Exclusion de certaines configurations pour la recherche du coût min-

Il a été mis en évidence dans la section 3.1.2 qu’il existe certaines alternatives ca-pables de mettre en œuvre la conception pour lesquelles un bloc donné est installé avec quelques autres qui peuvent le construire.

Dans cette partie on va prouver que de telles configurations, dont les graphes générés ne correspondent pas à des G-chemins de la structure graphique d’un système mutli-standards, ne peuvent avoir le coût minimal. En effet, après avoir effectué les développements nécessaires, nous montrons que d’autres configurations moins coû-teuse existent. Cela sera illustré sur un exemple et ensuite une généralisation sera fournie.

0.4.1.1 Un exemple

Un exemple est donné sur la figure 4.1. La configuration (1) représente un GNG d’une conception où l’implémentation de D et F est faite par les blocs de hauts niveaux H&I (par rapport à J, K, L, &I), alors que dans configuration (2), les blocs de niveaux plus bas J, K, L, &I seront installés pour réaliser à la fois D et F . Quant au GNG de la troisième configuration, le choix est d’implémenter F en utilisant J, K, L, &I mais aussi d’installer les blocs de niveaux plus élevés H&I (qui peuvent être mis en œuvre par les blocs de niveaux inférieurs J, K, L, &I) pour réaliser les fonctionnalités de D.

Remarquons que, dans la troisième configuration de la figure 4.1, il y a une partie dédoublée (DP) (qui comprend les fonctions A&H) qui est utilisée par un chemin qui a besoin de ses fonctionnalités (le chemin traversant bloc D). Le deuxième chemin atteignant DP (traversant bloc F ) considère plus de décompositions de certaines des fonctions à l’intérieur de DP (la décomposition de l’élément de traitement H). On note d’autre part qu’il y a une partie non-dédoublée (UP) (la fonction I dans la figure 4.1) qui partage dans le calcul de CC(A), où A est le seul bloc de plus haut niveau dans DP.

28 Résumé en Français

Figure 7: Trois configurations possibles

La question se porte maintenant vers les coûts de chacune de ces configurations. Le but est de démontrer que la configuration (3) ne peut en aucun cas avoir un coût minimum. Cela se démontre de la façon suivante. Tout d’abord, nous avons supposé que le coût de la configuration (2) était inférieur ou égal au coût de la configuration (1). En conséquence, nous avons alors démontré que le coût de la configuration (2) était obligatoirement inférieur au coût de la configuration (3). Ainsi, la configuration (2) est celle dont le coût est minimal. L’autre possibilité était de supposer que la configuration (2) avait un coût plus élevé que les configurations (1) et (3), et de prouver alors que, dans ce cas, la configuration (1) était la moins coûteuse.

0.4.1.2 Généralisation du principe l’exclusion

Dans cette partie, nous avons généralisé notre étude sur les possibilités de concevoir un design de coût minimum. En plus des parties dédoublées et non-dédoublées désignées par DP et UP, les notations suivantes ont été utilisées dans la généralisa-tion: DUP désigne la combinaison de DP et UP; DUBP est une combinaison des fonctions de DUP avec la décomposition (désignées par BP) de quelques opérateurs dans DP. Par exemple dans le cas de la figure 4.1, nous pouvons remarquer que DUP est constitué des blocs A, H et I alors que A, H, I, J, K, et L forment ceux dans DUPB. Notons que H et I sont les blocs de DUP de plus bas niveaux; J, K, L et I sont ceux de plus bas niveaux en DUPB.

Ainsi pour généraliser, on va se référer aux trois configurations de la figure 4.2. D’une manière analogue à l’exemple précédent, la configuration (1) consiste en deux chemins realisés par les blocs de DUP de plus bas niveaux, tandis que la deuxième configuration comprend deux chemins mis en œuvre par les blocs de plus bas niveaux

0.4 Une technique d’optimisation des équipements multi-standards utilisant la notion

d’hypergraphes orientés 29

de DUPB. Quant à la troisième configuration, l’un des deux chemins est mis en œuvre en utilisant les fonctions installées de DUP, et l’autre est réalisé par les opérateurs installés de DUPB. Nous avons alors démontré le théorème suivant:

Figure 8: Les trois configurations dans la cas général

Théorème 4. Une option de mise en œuvre d’un système multi-standards, dont le graphe généré comprend une partie dédoublée, ne peut jamais avoir un coût minimum. Pour le prouver, nous avons suivi la même démarche que celle utilisée dans l’exemple précédent.

Nous avons tout d’abord supposé que DP contient un seul bloc de plus haut niveau. La deuxième étape consiste à considérer que DP contient deux blocs de plus haut niveau. Dans ce cas, on a divisé DP en deux parties dédoublées dans lesquelles cha-cune contient exactement un seul bloc de plus haut niveau. Ensuite on a travaillé sur chaque DP séparément. On a remarqué que par induction, on peut étendre la preuve aux parties dédoublées contenant n’importe quel nombre de blocs dans le plus haut niveau.

Il faut noter que les deux premières configurations des figures 4.1 et 4.2 sont des G-chemins, ce qui n’est pas le cas pour la troisième. En conclusion, un concep-teur recherchant une configuration de coût minimal peut ignorer toutes celles dont les graphes générés contiennent une partie dédoublée. Ainsi, il peut restreindre son étude aux configurations de mise en œuvre dont les graphes générés sont des G-chemins de racine ℑ. Cette idée sera exploitée dans la partie suivante, où l’on propose un nouvel algorithme (en utilisant la théorie des graphes) qui peut résoudre le problème d’optimisation posé précédemment en ne traitant que les options de mise en œuvre dont les graphes générés sont des G-chemin de racine ℑ, au lieu de traiter toutes les alternatives possibles.

30 Résumé en Français

0.4.2 Un algorithme de recherche de configuration à coût minimal