Conditionnement du modèle pour la commande

Normalisation

La modélisation du système d’air considéré amène à travailler avec des grandeurs physiques dont les valeurs vont de 1.10−3 kg.s−1à 3.105Pa, ce qui peut entraîner des problèmes numériques lors de l’analyse des modèles (analyse de commandabilité ou d’observabilité, réduction de mo-dèle...) ou de la synthèse des lois de commande. Pour y remédier, une méthode de normalisation, ou scaling (cf. [41]), est appliquée au modèle non-linéaire du système d’air. Par souci de clarté, cette normalisation restera transparente dans la suite de l’étude.

La normalisation d’un modèle a pour objectif de rendre les entrées, les sorties et les pertur-bations d’importance égale, en divisant chacune de ces variables par sa valeur maximale :

X_norm = ^X X_max ^Ynorm= Y Y_max ^{Unorm =} U U_max

Pour cela, il faut définir dans leurs unités respectives les plages de variations des états, des entrées et des sorties du modèle du système d’air : le débit massique et la pression évoluent selon le profil de fonctionnement du système d’air ; la plage de variation de la masse est déduite de celles de la pression et de la température, cette dernière étant limitée par la température de flux maximale supportée par le compresseur ; les plages de variations des commandes en régime et en ouverture sont définies par le fonctionnement des actionneurs.

m ∈ [ 0; 150.10⁻³] Q ∈ [ 0; 0, 08 ] P ∈ [ 1.10⁵; 3.10⁵] ω ∈ [ 1000; 12000 ] T ∈ [ 293; 450 ] σ ∈ [ 0; 1 ]

Linéarisation autour d’un point de fonctionnement

Le modèle mathématique du système d’air présenté précédemment est un système d’équations différentielles non-linéaires en les variables pertinentes (produits et rapports de variables d’état, fonctions "racine carrée"). Ce modèle, pour aussi précis qu’il soit, n’en est pas moins difficile à manipuler mathématiquement dans l’optique de la synthèse de lois de commande. Il est donc important à ce stade de la modélisation de pouvoir disposer d’un modèle mathématique linéaire suffisamment représentatif du système physique réel afin d’y appliquer les divers outils d’analyse et de synthèse existants, outils qui fourniront des informations essentielles sur le système non-linéaire par l’étude des modèles non-linéaires tangents. Pour cela, la linéarisation autour d’un point d’équilibre est la méthode la plus courante utilisée pour approcher un système non-linéaire par un système linéaire stationnaire invariant (LTI, cf. Annexe D). On aboutit alors à la représentation d’état suivante :

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) où les matrices (A, B, C, D) sont constantes.

a) Calcul du point de fonctionnement :

Le point de fonctionnement du système d’air est défini par les quatre grandeurs à commander : y⁰₁ = Q⁰_comp

y⁰₂ = Q⁰_ca y⁰₃ = P_ca⁰ y⁰₄ = ∆P⁰ On peut en déduire le débit anodique Q0

an = y⁰ = y⁰₁− y⁰2 et la pression anodique P0

an = y₃⁰− y4⁰. A partir du point de fonctionnement et de la cartographie du système d’air expérimental rappelée dans le tableau 3.4 (mesures des débits massiques et des pessions en régime permanent), on peut déduire les 5 états correspondant aux pressions dans les différents volumes :

x⁰₆ = P_di⁰ x⁰₇ = P_et⁰ x⁰₈ = P_ca⁰ x⁰₉ = P_re⁰ x⁰₁₀ = P_an⁰

Il reste d’une part à calculer les 5 états correspondant aux masses dans les différents volumes. x⁰₁ = m_di = ^Vdi rT_comp^x 0 6 x⁰₂ = m_et = ^Vet V_di µ x0 1x⁰₇ x0 6 ¶ x⁰₃ = m_ca = ^Vca V_et µ x0 2x⁰₈ x0 7 ¶ x⁰₄ = m_re = ^Vre V_di µ x0 1x⁰₉ x0 6 ¶ x⁰₅ = man = ^Van V_re µ x0 4x⁰₁₀ x0 9 ¶

D’autre part, l’état lié au régime du compresseur x0

11 = ω_comp⁵ est obtenu par inversion du modèle linéaire : x⁰₁₁= ¹ K_comp1 µ y₁⁰− Kcomp2 x⁰₆ P_atmo ¶

Les 3 états liés aux ouvertures de vannes :

x⁰₁₃ = σ_vanQ x⁰₁₄ = σ_vanP x⁰₁₅ = σ_van∆P

5

En régime permanent, l’état lié à l’accélération du compresseur devient x0 12^{= 0}.

3.2 Modélisation du système d’air pour la commande

sont les solutions des polynômes K_vanQ(x⁰₁₃), K_vanP(x⁰₁₄) et K_van∆P(x⁰₁₅) donnés par : K_vanQ(x⁰₁₃) = ^y 0 2 px0 7− x0 8− ∆Pca KvanP(x⁰₁₄) = ^y 0 2 px0 8− Pturb K_van∆P(x⁰₁₅) = ^y 0 px0 10− Pturb PUISSANCE Qcomp Qca Pca ∆P Pdi Pet Pre Pan 10 9 7 1,05 0 1,11 1,10 1,06 1,05 20 17 13 1,09 0 1,26 1,24 1,11 1,09 30 24 19 1,14 10 1,33 1,29 1,16 1,13 40 32 25 1,19 20 1,42 1,36 1,21 1,17 50 40 31 1,24 30 1,54 1,45 1,27 1,21 60 48 37 1,30 50 1,68 1,56 1,32 1,25 70 56 43 1,35 60 1,83 1,68 1,38 1,29 80 63 49 1,41 80 1,99 1,81 1,44 1,33 90 72 56 1,47 100 2,20 1,98 1,50 1,37 100 80 62 1,52 100 2,39 2,13 1,57 1,42

Tab. 3.4 – Cartographie des points de fonctionnement du système d’air expérimental Enfin, les entrées sont directement déduites des états correspondants :

u⁰₁ = x⁰₁₁ u⁰₂ = x⁰₁₃ u⁰₃ = x⁰₁₄ u⁰₄ = x⁰₁₅

b) Calcul formel du modèle linéaire :

A l’aide d’un outil de calcul formel, le modèle non-linéaire du système d’air présenté précé-demment est linéarisé autour du point de fonctionnement (y0

1, y0 2, y0

3, y0

4) considéré. Finalement, on obtient un modèle linéarisé du système d’air tel que :

˙

X_proc = A_procX_proc+ B_procU_proc Yproc = CprocXproc

avec (A_proc, B_proc, C_proc) les matrices d’état du procédé, constantes pour le point de fonctionne-ment considéré (puisque les paramètres n’évoluent pas avec le temps). Un exemple de calcul des matrices sur un point de fonctionnement est illustré en Annexe D.

Si le procédé reste dans le voisinage d’un point de fonctionnement nominal, on peut ne raisonner que sur le linéarisé tangent de ce modèle en ce point, ce qui permet l’emploi des résultats de l’Automatique linéaire pour analyser le procédé et synthétiser des lois de commandes.

Ajout des modèles de capteurs

Pour prendre en compte les dynamiques prépondérantes du système d’air expérimental, la dynamique des capteurs ne peut être négligée dans le modèle de commande. En effet, comme il a été précisé au paragraphe 3.1, la réponse des capteurs de pression peut être supposée instantanée ; en revanche, les débitmètres intégrés au banc d’essai présentent des temps de réponse significatifs. Par conséquent, un modèle linéaire des deux capteurs de débit est ajouté au modèle linéaire du procédé6 :

˙

Xcapt = AcaptXcapt+ BcaptYproc

Y_capt = C_captX_capt

Les deux états supplémentaires représentent les dynamiques des débitmètres uniquement : Q^♯comp Q_comp ⁼ 1 1 + a_bronks Q^♯ca Q_ca ⁼ 1 1 + a_coxs

avec Q^♯comp la mesure du débit massique Qcomp fourni par le compresseur par le débitmètre Bronkhorst de constante de temps a_bronk, et Q^♯ca la mesure du débit massique Q_ca traversant la cathode par le débitmètre Cox de constante de temps a_cox.

Il en résulte un modèle global du système d’air à commander dont le vecteur d’état X_syst d’ordre 17 comprend les états Xproc liés au procédé pneumatique et les états Xcapt liés aux capteurs : X_syst= " X_proc X_capt #

En supposant que la variation du débit réel est aussi rapide que celle du régime compresseur, les constantes de temps des débitmètres ont été identifiées aux valeurs suivantes (exprimées en secondes) suite à une campagne d’identification par analyse indicielle (avec des échelons d’amplitudes variées autour des différents points de fonctionnement) :

a_bronk = 3 a_cox = 0, 8

6

Cette prise en compte des dynamiques des capteurs ne sera pas nécessaire avec les débitmètres performants spécifiés pour le système d’air de la phase MDP2 du projet RESPIRE.

3.2 Modélisation du système d’air pour la commande