Modèle viscoplastique de Norton
A.1 Equations constitutives
Les travaux présentés dans ce mémoire s’intéressent particulièrement à la caractérisation par la Méthode des Champs Virtuels du modèle viscoplatique de Johnson-Cook (3.3), très utilisé pour des applications indus-trielles. Comme on a pu le voir, ses équations constitutives couplent le calcul des contraintes visqueuses à celui des contraintes d’écrouissage plastique. Le modèle de Norton [15, 17] utilise une approche différente avec un calcul découplé des deux types de contraintes. Les contraintes d’écoulement visqueuses, σv, sont calculées selon la relation (A.1), à partir de la variable d’écrouissage isotrope, r, et des deux paramètres matériau N et η. Le multiplicateur plastique peut prendre une nouvelle expression (A.2), dépendante de la surface de charge, f . Les états de contraintes admissibles peuvent sortir de la surface de charge lors d’un écoulement viscoplastique. La valeur de f peut donc être strictement positive pour le modèle de Norton.
σv = η ˙rN1 (A.1)
˙λ = hfi η
N
(A.2) où h.i sont les crochets de McCauley, définis par hxi = 1
2(x + |x|) (conservation des parties positives de x).
Remarque : Dans cette annexe, on présente le modèle de Norton pour un matériau vierge, sans prendre
en compte d’endommagement. Par la suite la variable d’écrouissage isotrope, r, sera donc assimilée à la déformation viscoplastique cumulée, α.
Des algorithmes à retour radial sont implémentés pour le calcul des champs mécaniques à partir des champs de déformations pour le modèle de Norton associé à des écrouissages isotrope en loi puissance (A.3) et ciné-matique linéaire (A.4). Le critère de plasticité de von Mises est toujours utilisé pour exprimer la surface de charge, f (A.5). On note ¯ξ = ¯σ − ¯β.
σy = σ0+ Kαn (A.3) d ¯β dt = 2 3H d¯εp dt (A.4) f = J2 ξ¯− σy (A.5) avec : f < 0 comportement élastique
f = 0 comportement plastique indépendant du temps f = σv > 0 comportement viscoplastique de Norton
Le schéma de ces algorithmes est similaire à ceux présentés précédemment, en particulier l’intégration temporelle est toujours implicite et on fait l’hypothèse d’un état de contraintes planes. Une phase de correction plastique suit une phase de prédiction élastique. Les adaptations par rapport aux cas de J2-plasticité (cf chapitre 2, Tableau 2.3) concernent principalement la modification du calcul des incréments du multiplicateur plastique, ∆λ. D’après la relation (A.2), ∆λ
∆t = fn+1
η
N
, avec n + 1 l’incrément courant et ∆t l’incrément temporel séparant les cartographies de déformation n et n + 1. En considérant une approximation linéaire par morceau de la loi d’écrouissage isotrope (A.3), fn+1 peut être exprimée comme suit :
fn+1= J2 ξ¯n+1− σiy− K′αn+1 où σi y = σ0+ Kαn i et K′ = α n i+1−αn i αi+1−αi, ∀α ∈ [αi; αi+1]. De même, l’expression de la surface de charge test est :
ftest= J2 ξ¯test− σyi − K′αn
Alors :
fn+1= ftest+ J2 ξ¯n+1− J2 ξ¯test
− K′∆α Or, on a montré au chapitre 2 que J2 ξ¯test
= J2 ξ¯n+1ξξ¯¯test
n+1, avec ¯ξtest = ¯ξn+1+ 2µ + 23H∆λP ¯ξn+1. Enfin, ∆α = 23∆λJ2 ξ¯n+1. Alors : fn+1 = ftest− J2 ξ¯n+1 2µ + 2 3H + 2 3K ′ ∆λ et : ∆λ ∆t = " ftest− J2 ξ¯n+1 2µ + 23H + 23K′∆λ η #N (A.6) La résolution de l’équation (A.6) permet le calcul de ∆λ nécessaire à la mise à jour des variables pendant la phase de correction plastique. Dans ces travaux, le problème est simplifié en posant N = 1, ce qui permet d’exprimer directement ∆λ (A.7). Son calcul par les algorithmes à retour radial utilise une boucle itérative, initiée par la valeur approchée ∆λ0 (A.8), car la valeur de J2 ξ¯n+1 est inconnue. Le Tableau A.1 présente le schéma complet des algorithmes à retour radial pour ce modèle de Norton simplifié (N = 1).
∆λ = f test η ∆t+ J2 ξ¯n+1 2µ + 23H + 23K′ (A.7) ∆λ0 = f test η ∆t+ J2 ξ¯test 2µ +23H +23K′ (A.8)
L’implémentation des algorithmes à retour radial est validée par un processus de comparaisons numériques. Pour cela, des MEF de différentes éprouvettes sont résolus par le solveur ZéBuLoN (en contraintes planes). Les champs de déformation EF constituent alors les données d’entrée des algorithmes. Les grandeurs mécaniques calculées en sortie sont ensuite comparées aux références EF. Un exemple de validation considère l’éprouvette perforée (Figure 2.2 du chapitre 2) en chargement de traction-compression. Le comportement du matériau est modélisé en J2-plasticité par une loi d’écrouissage isotrope non-linéaire (A.3), de paramètres σ0 = 300 MP a, K = 600 MP a et n = 0.5025, et une loi d’écrouissage cinématique linéaire (A.4) de paramètre H = 5 000 MP a. Les paramètres élastiques (loi de Hooke isotrope en contraintes planes) sont E = 71 GP a et ν = 0.3. Enfin, le paramètre de Norton est η = 2 500 MP a. Les Figures A.1 et A.2 permettent de constater la cohérence des résultats de l’algorithme à retour radial pour ce type de comportement. Une fois les implémentations validées, les algorithmes à retour radial développés pour la prise en compte du modèle viscoplastique de Norton peuvent être intégrés au processus de la MCV.
Equations constitutives 137 Entrées : ¯εn+1, grandeurs à l’état n, paramètres matériaux.
Sorties : Grandeurs à l’état n + 1.
Test sur la valeur de α à l’incrément précédent : αn∈ [αi; αi+1[ Calcul de σi
y et de K′ (2.24)
Calcul de l’état test (prédiction élastique) : ¯σtest, ¯ξtest, J2 ξ¯test (2.18) ftest= J2 ξ¯test − σi y+ K′αn Si ftest > 0, alors : ∆λ = η ftest ∆t+J2(ξ¯test)[2µ+2 3H+2 3K′] (A.8) Pour i = 1 à 50 : Ξ =hQ−1+ ∆λ 1+23H∆λPi−1 ¯ ξn+1= 1+21 3H∆λΞQ−1ξ¯test (2.22) ∆λ = η ftest ∆t+J2(ξ¯n+1)[2µ+2 3H+2 3K′] (A.7) Mises à jour des variables :
¯ ξn+1 = 1 1+23H∆λΞQ−1ξ¯test (2.22) αn+1= αn+23∆λJ2 ξ¯n+1 (2.15) ¯ βn+1 = ¯βn+ 23∆λHP ¯ξn+1(2.15) ¯ σn+1 = ¯ξn+1+ ¯βn+1 ¯ εpn+1= ¯εpn+ ∆λP ¯ξn+1
Calcul de la nouvelle loi de comportement αn+1 ∈ [αj; αj+1[
Calcul de σj
y et de K′ (2.24)
Calcul de la nouvelle surface de charge : fn+1 = J2 ξ¯n+1
−σjy+ K′αn+1
Vérification de la surface de charge : Calcul de σv= 23∆tη ∆λJ2 ξ¯n+1 (A.1)
Si |fn+1− σv| > 0 alors, correction des contraintes. Sinon :
Mise à jour des variables pour un incrément élastique (2.16).
Calcul de la déformation dans l’épaisseur pour assurer la condition de contraintes planes.
TableA.1 – Schéma de l’algorithme à retour radial en J2-plasticité et modèle viscoplastique de Norton linéaire
(a) σyy (b) σeq vs α
Code EF ZéBuLoN (MP a) Algorithme RR (MP a)
(a) En fin de traction
Code EF ZéBuLoN (MP a) Algorithme RR (MP a)
(b) En fin de traction-compression
Figure A.2 – Cartographies de σyy en fin de phase de traction et de traction-compression
Remarque : Pour ce modèle de comportement, le solveur ZéBuLoN doit considérer les incréments temporels,
∆t, entre deux cartographies successives. Pour cela, les chargements imposés sont définis sous formes de plusieurs séquences. Chacune d’entre elles est caractérisée par un temps initial et un temps final, une valeur totale du déplacement (ou de l’effort) imposée à ces deux instants et un nombre d’incréments. La valeur de ∆t considérée par ZéBuLoN est alors constante pour chaque séquence de chargement et égale à la différence entre les temps final et initial correspondants, divisée par le nombre d’incréments sur cette séquence.