2.2 Modélisation des conduits pneumatiques
2.2.2 Modèle d’acoustique non-linéaire
¶ ∂x = 0 (2.2) ∂ρv ∂t + ∂(P + ρv2) ∂x = 0 (2.3)
avec ρ la masse volumique du fluide, v la vitesse de l’écoulement, e et u les énergies totale et interne du fluide, P la pression statique.
On peut encore écrire le modèle d’Euler sous forme vectorielle : ∂X ∂t + ∂F (X ) ∂x = 0 (2.4) avec : X = ρ ρe ρv et F (X ) = ρv ρvµ P ρ + u + v2 2 ¶ P + ρv2
Il faut préciser que les frottements et les pertes aux parois sont négligés dans un premier temps pour simplifier la résolution des équations précédentes. Dans un second temps, des modèles de pertes de charge et d’échanges thermiques seront intégrés au modèle complet de conduite en respectant la topologie bond-graph (cf. Annexe A).
2.2.2 Modèle d’acoustique non-linéaire
Schéma bond-graph du modèle de conduite
Dans le cadre de la théorie de l’acoustique non-linéaire8, nous résolvons simultanément les équations de continuité, d’énergie et du moment (équations de Navier-Stokes) - simplifiées pour obtenir les équations d’Euler monodimensionnelles présentées ci-dessus - qui tiennent compte respectivement :
− du comportement dynamique du gaz dans chaque volume (conservation de masse), − de l’effet des variations de pression et de température (conservation d’énergie),
− de la transmission du flux et des pertes de charge (conservation de quantité de mouvement). Notre démarche consiste alors à appliquer une discrétisation spatiale de ces EDP (Équations aux Dérivées Partielles) pour obtenir un modèle élémentaire basé sur des EDO (Équations aux Dérivées Ordinaires). Pour cela, on définit un volume de contrôle9 V de longueur L et de section S, dont on va exprimer le modèle dynamique discrétisé en fonction des grandeurs caractéristiques du fluide (P , T , v, Q, h) en entrée et en sortie (cf. figure 2.4).
8
"Acoutisque" car cette théorie tient compte de la propagation des ondes de pression liées à un changement brusque du régime d’écoulement, "non-linéaire" car la température n’est pas supposée constante.
9
2.2 Modélisation des conduits pneumatiques
Fig.2.4 – Volume de contrôle, variables d’état et variables d’entrée/sortie
On rappelle les définitions de la masse volumique : ρ = m/V , de la quantité de mouvement : ρv = Q/S et de l’enthalpie : h = u + P/ρ, et on reformule les équations d’Euler :
− l’équation de conservation de la masse : ∂ρ ∂t +
∂ρv ∂x = 0 s’écrit sous forme discrétisée :
dm
dt = Q1− Q2 (2.5)
− l’équation de conservation de l’énergie : ∂ρe ∂t = − ∂ρv µ u +P ρ + v2 2 ¶ ∂x = − ∂ρv µ h + v 2 2 ¶ ∂x s’écrit sous forme discrétisée :
dme dt = Q1 µ h1+ v 2 1 2 ¶ − Q2 µ h2+v 2 2 2 ¶ (2.6) − l’équation de conservation de la quantité de mouvement :
∂ρv ∂t +
∂(P + ρv2)
∂x = 0
s’écrit sous forme discrétisée : dmv
dt = S1¡P1+ ρ1v12¢ − S2¡P2+ ρ2v22¢
(2.7) On réécrit ensuite les équations en intégrant les hypothèses suivantes :
· on suppose que la température du fluide n’est pas constante, et que les enthalpies en amont et en aval du volume de contrôle sont différentes : h1 = CPT1 et h2= CPT2;
· on considère une conduite avec une section constante : S1 = S2 = S ;
· on suppose que les grandeurs (P , T ) à l’intérieur du volume de contrôle sont égales aux grandeurs de sortie : P = P2 et T = T2;
· on néglige l’énergie cinétique massique ec= v2/2 devant l’énergie interne massique u dans l’énergie massique totale (e = u + ec) d’une part, devant l’enthalpie h d’autre part ; · on néglige le moment convecté ρv2 (ou pression dynamique) devant la pression statique P .
Les équations d’Euler discrétisées deviennent finalement : dm dt = Q1− Q2 (2.8) dmu dt = Q1CPT1− Q2CPT2 (2.9) dmv dt = S (P1− P2) (2.10)
Résolution des équations d’Euler discrétisées
Les trois équations (2.8) à (2.10) de conservation vont être associées à des éléments de la typologie graph ([R]-[C]-[I], cf. Annexe A) qui permettront leur intégration. En bond-graph10, l’élément [C] est un intégrateur de flux qui renvoie l’effort associé à ce flux, l’élément [I], lui, intègre les efforts pour renvoyer le flux associé à ces efforts. Dans le cas des écoulements, l’élément [R] va être utilisé pour représenter les pertes modélisées par la suite.
Comme le montre la figure 2.5, les entrées du modèle sont données par les volumes de contrôle amont et aval : P1 et T1 par l’élément capacitif en amont, Q2 et Q2h2 par l’élément inertiel en aval. Les sorties du modèles sont la pression P2 et la température T2 dans le volume de contrôle considéré d’une part, les débits massique Q1 et enthalpique Q1h1 le traversant d’autre part. Détaillons à présent le schéma de calcul suivant la topologie bond-graph.
Fig. 2.5 – Composantes capacitive et inertielle des équations d’Euler
− L’équation de quantité de mouvement (2.10) est associée à un élément inertiel [I] car elle intègre des efforts (pressions statiques P ) pour calculer un flux (débit massique Q) :
mv = S Z
(P1− P2)dt
Soit, en introduisant les définitions du débit massique Q = mv/L et de l’inertie fluidique : I = L/S :
Q1= R (P1− P2)dt I
10
Il faut préciser que nous nous plaçons dans le formalisme du "pseudo bond-graph" en respectant toutes les règles fondamentales du bond-graph, sauf le principe de transmission de puissance. En effet, en "vrai bond-graph", on a : "effort ∗ flux = puissance", soit P ∗ Qv=P, alors qu’en "pseudo bond-graph" : P ∗ Q 6= P.
2.2 Modélisation des conduits pneumatiques
− Pour ajouter la dimension thermique au modèle bond-graph, l’élément [I] va également imposer - à partir de la température T (effort) dans chaque volume de contrôle - le débit enthalpique Qh (flux) entre deux volumes successifs :
Q1h1 = Q1CPT1= R (P1− P2)dt
I CPT1
− Les équations de conservation de masse (2.8) et d’énergie (2.9) sont associées à l’élément capacitif [C] car toutes les deux intègrent des flux (débit de masse Q ou d’enthalpie Qh) :
m = Z (Q1− Q2)dt mu = Z (Q1CPT1− Q2CPT2)dt
− Les pression et température dans le volume de contrôle vont être calculées en fonction de la masse m et de l’énergie interne massique u à partir de l’intégrale des flux dans l’élément [C] et de la loi des gaz parfaits :
P = mrT V = mru V CV = γ − 1 V mu T = u CV = (γ − 1)u r
Finalement, les variables d’état pour modéliser l’acoustique non-linéaire dans une conduite sont la masse, l’énergie interne et la quantité de mouvement contenues dans les volumes de contrôle. Les efforts associés sont la pression et la température, qui permettent de calculer les débits de masse et d’enthalpie.
Approches "0D" et "pseudo-1D"
La modélisation en dynamique des fluides compressibles fait appel habituellement à la simu-lation numérique (CFD11) pour la résolution d’équations aux dérivées partielles de type Euler (modèles à 1, 2 ou 3 dimensions). Cependant, la conception de lois de commande nécessite la mise en place de modèles d’analyse réduits et bien conditionnés, qui peuvent être obtenus au travers d’une approche analytique simplifiée (modèles à constantes localisées ou réparties).
Partant du modèle général décrit précédemment - qui calcule un vecteur d’état pour chaque volume de contrôle - on peut discrétiser un système pneumatique selon deux méthodes :
· on peut considérer l’approche purement "0D" (modèle à constantes localisées) : on calcule une pression et une température pour chaque macro-composant (conduites, réservoirs...) avec un élément capacitif, et on remplace l’élément inertiel par des connexions (modèles statiques d’orifices ou de vannes...) qui calculent le flux entre deux éléments capacitifs successifs ;
· on peut aussi appliquer l’approche "pseudo-1D" (modèle à constantes réparties) : il s’agit alors de discrétiser chaque conduite en plusieurs volumes élémentaires, et de calculer dy-namiquement la transmission du flux par l’équation de quantité de mouvement.
11
La discrétisation grossière des modèles "0D" peut sembler restrictive, mais elle autorise des temps de simulation réduits et est bien adaptée à la synthèse de lois de commande. A l’inverse, les modèles "pseudo-1D" fournissent une meilleure précision : ils prennent en compte l’acoustique (ondes de pression) et l’inertie des gaz, au détriment du temps de calcul.