0.3 Apport de la théorie des graphes dans l’approche théorique de la paramétri-
0.3.1 Un modèle formel pour les différents aspects d’un équipement multi-
posé. Ensuite dans la troisième partie, on étudiera la complexité de notre problème d’optimisation.
0.3.1 Un modèle formel pour les différents aspects d’un équipement multi-standards
0.3.1.1 Un modèle mathématique de la structure graphique d’un équipement multi-standards
La figure 4 fournit l’ exemple d’un système à deux standards (notés S et T ). Dans cette figure, des valeurs numériques sont associés aux sommets qui représentent le BC/CC du noeud, et d’autres associés aux arcs représentant le nombre d’appels des blocs (NoC).
16 Résumé en Français
Figure 4: Structure globale d’un système multi-standards illustrant la décomposition des standards S et T sur 4 niveaux
La structure graphique de l’approche théorique de la paramétrisation présentée dans le chapitre 1 peut être représentée de manière formelle. En effet, la struc-ture graphique du système multi-standards peut être décrite comme un hypergraphe orienté, indispensable pour représenter les deux dépendances "OU" et "ET". Cet hypergraphe orienté est défini par le couple (V, E), où l’ensemble de sommets V comprend les blocs (fonctions et opérateurs) présents dans la figure, et où l’hyperarc e ∈ E contient le sommet parent comme un sommet d’origine; quant aux sommets descendants capables d’effectuer la tâche du bloc parent, ils constituent l’ensemble d’extrémités de e.
A chaque fois que l’on est confronté à une dépendance de type "ET", l’hyperarc sera formé de telle sorte que le sommet parent soit le sommet d’origine, et tous les som-mets descendants via ce "ET" forment les somsom-mets dans l’ensemble d’extrémités de l’hyperarc. Par contre, lorsque l’on est confronté à une dépendance de type "OU", le sommet parent forme le sommet d’origine de l’hyperarc tandis que le seul sommet descendant nécessaire via cette dépendance "OU" forme le sommet d’extrémité de l’hyperarc.
Par exemple, ({S}, {A1, A2, A3}), ({B4}, {C2}), ({B4}, {C3}),
({A2}, {B1}), ({A2}, {B2, B3}), · · · etc appartiennent à l’ensemble E d’hyperarcs de l’hypergraphe orienté dans la figure 4.
Remarquons que cette représentation du système multi-standards par un hyper-graphe orienté est en fait un F-hyper-graphe puisque chaque hyperarc ne contient qu’un seul sommet d’origine qui est le sommet parent.
Chaque élément de traitement inclu dans la structure graphique d’un système multi-standards (représenté par un F-graph H) occupe un certain niveau. Ce qui suit est une remarque sur le niveau attribué à chaque élément de traitement. Supposons que l’on décompose les normes prises en charge sur n − 1 niveaux différents (donc au
0.3 Apport de la théorie des graphes dans l’approche théorique de la paramétrisation 17 total, on aura n niveaux, y compris le plus haut niveau des normes). Le niveau d’un bloc v dans la représentation d’un système multi-standards comme un hypergraphe orienté, noté L(v), est défini par:
L(v) = n − max
x/d− H(x)=0
( max
P : xC−chemin(l(P ))), (4) où l(P ) représente la longueur du chemin P .
Le niveau de chaque bloc dans la figure 4 est identifié à droite de la figure.
Dans ce qui suit, on définit ℑ par l’ensemble des normes dans le système multi-standards qui occupent le plus haut niveau. Ainsi, ℑ = {S, T } dans le cas de la figure 4.
La structure graphique du système multi-standards nous informe sur toutes les op-tions possibles pouvant mettre en œuvre sa conception. Avant d’expliquer comment chacune de ces options peut être représentée graphiquement, on va proposer quelques définitions nécessaires pour le reste de notre travail concernant les hypergraphes ori-entés.
Définition 2: Poids d’un chemin dans un hypergraphe orienté Poids d’un chemin dans un hypergraphe orienté
Soit P = Prn = (v1 = r,ei1, v2, ei2, v3, · · · , eiq, vq+1 = n) un rn-chemin et eij∈ E(P ). On définit la BF-réduction via le chemin P de eij par sa BF-réduction particulière obtenue en sélectionnant le sommet précédant de eij dans le chemin P afin qu’il soit le sommet queue et le sommet suivant de eij afin qu’il soit le sommet tête. On désigne par BFP(eij) la BF-réduction de eij via P . Ainsi, selon cette définition, on obtient: BFP(eij) = ({vj}, {vj+1}) j = 1, 2, · · · , q.
Supposons que l’on ait un hypergraphe orienté H = (V (H), E(H)) dans lequel un poids entier positif soit attribué à chaque arc de H. Pour tout chemin P entre r et n, on définit le poids de P par le produit des poids des BF-réductions via P de tous les hyperarcs dans E(P ). Ainsi, on peut écrire:
w(P ) = Y
eij∈E(P )
w(BFP(eij)) (5)
où w(P ) désigne le poids du chemin P et où w(BFP(eij)) représente le poids de BFP(eij) en H.
Par exemple, le poids du chemin allant de S à C1 dans la figure 4 (en passant par A2 et B2) est w({S}, {A2}) × w({A2}, {B2}) × w({B2}, {C1}) = 7 × 2 × 5 = 70. Définition 3. Ajout d’un hyperarc
18 Résumé en Français
Soit X un sous-hypergraphe orienté d’un hypergraphe orienté H tel que E(X) 6= E(H) et soit e appartenant à E(H) mais n’appartenant pas à E(X). En ajoutant e à X, on obtient un sous-hypergraphe orienté X′
de H, noté X + e, défini par : V (X′) = V (X) ∪ H(e) ∪ T (e) et E(X′) = E(X) ∪ {e}.
X + e est appelé sous-hypergraphe orienté de H induit par X et e. Définition 4. un G-chemin
Soit H un hypergraphe orienté et N ⊆ V (H).
On dit qu’un sous-hypergraphe orienté X est un G-chemin de H de racine N s’il satisfait:
1. d+
X(u) ∈ {0, 1} ∀ u ∈ V (X) 2. N ⊆ V (X)
3. ∀ u ∈ V (X), il existe un chemin de v à u pour un sommet v ∈ N 0.3.1.2 Une représentation d’une option de mise en œuvre
On a illustré chaque option de mise en œuvre choisie par un hypergraphe orienté obtenu à partir de la structure graphique d’origine du système SDR multi-standards, appelé graphe généré (GNG). Il est défini de telle sorte que les opérateurs choisis dans la conception soient illustrés avec une étoile devant vide et on montre toutes les fonctions nécessaires que les blocs installés construisent, étape par étape, jusqu’à ce qu’ils atteignent les fonctionnalités des normes de plus haut niveau.
La figure 3.2 montre les graphes générés (obtenus à partir de la figure 4) de deux options différentes de mise en œuvre capables de réaliser S et T . Dans la première option, les opérateurs choisis sont D2, D3, D4, C1, &B3 et le GNG correspondant est illustré sur la partie gauche de la figure 3.2. Quant à la deuxième option, les opérateurs choisis sont D2, D3, D4, C1, B3&B4 et la représentation GNG de cette option est celle représentée sur la partie droite de la figure 3.2.
La seule différence entre ces deux options est que dans la première, les blocs D2, D3, & D4 sont utilisés pour mettre en œuvre les fonctionnalités de A1&A3 passant à la fois par les blocs C2&B4 alors que dans le deuxième choix, D2, D3, &D4 sont utilisés pour réaliser bloc A3 mais le bloc B4 pour réaliser A1. Le cas de la deuxième op-tion représente une alternative dans laquelle certains blocs de niveaux inférieurs sont installés dans la conception, ainsi que ceux de niveaux supérieurs qui peuvent être construits par ceux de niveaux inférieurs. (car les opérateurs D2, D3 et D4 seront installés dans la conception ainsi que B4 qui lui-même peut être réalisé par D2, D3 et D4).
Cependant, il faut noter que le GNG de la première option est un G-chemins de racine ℑ, contrairement à la seconce option. Les graphes générés des options ressemblant à la seconde option ont toujours une partie dédoublée, ce qui contredit l’illustration
0.3 Apport de la théorie des graphes dans l’approche théorique de la paramétrisation 19
Figure 5: Les graphes générés (obtenus de la figure 4) de deux options de mise en œuvre différentes
d’un sous-hypergraphe orienté et donc ne correspondent pas à des G-chemins. Par conséquent, les options de mise en œuvre peuvent être divisées en celles dont les graphes générés sont des G-chemins de racine ℑ, et en celles où l’on trouve une par-tie dédoublée dans leur graphes générés.
0.3.1.3 Description de l’hypergraphe orienté multi-standards à partir de l’hypergraphe mono-standard
Dans cette partie, on va expliquer théoriquement comment arriver à la structure graphique des alternatives capables de mettre en œuvre le terminal multi-standards, étant donné les structures graphiques de chacun des standards. Par exemple, la décomposition du Wifi et UMTS montrée dans la figure 1.6 est obtenue à partir des structures graphiques distinctes qui représentent les différentes alternatives à mettre en œuvre pour le Wifi et l’UMTS seuls.
Soit T1 = (V (T1), E(T1)) un hypergraphe orienté représentant toutes les options de mise en œuvre pouvant implémenter un seul standard S1 et T2= (V (T2), E(T2)) un hypergraphe orienté illustrant les différentes alternatives capables d’implémenter un autre standard S2. On note T l’hypergraphe orienté illustrant les options de mise en œuvre pour les deux standards S1 et S2.
Il y aura fort probablement des opérateurs qui pourront être utilisés dans
l’implémentation des deux standards. En conséquence ∃V ⊆ V (T1) & ∃U ⊆ V (T2) tel que :
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Quand on dit "au sens de l’opérateur ", cela signifie en tenant compte des éléments de U & V comme des opérateurs fonctionnels tels que FFT, additionneurs , multi-plieurs, etc.
Par exemple, si la FFT est un opérateur qui peut être utilisé dans les deux standards S1 & S2, elle pourrait être le sommet v5 dans V (T1) et le sommet u3 dans V (T2). On écrit alors u3 = v5 au sens de l’opérateur.
On définit la fonction f : V −→ U tel que:
∀v ∈ V f (v) = u ⇔ v = u au sens de l’opérateur . Notons que f est une application bijective.
Définition 5. Soit e ∈ E(T2). Un hyperarc e′ est défini par: • ∀ r ∈ T (e) ∩ U(resp. r ∈ H(e) ∩ U), f−1(r) ∈ T (e′
) (resp. f−1(r) ∈ H(e′
)) • ∀ r ∈ T (e)\U (resp. r ∈ H(e)\U), r ∈ T (e′
) (resp. r ∈ H(e′)).
Dans l’hypergraphe orienté T , les opérateurs communs (entre V (T1) et V (T2)) qui sont les éléments des ensembles U et V seront introduits juste une fois, et tous les hyperarcs dans E(T1) et E(T2) qui utilisent un opérateur commun donné le parta-gent. Par conséquent, l’hypergraphe orienté T sera défini par le couple (V (T ), E(T )) tel que:
• V (T ) = V (T1) ∪ (V (T2)\U ). • E(T ) = E(T1) ∪ {e′ /e ∈ E(T2)}.
Une fois que T est donné, et étant donné un autre hypergraphe orienté T3 qui illustre toutes les alternatives capables d’implémenter un autre standard S3, on peut alors établir un hypergraphe orienté T′
représentant les différentes alternatives capables de mettre en œuvre les 3 standards S1, S2 & S3.
Il est alors évident que l’on peut définir un hypergraphe orienté pour un équipement multi-standards supportant n’importe quel nombre de standards.
0.3.1.4 L’équation formelle de la fonction de coût
Dans cette partie, on va établir une expression théorique alternative de la fonction de coût dans l’équation 3, qui évalue le coût de chaque option de mise en œuvre sélectionnée.
Dans la suite, on va noter w(A, B) le nombre de fois que le bloc A appelle le bloc B. Considérons à nouveau le premier choix de mise en œuvre exposé dans la partie 3.1.2 (en choisissant les opérateurs D2, D3, D4, C1, &B3) pour implementer les normes S et T de la figure 4. Le coût de la mise en œuvre via ce choix (selon l’équation 3) est
0.3 Apport de la théorie des graphes dans l’approche théorique de la paramétrisation 21 calculé comme suit:
Coût = (((CC(D2) × w(C2, D2) + CC(D3) × w(C2, D3) + CC(D4) × w(C2, D4)) × w(B4, C2))×w(A3, B4))×w(S, A3)+(((CC(D2)×w(C2, D2)+CC(D3)×w(C2, D3)+ CC(D4)×w(C2, D4))×w(B4, C2))×w(A1, B4))×w(S, A1)+((CC(C1)×w(B2, C1))× w(A2, B2)+CC(B3)×w(A2, B3))×w(S, A2)+(((CC(D2)×w(C2, D2)+CC(D3)× w(C2, D3)+CC(D4)×w(C2, D4))×w(B4, C2))×w(A3, B4))×w(T, A3)+BC(D2)+ BC(D3) + BC(D4) + BC(C1) + BC(B3)
= (((1 × 10 + 2 × 20 + 3 × 30) × 4) × 5) × 8 + (((1 × 10 + 2 × 20 + 3 × 30) × 4) × 4) × 6 + ((10×5)×2+11×3)×7+(((1×10+2×20+3×30)×4)×5)×3+10+5+6+100+150 Après avoir développé l’équation ci-dessus et avoir effectué certaines factorisations, on obtient une expression générale de la forme :
Cout = X y/d− GN G(y)=0 ( X x/d+GN G(x)=0 X P : yx−chemin CC(x) × w(P )) + X x/d+GN G(x)=0 BC(x) (6) où: • X x/d+GN G(x)=0
BC(x) est le coût total de fabrication des blocs (BC) x satisfaisant d+GN G(x) = 0, ce qui représente les blocs installés dans la conception.
• X
P : yx−path
CC(x) × w(P ) est le coût de calcul (CC) imposé par le bloc installé x, responsable de la réalisation du standard y.
• X
x/d+GN G(x)=0
X
P : yx−path
CC(x) × w(P ) représente le coût total de calcul imposé par tous les éléments de traitement x installés dans la conception pour effectuer la fonctionnalité de la norme y. • X y/d− GN G(y)=0 ( X x/d+GN G(x)=0 X P : yx−path
CC(x) × w(P )) représente le coût total de calcul pour réaliser tous les standards considérés.
0.3.2 Une borne supérieure du nombre d’options de mise en œuvre