Modèle anélastique

Comme nous l’avons déjà signalé, l’approximation anélastique est une approxi-mation du système d’équations (2.6)–(2.8) qui cherche à décrire plus simplement des écoulements convectifs à bas nombre de Mach, notamment en filtrant les ondes sonores. Une dérivation détaillée de cette approximation se trouve dans les travaux de Braginsky & Roberts (1995, 2003, 2007). La même formulation a égale-ment été obtenue indépendamégale-ment par Lantz & Fan (1999) puis popularisée par Jones et al. (2011). L’idée à la base de ce modèle consiste à considérer la convection comme une perturbation par rapport à un état de référence stationnaire corres-pondant à un gaz parfait stratifié adiabatiquement à l’équilibre hydrostatique. On décompose donc la pression p, la densité% et la température T sous la forme

f = fa+ fc, (2.31)

où fa= fa(z) désigne la composante correspondant à l’état de référence et fc la perturbation due à la convection telle que f_c/ f_a= O(²), où ² ¿ 1 mesure l’écart à l’état de référence adiabatique. On peut, par exemple, prendre pour définition

² = d

puissances de² et prend alors la forme ∇ ·^¡%au¢ = 0, (2.32) Du D t = −∇ µ p_c %a ¶ − ^s cpg +^F ν %a , (2.33) %aT_a^{D s} D t = −∇ · I^q+Q^ν. (2.34)

Le premier point important à noter à propos de ce système concerne le terme de poussée d’Archimède qui se trouve simplement exprimé en fonction de l’entropie, mais dont l’expression naturelle serait

− ¹

%a∇pc+%c

%a

g . (2.35)

Cependant, en utilisant les relations thermodynamiques (1.6) et (1.7) et l’équilibre hydrostatique (1.9), on peut réexprimer les fluctuations de densité en fonction de l’entropie et de la pression, %c= µ∂%a ∂s ¶ p s + µ∂%a ∂p ¶ s p_c= −%a c_ps − ¹ %ag ∂%a ∂z ^{pc. (2.36)}

La poussée d’Archimède peut donc s’écrire sans approximation supplémentaire

%c %ag = − ^s c_pg −^pc %2 a ∇%a, (2.37)

conduisant ainsi à l’expression de Navier-Stokes (2.33). On voit notamment appa-raître une pression réduite p_c/%a, dont le gradient joue le même rôle que le gradient de pression dans l’approximation de Boussinesq, à savoir celui d’un multiplicateur de Lagrange permettant de satisfaire la contrainte (2.32). Cette importante simpli-fication caractérise la variante LBR du système anélastique et justifie, a posteriori, d’utiliser la formulation entropique de l’équation du transfert de chaleur (2.8) comme point de départ dans la dérivation de l’approximation anélastique (de préférence à une formulation équivalente basée sur la température, par exemple). Brown et al. (2012) ont montré que d’autres variantes de l’approximation anélas-tique ne conservent pas l’énergie. Leur approche repose sur l’étude des ondes de gravité dans un fluide stablement stratifié en négligeant les termes dissipatifs. En général, ces équations diffèrent de l’approximation LBR, soit par l’utilisation des fluctuations de température pour exprimer la poussée d’Archimède (Rogers & Glatzmaier 2005), soit par la prise en compte de termes proportionnels à ∇sa, par essence négligeables dans l’hypothèse d’un état de référence adiabatique.

Une autre difficulté réside dans l’incorporation de la diffusion thermique, car l’approximation anélastique proprement dite ne présuppose aucune condition

sur le traitement du flux de chaleur. Néanmoins, une utilisation naïve de la loi de Fourier habituelle conduirait à des incohérences. En effet, l’état de référence serait alors surdéterminé entre, d’une part l’hypothèse d’adiabaticité, et d’autre part, la condition de stationnarité qui aboutirait à la contradiction ∇ ·¡−kg/cp¢ = 0. Cette difficulté peut être éludée en faisant l’hypothèse que le transport de chaleur sera principalement assuré par la turbulence, de telle sorte que l’on pourra négliger la contribution du flux de Fourier. Autrement dit, on utilise en réalité une équation de champ moyen qui repose nécessairement sur une relation de fermeture censée modéliser les petites échelles de la turbulence. Soit s^t le terme représentant les fluctuations turbulentes d’entropie tel que

〈s^t〉 = 0 , (2.38)

où les crochets 〈〉 désignent une procédure de moyenne permettant de définir l’entropie de grande échelle S ; le flux recherché va donc venir des corrélations entre ce terme s^tet le champ de vitesse turbulent u^t, corrélations que l’on modélise en fonction du gradient de l’entropie moyenne,

I_i^St= 〈%as^tu^t〉i= −%aκi j ∂S ∂xj

. (2.39)

L’hypothèse supplémentaire d’isotropie — certes discutable — permet de sim-plifier le cœfficient de proportionnalitéκi j= κsδi j. En outre, pour obtenir une

équation de conservation, il est nécessaire d’introduire«à la main»un terme

source d’entropieσt correspondant au flux I^St,

σt

= I^St· ∇T_a⁻¹_0 . (2.40)

C’est à ce prix qu’on obtient alors l’équation de transfert de chaleur telle qu’elle est utilisée,

%aT_a^DS

D t = −∇ ·^¡%aT_aκs∇S¢ +Q^ν. (2.41)

Notons que si l’on utilise l’approximation anélastique pour modéliser une zone stablement stratifiée, comme c’est parfois le cas, on s’attend à ce que ∇S · ∇T ≤ 0, auquel cas ce système d’équation se trouve en contradiction avec le second principe de la thermodynamique. De plus, il convient d’ajouter que les arguments permettant d’arriver à cette équation deviennent d’autant plus douteux que l’on se trouve proche du seuil de convection. Les équations anélastiques ne sont alors plus nécessairement une bonne approximation du système compressible (Calkins

et al. 2014, 2015).

Cependant, cette formulation présente aussi plusieurs avantages, ce qui ex-plique sans doute pourquoi elle s’est finalement imposée dans la communauté

scientifique. On constate ainsi que la température n’est plus une variable dyna-mique du problème. Il n’est donc pas nécessaire de calculer p_c, %c et T_c pour déterminer l’évolution temporelle du système, et le nombre d’inconnues est en fait le même que dans l’approximation Boussinesq (l’entropie ayant remplacé la tem-pérature). De plus, on retrouve asymptotiquement l’approximation de Boussinesq dans la limite d’un état de référence faiblement stratifié (Jones et al. 2009). Nous ne serons d’ailleurs pas les premiers à faire preuve d’un certain pragmatisme :

This simplification, which we hope is only mildly false, compensate for its deficiencies with enormous computational advantages.

Depassier & Spiegel (1981)