Modèle d’endommagement continu isotrope de Lemaitre

La théorie générale de l’endommagement continu a été présentée au chapitre 1. Dans ce chapitre 5, nous nous plaçons dans le cadre d’un endommagement isotrope. Celui-ci est alors caractérisé par une grandeur scalaire, D, nulle pour un matériau vierge (i.e. non endommagé). La notion de contrainte effective, ˜¯σ, est définie par la relation (5.1). Les contraintes vraies, ¯σ, sont les contraintes réellement appliquées au matériau alors que les contraintes effectives, ˜¯σ, sont celles qui s’appliqueraient à un matériau vierge soumis à la même sollicitation (en particulier aux mêmes déformations et vitesses de déformation). Les contraintes effectives, ˜¯σ, sont calculées en utilisant les équations constitutives développées pour des matériaux vierges, conformément au principe d’équivalence en déformation. Elles sont ensuite affectées par l’endommagement selon la relation (5.1) pour calculer les contraintes vraies, ¯σ.

¯

σ = ˜σ (1 − D)¯ (5.1)

Parmi tous les modèles d’endommagement existant, ces travaux considèrent le modèle de Lemaitre [14] pour décrire l’évolution de D. Ses équations constitutives sont présentées au paragraphe suivant.

5.1.1 Équations constitutives

Le modèle d’endommagement continu isotrope de Lemaitre [14] est piloté en déformation plastique cumulée (5.2). Ainsi, le matériau s’endommage à partir d’un seuil de déformation plastique cumulée, αD, et l’évolution temporelle de D est pilotée par celle de α. Le modèle de Lemaitre fait intervenir le taux de restitution de densité d’énergie, Y (5.3), qui dépend de la fonction de triaxialité, Rv (5.4). En plus du seuil αD, le modèle de Lemaitre (5.2) est caractérisé par deux paramètres propres au matériau : le module ou coefficient d’endommagement, S, et l’exposant d’endommagement, s. ˙ D = Y S s ˙α, dès que α ≥ αD (5.2) Y = ^σ 2 eqR_v 2E (1 − D)^{2 (5.3)} avec : Rv = ² 3(1 + ν) + 3 (1 − 2ν) σH σeq 2 (5.4) où σeq est la contrainte équivalente vraie de von Mises (ou J2(¯σ)) et σH est la contrainte hydrostatique vraie, définie comme le tiers de la trace de ¯σ. σH

σeq est le taux de triaxialité. E et ν sont toujours le module d’Young et le coefficient de Poisson du matériau, respectivement.

Le modèle de Lemaitre pour l’endommagement est associé à des comportements en élasto-plasticité mo-délisés dans le cadre de la J2-plasticité déjà détaillé. Comme souligné au chapitre 1, bien que le principe d’équivalence en déformation permette l’utilisation des équations constitutives développées pour un matériau vierge pour le calcul des quantités effectives, certaines précautions doivent être prises pour coupler les modèles élastoplastiques et les modèles d’endommagement. Ainsi, on rappelle que la déformation plastique cumulée, α, n’est plus assimilable à la variable d’écrouissage isotrope, r, mais ˙α est homogène à ˙r

1−D. En effet, la définition de ces variables selon l’hypothèse de normalité en plasticité associée est inchangée. Alors :

˙r = − ˙λ∂R^∂f et ˙εp

ij = ˙λ_∂σ^∂f

ij = _1−D^˙λ _∂˜^∂f_σ

ij

avec R la loi d’écrouissage isotrope.

Dans ces travaux, on considère toujours une loi d’écrouissage isotrope de type Prandtl-Reuss [15] en loi puissance (5.5) et un écrouissage cinématique linéaire de Prager (5.6) [15]. Les états de contraintes admissibles

Modèle d’endommagement continu isotrope de Lemaitre 115 ne peuvent pas sortir de la surface de charge, f (5.7).

˜

σy = σ₀+ Krⁿ (5.5)

où ˜σy est la contrainte effective d’écoulement. ∂ ¯β ∂t ⁼ 2 3^H ∂ ¯εp ∂t (5.6) f = J₂ σ − ¯˜_¯ β
− ˜σy(r) ≤ 0 ^(5.7)

Les équations constitutives ainsi précisées sont implémentées dans des algorithmes à retour radial pour le calcul des champs mécaniques.

5.1.2 Algorithmes à retour radial

Le schéma des algorithmes à retour radial développés pour la J2-plasticité à loi d’écrouissage isotrope non-linéaire (Tableau 2.3 du chapitre 2) est adapté à la prise en compte du modèle d’endommagement de Lemaitre (5.2). La loi d’écrouissage isotrope non-linéaire est toujours implémentée sous la forme d’une loi linéaire par morceau. Les adaptations les plus significatives concernent la distinction devenue nécessaire entre r et α. L’algorithme ne calcule plus directement les évolutions du multiplicateur plastique, ∆λ, mais celles d’une variable Λ, homogène à α, telle que ∆Λ = ∆λ

1−D. Les variables sont alors mises à jour dans la phase de correction plastique selon les relations (5.8). Ce schéma des algorithmes à retour radial s’inspire de l’ap-proche semi-couplée plasticité-endommagement, proposée par Lemaitre [20, 90]a. En particulier, la valeur de la variable d’endommagement à l’incrément précédent, Dn, est utilisée pour le calcul des autres grandeurs mécaniques à l’incrément courant (n + 1). La valeur de Dn+1 est calculée en fin d’algorithme selon la relation discrétisée (5.9). Si sa valeur atteint 1, les contraintes vraies ¯σ_n+1 sont forcées à zéro.

∆α =^q2₃J₂ ξ^¯_n+1
∆Λ (1 − Dn) ∆r = ∆α (1 − Dn) ∆ ¯β = ²₃HP ¯ξn+1∆Λ (1 − Dn) ˜ ¯ σ_n+1= ¯ξ_n+1+ ¯β_n+1 (5.8) où ∆x = xn+1− xn. D_n+1 = Dn+ Yn S s (α_n+1− αn) (5.9) avec : Yn= ^σ2eq nRv n 2E(1−Dn)² et Rv n= ²₃(1 + ν) + 3 (1 − 2ν)^σH n σeq n 2

Le Tableau 5.1 présente le schéma complet des algorithmes à retour radial pour ces modèles élasto-plastiques endommageables.

La validation de l’implémentation des algorithmes à retour radial repose, comme pour les cas précédents, sur des comparaisons numériques. Des simulations EF fournissent les champs mécaniques de référence, dont les champs de déformations qui sont utilisés en entrée des algorithmes. Les grandeurs calculées par les algo-rithmes (contraintes, variables d’écrouissage, déformation plastique cumulée et endommagement) sont ensuite comparées aux grandeurs de référence.

Un exemple de test de validation considère un MEF composé d’un élément carré unique de 1 mm (Figure 5.1), à 4 nœuds et 9 points d’intégration dans le plan de l’élément. La résolution de ce MEF utilise le code

Entrées : ¯ε_n+1, grandeurs à l’état n, paramètres matériaux. Sorties : Grandeurs à l’état n + 1.

Test sur la valeur de r à l’incrément précédent : rn∈ [ri; ri+1[ Calcul de ˜σi

y = σ₀+ Krn

i et de K′= K^rni+1−rn i

r_i+1−ri

Calcul de l’état test (prédiction élastique) : ˜¯σtest, ¯ξtest, J2 _ξ¯test
ftest= J₂ ξ^¯test
− ˜σi y+ K′r_n
Si ftest> 0, alors : ∆Λ = ^ftest J2(_ξ¯test)[2µ+2 3H+2 3K′] Pour i = 1 à N : Ξ =^hQ−1+ ^∆Λ 1+2 3H∆ΛPⁱ⁻¹ ¯ ξ_n+1= ¹ 1+²₃H∆ΛΞQ⁻¹ξ^¯test ∆Λ = ^ftest J₂(_ξ¯_n+1)[2µ+²₃H+²₃K′] Mises à jour des variables (5.8) :

¯ ξ_n+1 = ¹ 1+²₃H∆ΛΞQ−1_ξ¯test αn+1= αn+²₃∆ΛJ2 _ξ¯_n+1
(1 − Dn) r_n+1= rn+ (α_n+1− αn) (1 − Dn) ¯ β_n+1 = ¯β_n+²₃∆ΛHP ¯ξ_n+1(1 − Dn) ˜ ¯ σn+1= ¯ξn+1+ ¯βn+1 ¯ ε^p_n+1= ¯ε^pn+ ∆ΛP ¯ξ_n+1

Calcul de la nouvelle loi de comportement r_n+1 ∈ [rj; r_j+1[

Calcul de ˜σy^j et de K′

Calcul de la nouvelle surface de charge : f_n+1 = J₂ ξ^¯_n+1
−^σ˜y^j+ K′r_n+1^ Vérification du retour sur la surface de charge :

Si fn+16= 0 alors, correction des contraintes. Calcul de ˜σeq n+1

Sinon :

Mise à jour des variables pour un incrément élastique. Calcul de l’endommagement :

Siαn+1 ≥ αD

Calcul des contraintes vraies à l’incrément n : ¯σn, σeq n, σH n

Calcul de Rv n et Yn Calcul de Dn+1 (5.9) Si D_n+1≥ 1 : D_n+1= 1 ˜ ¯ σn+1= ¯0

Calcul de la déformation dans l’épaisseur pour assurer la condition de contraintes planes.

Table 5.1 – Schéma semi-couplé des algorithmes à retour radial en J₂-plasticité et endommagement de Lemaitre

implicite ZéBuLoN sous l’hypothèse de contraintes planes. Le matériau est affecté d’un module d’Young, E, de 71 GP a et d’un coefficient de Poisson, ν, de 0.3. Son comportement est modélisé en J2-plasticité par un écrouissage isotrope en loi puissance (5.5) (σ₀ = 300 MP a, K = 600 MP a, n = 0.5025) et un écrouissage cinématique linéaire (5.6) (H = 5 000 MP a). Les paramètres d’endommagement S et s valent respectivement

Modèle d’endommagement continu isotrope de Lemaitre 117 2.8 MP a et 2b. Sous ZéBuLoN, la valeur du seuil d’endommagement n’est pas renseignable par l’utilisateur et αD = 0. L’élément unique subit un chargement de traction-compression uniaxiale. Celui-ci est imposé sous la forme d’incréments de déplacement selon ~y sur les deux nœuds supérieurs de l’élément. Pendant la phase de traction, 30 incréments de 5 10−3 mm sont imposés, puis la phase de compression comporte 16 incréments de −6 10−3 mm. La Figure 5.2 permet de constater que les grandeurs mécaniques calculées par l’algorithme à retour radial sont tout à fait cohérentes avec celles calculées par ZéBuLoN.

Figure 5.1 – Degrés de liberté de l’élement unique

(a) σyyvs. εyy (b) σeq

(c) r (d) D

Figure 5.2 – Évolutions au cours du chargement de traction-compression des grandeurs mécaniques pour l’élément unique

À titre illustratif, la Figure 5.3 permet d’observer l’évolution de l’endommagement au sein d’une éprouvette carrée de 1 mm de côté et divisée en 400 éléments. Les conditions aux limites imposées à cette éprouvette sont similaires à celles imposées à l’élément unique et un chargement de traction uniaxiale est imposé sous la forme

b. Les paramètres élastiques et plastiques sont choisis arbitrairement mais sont proches de ceux rencontrés pour des aluminiums. Les paramètres d’endommagement S et s sont ceux proposés par Lemaitre et al [14] pour l’acier 2-1/4 CrMo. Ce matériau a un seuil d’endommagement αD= 0.12et sa valeur critique d’endommagement est Dc= 0.2.

d’incréments de déplacement. Cette Figure 5.3 permet de constater à nouveau que le calcul de la variable d’en-dommagement par l’algorithme à retour radial est conforme aux résultats renvoyés par le solveur EF ZéBuLoN.

Déplacement de 0.540 mm Déplacement de 0.544 mm Déplacement de 0.549 mm

(a) Code EF ZéBuLoN

Déplacement de 0.540 mm Déplacement de 0.544 mm Déplacement de 0.549 mm

(b) Algorithme à retour radial

Figure 5.3 – Endommagement d’une éprouvette carrée

L’implémentation des algorithmes à retour radial pour des comportements en J2-plasticité associés à un modèle d’endommagement de Lemaitre (5.2) est validée. Ces algorithmes peuvent désormais être intégrés au processus d’identification par la MCV.

5.2 Caractérisation de modèles de comportement plastiques