3. Modélisation
3.2. Modèle d’interaction voie/sol pour une pose classique
Dans le cadre du projet, plusieurs modèles de voie ont été développés. Un premier type de modèle ne permettait que la prise en compte de sollicitations identiques exercées sur chaque rail (efforts symétriques). Comme nous le ver- rons par la suite, cette modélisation simplifiée n’est pas suffisante pour prévoir correctement le comportement du système au-delà de 80 Hz, en particulier pour la voie sur dalle flottante (site de Libération). Des modèles de voie « non symé- triques », faisant intervenir la torsion de la dalle ont donc été développés. Celui correspondant à la pose classique est présenté ici.
3.2.1. Description du modèle de voie
On considère la voie reposant sur un sol multicouche comme le montre la Figure 72. L’axe de symétrie de la pose est situé entre les deux rails. Chaque rail
est soumis à une force ponctuelle harmonique de pulsation ω en x0. Les rails sont
assimilés à des poutres (hypothèses d’Euler) sollicitées en flexion, caractérisées
par une masse par unité de longueur mr et une raideur en flexion Br. La dalle
de béton est représentée par une poutre sollicitée en flexion et en torsion, de
masse par unité de longueur mc, de moment quadratique polaire I0c, de raideur
de flexion Bc et de raideur de torsion Dc. Les semelles entre les rails et la dalle
sont prises en compte par des liaisons élastiques (ressorts) de raideurs kp par
unité de longueur.
Figure 72 : modèle de voie pour une pose classique
Sous ces hypothèses et en supposant une variation temporelle implicite en
les champs de déplacement vertical w0(x) et de rotation θ(x) de la dalle satisfont les équations d’équilibre dynamique suivantes :
(9)
avec
(10)
où P1 et P2 sont les amplitudes des efforts appliqués sur les rails, F(x) et C(x)
représentent les champs de forces exercées par la dalle sur le sol, et d est la dis- tance entre les rails et l’axe de symétrie de la voie. Par ailleurs, les phénomènes d’amortissement sont pris en compte par l’intermédiaire de raideurs complexes telles que :
(11)
où ηr, ηc et ηp sont les facteurs de perte correspondant respectivement aux rails,
à la dalle et aux semelles. Dans le domaine des nombres d’onde les équations précédentes deviennent :
On obtient ainsi un système de 4 équations avec 6 inconnues dont les deux champs de forces exercées par la dalle sur le sol. Les deux équations manquan- tes sont donc celles caractérisant le couplage entre la voie et le sol.
3.2.2. Couplage voie/sol
On considère un couplage faible entre la dalle et le sol (voir par exemple [31] pour plus de précisions et d’autres types de couplage), c’est-à-dire seulement au niveau de l’axe de symétrie de la voie (y = 0). On obtient alors les équations de couplage suivantes :
(13)
auxquelles il faut rajouter des hypothèses concernant la distribution des contraintes sur le sol selon l’axe y dans la largeur de la dalle. On suppose que ces contraintes peuvent se décomposer en une composante uniforme (reliée à la flexion de la dalle) et une composante triangulaire (reliée à la torsion de la dalle) telles que (b étant la demi-largeur de la dalle) :
(14)
En passant dans le domaine des nombres d’onde et en utilisant la relation entre les contraintes et les déplacements à la surface du sol, on obtient l’expression du déplacement et de la rotation de la dalle en fonction des efforts au contact :
(15)
Dans ces équations, H0 et H1 sont les réceptances du sol dans le domaine des
nombres d’onde (respectivement pour des distributions transversales uniforme et triangulaire d’efforts) définies par :
(16)
où
et sinc correspond à la fonction sinus cardinal. Les intégrales des équations précédentes sont calculées numériquement avec un nombre d’onde de coupure
Qs =20 m-1 et un nombre de points N = 2048, ce qui suffit à assurer une conver-
gence correcte. Au final, les équations du mouvement du système couplé voie/sol dans le domaine des nombres d’onde deviennent :
(18)
où
(19)
Le système est alors résolu dans le domaine transformé puis les champs spa- tiaux (déplacements de la voie, contraintes sur le sol et déplacements à la surface du sol) sont reconstruits par transformée de Fourier inverse (FFT) en utilisant les
mêmes nombre de points N et nombre de coupure Qs que précédemment.
3.2.3. Recalage et validation
Même si certaines données techniques sont bien définies (dimensions des dalles, type de semelles sous rail, etc.), il est intéressant de procéder à un reca- lage de certains paramètres, en particulier concernant les semelles (raideur, amortissement) mais aussi la dalle (raideurs en flexion et torsion) compte-tenu des simplifications dues aux modèles. Il faut en effet rappeler qu’elle inclut une dalle d’assise sur laquelle reposent les traverses bi-blocs noyées dans le béton de calage. Or les deux blocs de chaque traverse sont reliés par une entretoise métallique. Dès lors, la dalle « de béton » modélisée n’est pas constituée d’un matériau homogène et de ce fait n’est pas isotrope. Ceci indique que les relations définies sur un modèle de poutre sollicitée en flexion et torsion peuvent être discu- tables, non seulement par rapport aux dimensions de la section droite mais aussi vis-à-vis de l’homogénéité de la dalle prise comme modèle.
Deux types de résultats expérimentaux ont été utilisés pour cette analyse : la réceptance du rail en amplitude et en phase (
– ratio déplacement vertical
du rail/force d’impact sur le rail) est examinée pour le recalage des paramè- tres des semelles ;
les mobilités de transfert voie/sol (mesures à 2,5 m) sont exploitées pour –
recaler les données concernant la dalle de béton.
Le Tableau 6 indique les paramètres retenus après recalage.
La réceptance mesurée sur un rail nous renseigne principalement sur la semelle de rail. Les caractéristiques du rail étant connues (rail à gorge 35GP) et indiquées dans le tableau précédent, la confrontation modèle/mesures peut se faire en faisant appel aux modèles semi-analytiques proposés. Notons que dans le cas d’une pose classique, un modèle plus simple à deux dimensions et sol rigide suffit pour calculer la réponse du rail. En effet, la raideur de la fondation influence très peu la réponse du rail dès lors que le sol ainsi modélisé est suffisamment rigide, ce qui est généralement le cas. La Figure 73 présente les résultats obtenus pour l’amplitude et la phase de la réceptance, en comparaison avec les mesures. Les calculs sont menés à l’aide des modèles suivants :
un modèle simplifié 2D où le sol est parfaitement rigide ; –
le modèle proposé prenant en compte un chargement symétrique (identique –
sur les deux rails) ;
le modèle proposé prenant en compte un chargement non symétrique –
(effort appliqué nul sur le second rail, ce qui correspond à la situation expérimentale).
Tableau 6 : paramètres mécaniques retenus pour la voie sur le site de Ferrière Rails mr kg/m 55 Br MN/m2 4,326 ηr - 0,1 Semelles kp MN/m2 90 ηp - 0,3 Dalle b m 1,55 mc kg/m 4728 Bc MN/m2 1759 I0c kg.m 3930 Dc MN/m2 2580 ηc - 0,1
La raideur et l’amortissement de la semelle ont été recalés respectivement vis-à-vis de l’amplitude et de la phase de la réceptance mesurée, dans la gamme de fréquences 20-200 Hz. La raideur trouvée pour la semelle rentre bien dans la gamme de valeurs classiquement rencontrées pour ce type de poses. On note que la réceptance théorique est assez uniforme : dans la bande de fréquences
20-200 Hz, elle est presque uniquement liée à la raideur et à l’amortissement de la semelle sous rail (le sol influe en fait légèrement pour le cas du sol souple rencontré sur le site Ferrière). Elle croît en haute fréquence, la fréquence de réso- nance rail/semelle étant située au dessus de la gamme étudiée. Compte tenu des différences entre la mesure et le calcul (de l’ordre de 6 dB à 200 Hz), la raideur de la semelle pourrait éventuellement être rendue dépendante de la fréquence, avec une augmentation de la raideur lorsque la fréquence augmente.
Dans le cas du site Ferrière, le sol sur lequel repose alors la voie est relativement « souple », les deux premières couches ayant des vitesses pour l’onde de cisaille- ment valant respectivement 77 et 111 m/s. Néanmoins, la raideur du sol équivalente reste suffisamment importante pour que la rotation de la dalle, lors d’une excitation au
marteau, soit négligeable (compliance statique estimée autour de 10−8 m/N conforme
à la gamme généralement mesurée). La Figure 74 présente trois comparaisons entre la mesure de la mobilité de transfert voie/sol à 2,5 m du rail et les calculs pour :
une excitation symétrique identique sur les deux rails (
– P1 =P/2, P2 =P/2) ;
une excitation non symétrique sur un seul rail (
– P1 =0, P2 =P), correspon-
dant à la situation expérimentale ;
une excitation antisymétrique opposée sur les deux rails (
– P1 =P/2, P2 =–P/2).
Les amplitudes vibratoires sont toutes rapportées au module de l’excitation
P. L’analyse des résultats obtenus amène plusieurs commentaires. D’une part,
les réponses calculées pour le cas d’une excitation symétrique et sur un seul rail sont très proches. Ceci constitue la preuve de l’influence faible de la rotation de la dalle pour ce type de pose. D’autre part, lorsque l’excitation devient antisymétri- que, la réponse calculée change. La résonance voie/sol n’est plus visible, ce qui paraît physiquement cohérent. En dessous de 90 Hz la réponse du sol est alors Figure 73 : comparaison des réceptances de voies mesurées et calculées
sur le site de Ferrière
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −180 −178 −176 −174 −172 −170 −168 −166 −164 −162 −160 −158 −156 −154 −152 −150 fréquence (Hz)
amplitude dB (ref 1 m/N) Mesure
Calcul modèle 2D
Calcul modèle 1 − 3D pilonnement Calcul modèle 2 − 3D torsion
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 fréquence (Hz) phase (degré) Mesure
nettement plus faible pour le cas d’une excitation antisymétrique par rapport aux autres modes d’excitations.