑃0 =1 (1 + 𝐶1+ 𝐶2+…+𝐶𝑠+𝑁). 𝑃0= 1 𝑃0 = 𝑃(𝑋 = 0) = 1 (1 + 𝐶1+ 𝐶2+ ⋯ + 𝐶𝑠+𝑁)= 1 1 + ∑𝑖=𝑠+𝑁𝐶𝑖 𝑖=1 (2.35)
Les probabilités de défaillance 𝑄𝑖sont données en fonction des 𝑃𝑖 𝑄𝑖 = { 𝑁. 𝑃𝑖 𝑁 − ∑𝑖=𝑠+𝑁𝑖=𝑠 (𝑖 − 𝑠)𝑃𝑖 ; 𝑖 = 0, … 𝑠 − 1 (𝑁 − 𝑖 + 𝑠)𝑃𝑖 𝑁 − ∑𝑖=𝑠+𝑁𝑖=𝑠 (𝑖 − 𝑠)𝑃𝑖 ; 𝑖 = 𝑠, … 𝑠 + 𝑁 (2.36)
Il suffit de trouver le 1er entier s tel que :
∑ 𝑄𝑖
𝑆−1
𝑖=0
≥ 𝑁𝑆 (2.37) NS est le niveau de disponibilité requis.
NB : L’intensité du trafic, k.µλ , doit être inférieure à 1 ( (k.µλ < 1), sinon, après un certain temps, le
système bloque.
2.4.2.2.1. Applications numériques (2.1)
Nous allons générer maintenant plusieurs applications numériques permettant d’illustrer le triplet : Niveau du stock- Nombre de canaux de réparation- Disponibilité opérationnelle pour un réseau d’équipements identiques.
Si une entreprise X voulait conserver un stock des pièces de rechanges et dimensionner ses ressources pour soutenir la maintenance d’un réseau constitué de plusieurs équipements en opération (N=100). Chaque équipement contient un seul composant critique, c.-à-d., la défaillance de ce composant entraîne l’arrêt immédiat de l’équipement.
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Les données statistiques qui sont à la disposition du gestionnaire indiquent que le nombre moyen de défaillances par heure est de 0.002 (λ = 0.002), et le moyen de réparation (livraison) par heure est de 0.02(µ = 0.02). Nous maintenons l’hypothèse que le délai de remplacement est négligeable. La courbe d’efficience donnée par la Figure.2.5 dénote la disponibilité opérationnelle du réseau en fonction du nombre de pièces de rechange à garder en stock, s, et du nombre de canaux de réparation parallèles, k.
Figure.2.5. Résultats générés par le programme de calculProgramme Projet.R.Exact.Matlab.R.2014a (N=100, λ = 0.0002, µ = 0.01)
Pour atteindre la disponibilité souhaitée, l’organisation doit ouvrir plus de 10 canaux de réparation. Avec une capacité de réparation de moins de 10 canaux (k=10), le réseau cesse de fonctionner après un certain temps t. Cet arrêt est motivé par le phénomène de congestion dans le système d’attente. L’atelier de réparation avec une capacité k<10 et un taux de traitement, µ = 0.01, est incapable de traiter toutes les pièces défaillantes arrivant dans le système, la longueur de la file
54
augmente au fur et à mesure avec le temps provoquant l’arrêt systématique du réseau, c’est à dire, après un temps t, le nombre des équipements défaillants atteint S+N (disponibilité nulle).
Au-delà de 10 canaux de réparation, le réseau pourrait atteindre des disponibilités croissantes, et ce en fonction du nombre de pièces de rechange gardée en stock, s. Atteindre une disponibilité A requiert une capacité de réparation, k, et un niveau de stock, s.
Pour atteindre une disponibilité de 0.99 par exemple, le décideur est face à deux alternatives, soit il s’investit dans une capacité de k=12 en gardant un niveau de stock s=30 pièces de rechange, soit il maintient la capacité k=11 et s=50. La bonne décision est d’instruire un compromis, toujours difficile, entre l’investissement en achat, le stockage, s, la capacité, k et les objectifs de