La complexité de notre problème d’optimisation

Notre objectif est d’identifier les opérateurs communs (COs) les plus appropriés permettant de mettre en œuvre un terminal multi-standards donné, et dont le coût (donné par la fonction de coût expliquée dans 0.3.1.4) est minimum. Ainsi, notre problème d’optimisation peut être décrit selon :

Une description générale des paramètres: Les paramètres d’une variance de notre problème doivent représenter une structure graphique H d’un système multi-standards. Ce qui suit est une liste des variables de notre problème d’optimisation.

24 Résumé en Français

1. une liste de tous les n sommets dans V (H). 2. une liste de tous les m hyperarcs dans E(H). 3. le nombre de niveaux L.

4. le nombre de blocs dans chaque niveau. Soient a1, a2, · · · , aLle nombre de blocs dans les niveaux 1, 2, · · · , L.

5. Une liste des blocs occupant le niveau le plus haut (niveau L) qu’il est nécessaire d’implémenter.

6. Les valeurs numériques "CC & BC" de chaque bloc et le nombre d’appels (NoCs) sur chaque arc.

Question : Trouvez l’ensemble d’opérateurs U ⊆ V (H) capables de mettre en œu-vre le terminal multi-standards et dont le coût d’implémentation (donné par la fonction de coût) est minimum.

Rappelons qu’un problème d’optimisation peut être transformé en un problème de décision et qu’il n’est pas plus difficile que le problème d’optimisation correspondant. Le problème de décision correspondant à notre problème d’optimisation est formulé comme suit:

Une description générale des paramètres : • les points de 1 à 6 dans la de-scription des paramètres du problème d’optimisation (voir ci-dessus). • une constante B ≥ 0.

Le problème de décision se formule alors de la façon suivante :

Question : Peut-on trouver un ensemble d’opérateurs U ⊆ V (H) capables d’implé-menter les standards mis en jeu et dont le coût d’implémentation (donné par la fonction de coût) soit inférieur ou égal à B?

Nous avons alors établi le théorème suivant :

Théorème 3. Le problème de décision précédemment décrit est un problème NP à condition que le nombre de niveaux L du graphe représentant l’équipement multi-standards soit majoré par une constante i, c-à-d L ≤ i pour i ≥ 0.

Preuve. Considérons une variance I de notre problème. L’objectif est de rechercher une solution S pour cette variance, puis d’essayer de déduire une relation polyno-miale du nombre d’opérations nécessaires pour vérifier si la réponse pour I et S est «oui». Ceci implique l’étude du pire des cas qui correspond au nombre d’opérations maximum. Cependant, comme il est généralement impossible de déterminer exacte-ment le pire des cas exact, on va examiner des scénarios qui sont pire que le pire des cas.

Considérons une structure graphique H d’un système multi-standards avec tous les paramètres nécessaires (la variance I) contenant L niveaux. Recherchons une solu-tion S (une solusolu-tion pour notre problème est un ensemble U ⊆ V (H)) et supposons que |U| = k (c-à-d que l’on choisit k blocs par hasard). On devra alors vérifier les trois points suivants:

0.3 Apport de la théorie des graphes dans l’approche théorique de la paramétrisation 25 • Tout d’abord, il faut vérifier si la solution S peut mettre en œuvre l’équipement multi-standards: on montre qu’un maximum de m(L − 1) opérations est requis. • Ensuite, il faut calculer le coût de l’option choisie, qui est caractérisée par les

blocs sélectionnés dans U;

Dans cette étape, on doit trouver le nombre de multiplications et d’additions requis dans le calcul de la fonction de coût. Un graphe généré (GNG) ressem-blant à celui de la figure 3.7, noté WGN G, correspondant au pire des cas de mise en œuvre:

1. les k blocs choisis dans U occupent le plus bas niveau (niveau 1), ce qui génère les chemins les plus longs du niveau le plus élevé au niveau le plus bas.

2. une connexion de type "ET" entre chaque bloc v et tous les blocs qui occupent un niveau inférieur de celui de v correspond au pire des cas, car elle impose un nombre de chemins maximum des niveaux les plus hauts aux blocs choisis dans U.

Dans notre cas, nous sommes sûrs que la réalisation pratique ne sera pas plus complexe que le cas de la figure 3.7 considérée. C’est pourquoi on peut dire que c’est un cas encore plus complexe que le pire des cas.

Figure 6: Graphe WGN G généré représentant le pire des choix de mise en œuvre Soit v un sommet de WGN G tel que l(v) = i. On peut toujours trouver un chemin allant de tout sommet de ℑ à v traversant n’importe quelle combi-naison et n’importe quel nombre de sommets de niveaux L − 1 jusqu’à i + l (probablement aucun sommet du tout), occupant tous des niveaux différents. Il faut noter que les chemins traversent les sommets dans l’ordre décroissant des niveaux du graphe que chaque sommet occupe. Soit v un sommet de niveau i dans WGN G. On note ni une borne supérieure du nombre de chemins de ℑ à v. On peut obtenir la relation de récurrence suivante:

26 Résumé en Français

( nL−1= a_L

n_L−i= n_L−(i−1)(a_L−(i−1)) + n_L−(i−1)

(10) Soit s = max{a₂, · · · , a_L}. Par induction, on peut facilement conclure que n_L−iest de l’ordre de O(si). Par conséquent n₁ = n_L−(L−1), qui représente une borne supérieure du nombre total de chemins de ℑ à un sommet de niveau 1 dans W_{GN G}, est de l’ordre de O(sL−1). Il faut noter que le nombre total de chemins de ℑ à tous les k blocs installés dans niveau 1 est au plus kn1. Le calcul des poids de chacun de ces kn₁ chemins est nécessaire (la longueur d’un tel chemin est au plus L − 1) et ceci en cohérence avec la fonction de coût de l’équation 3.4. Ensuite son poids est multiplié par le coût de calcul (CC) du bloc correspondant installé. Ainsi, nous pouvons conclure que chaque chemin est associé au plus à L multiplications.

Puisque l’on a besoin d’une addition entre le poids d’un chemin et un autre, on aura kn1− 1 nombre d’additions dans le pire des cas.

Ainsi, au total, le nombre de multiplications et d’additions nécessaires pour calculer le coût correspondant sera inférieur à: kLn1+ (kn₁− 1).

• Ensuite, il faut comparer le coût trouvé dans la deuxième étape avec B: une seule opération est alors nécessaire.

Le nombre total d’opérations requises pour vérifier la réponse «oui» de la variance I et la solution S sera donc :

m(L − 1) + [kLn1+ kn1− 1] + 1. (11)

Si on désigne par b le max{s, k, m}, alors le nombre d’opérations nécessaires associées à l’équation 3.9 est une fonction en O(bL) (rappelons que n1 ∈ O(s^L−1) et L ≤ i). En outre, puisque L ≤ i, on conclut que l’équation 3.9 est une fonction en O(bi), nécessitant ainsi un temps polynomial.



Puisque l’on sait maintenant que notre problème d’optimisation n’est pas un prob-lème facile, il est nécessaire d’étudier des façons de le simplifier. Une possibilité réside dans l’exclusion d’un certain nombre de configurations permettant de réaliser l’équipement multi-standards. Ce point fera l’objet du chapitre suivant. Ensuite, nous proposerons un nouvel algorithme pour résoudre ce problème d’optimisation, en utilisant différentes notions de modélisation liées aux hypergraphes orientés, qui ne prennent en compte que les alternatives de mise en œuvre non-ignorées. Une analyse de complexité de cet algorithme par le pire des cas sera ensuite présentée.