4.4 Analyse non structurée de la robustesse
4.4.2 Evaluation des marges de stabilité dans un cadre multivariable
Formalisation du problème
Déduit de l’utilisation des valeurs singulières et de la norme H∞, le théorème du petit gain est un résultat général qui permet d’aller plus loin dans l’étude de la robustesse de la stabilité en présence d’incertitudes de modèle.
Considérons la structure représentée sur la figure 4.35, où M(s) est une matrice de transfert connue décrivant un système stable, et ∆(s) une matrice de transfert inconnue correspondant elle aussi à un système stable. Le théorème suivant permet de garantir la stabilité de la boucle de contre-réaction, malgré la méconnaissance de ∆(s) :
Si M(s) et ∆(s) correspondent à des systèmes stables, le système de la figure ci-dessous est stable pour tout ∆(s) tel que ||∆(s)||∞< α si et seulement si ||M(s)||∞< α−1.
Fig. 4.35 – Schéma d’analyse de la robustesse de la stabilité
Dans la suite, nous appellerons TBO(s) la fonction de transfert en boucle ouverte obtenue en ouvrant la boucle à l’endroit où l’on veut calculer les marges de stabilité (marges en sortie ou marges en entrée). L’asservissement nominal correspond au bouclage de TBO(s) par un retour égal à l’identité. Pour faire apparaître la notion de marges de stabilité, on peut supposer qu’on introduit un facteur multiplicatif λi dans chacune des boucles de contre-réaction. On obtient
ainsi le schéma d’analyse de la figure 4.36, avec :
Λ = diag(λ1, ..., λm)
Fig. 4.36 – Schéma d’analyse pour l’évaluation des marges de stabilité
Pour le système bouclé nominal, la matrice Λ est la matrice identité. Dans le cas d’une ouverture de la boucle en sortie, on a : w = y, pour une ouverture en entrée : w = u.
Analyse par modélisation multiplicative directe
Pour se placer dans le cadre du théorème du petit gain, on peut tout d’abord poser : Λ = I + ∆1 ; ∆1 = diag(λ1− 1, ..., λm− 1)
Le schéma de la figure 4.36 devient alors celui de la figure 4.37, qui se met sous la forme requise pour le théorème du petit gain en calculant la fonction de transfert qui apparaît entre la sortie et l’entrée de ∆1 :
W1(s) = TBO(s) [−V1(s) − W1(s)] W1(s) = − [I + TBO(s)]−1TBO(s)V1(s)
Fig. 4.37 – Transformation du schéma d’analyse (modélisation multiplicatice directe) On définit alors :
α1 = 1/|| [I + TBO(s)]−1TBO(s)||∞≤ 1
D’après le théorème du petit gain, il y a stabilité pour tout ∆1 tel que : ||∆1||∞ ≤ α1, ou encore pour tout λi tel que : |λi− 1| < α1.
On peut remarquer que α1 ≤ 1 en général (inverse de la norme d’une matrice de transfert qui tend vers l’identité en basse fréquence).
4.4 Analyse non structurée de la robustesse
¦ λi = ki (ki réel) pour les marges de gain ; il y a alors stabilité pour tout i si :
1 − α1 < ki< 1 + α1 (4.5)
¦ λi = ejϕi (ϕi réel) pour les marges de phase ; il y a alors stabilité pour tout i si :
|ejϕi− 1| < α1 <=> |ϕi| < 2Arcsinα21 (4.6) Analyse par modélisation multiplicative inverse
Contrairement aux marges de gains et de phase traditionnelles, les conditions (4.5) et (4.6) sont des conditions suffisantes de stabilité : cela signifie que l’on garantit la stabilité si les gains ou les phases restent dans les intervalles déterminés, mais que l’on ne peut rien conclure si l’un au moins sort de son intervalle.
Pour cette raison, il est intéressant de chercher une autre condition suffisante, en raisonnant à partir d’un schéma différent. Pour cela, on peut poser :
Λ = (I + ∆2)−1 ; ∆2= diag(λ−11 − 1, ..., λ−1m − 1)
Le schéma de la figure 4.36 devient alors celui de la figure 4.38, qui se met sous la forme requise pour le théorème du petit gain en calculant :
W2(s) = −V2(s) − TBO(s)W2(s) W2(s) = − [I + TBO(s)]−1V2(s)
Fig. 4.38 – Transformation du schéma d’analyse (modélisation multiplicatice inverse) On définit alors :
α2 = 1/||(I + TBO(s))−1||∞≤ 1
D’après le théorème du petit gain, il y a stabilité pour tout ∆2 tel que : ||∆2||∞ ≤ α2, ou encore pour tout λi tel que : |λ−1
i − 1| < α2, avec α2 ≤ 1. On obtient alors les résultats suivants :
¦ pour les marges de gain, il y a stabilité pour tout i si : 1
1 + α2 < ki< 1 1 − α2
(4.7) ¦ pour les marges de phase, il y a stabilité pour tout i si :
Vérification des marges de stabilité des commandes synthétisées
Les inégalités établies ci-dessus constituent une première généralisation aux systèmes mul-tivariables des notions classiques de marges de stabilité. Les conditions obtenues n’étant que suffisantes, il s’agit de prendre la réunion des intervalles obtenus avec les deux analyses précé-dentes, à savoir (4.5) et (4.7) pour les marges de gain, (4.6) et (4.8) pour les marges de phase.
L’application des inégalités obtenues par modélisations directe et inverse aux commandes synthétisées dans ce chapitre (monovariable et multivariable) conduit aux résultats suivants (cf. tableaux 4.3 et 4.4).
Modélisation directe Modélisation inverse α1=0,77 α2=0,65 0,23<ki<1,77 0,61<ki<2,85
|ϕi|<45◦ |ϕi|<38◦
Tab.4.3 – Marges de stabilité de la commande monovariable
Modélisation directe Modélisation inverse α1=0,99 α2=0,74 0,01<ki<1,99 0,58<ki<3,83
|ϕi|<59◦ |ϕi|<43◦
Tab. 4.4 – Marges de stabilité de la commande multivariable
On obtient donc pour la commande monovariable les marges de stabilité garanties suivantes : ¦ marges de gain garanties : ]0, 23; 1, 73[ ∪ ]0, 61; 2, 85[ = ]0, 23; 2, 85[
¦ marges de phase garanties :±45◦ ∪ ±38◦ = ±45◦
valeurs qui peuvent être considérées comme tout à fait satisfaisantes.
Pour la commande multivariable, on obtient les marges de stabilité garanties suivantes : ¦ marges de gain garanties : ]0, 01; 1, 99[ ∪ ]0, 58; 3, 83[ = ]0, 01; 3, 83[
¦ marges de phase garanties :±59◦ ∪ ±43◦ = ±59◦
valeurs qui sont sensiblement meilleures que pour la commande précédente.
4.4.3 Bilan
Pour les deux approches monovariable et multivariable, la stabilité semble assurée, avec des marges de stabilité plus confortables en multivariable, en termes de marge de gain et de marge de phase. En outre, il a été vérifié que l’observateur ne dégrade que très légèrement les marges de stabilité.
Cette étude, qui s’appuie sur les valeurs singulières non structurées, constitue une première approche pour l’analyse de robustesse. Une manière d’obtenir des conditions moins restrictives, donc des intervalles plus larges, est d’utiliser l’analyse de la valeur singulière structurée (µ-analyse).
4.5 Conclusion
4.5 Conclusion
Avant de valider expérimentalement les commandes synthétisées sur le banc du système d’air expérimental (cf. Chapitre 5), la comparaison en simulation des deux approches présentées pré-cédemment montre que la commande multivariable permet de régler la dynamique du système bouclé en manipulant un nombre de paramètres de réglage plus limité, et dont l’effet sur le dé-couplage peut être facilement maîtrisé. L’approche monovariable permet quant à elle de régler de façon plus fine le comportement transitoire (au détriment des couplages).
L’approche monovariable est numériquement plus simple à mettre en œuvre puisqu’elle n’uti-lise que des coefficients issus d’une analyse fréquentielle. L’approche LQ, pour sa part, demande la résolution d’une équation de Riccati. Mais, du point de vue de la robustesse, la commande multivariable garantit des marges de stabilité plus confortables, même si l’on s’éloigne sensible-ment des marges théoriques de la commande LQ sans observateur (marge de gain infinie, marge de phase d’au moins 60◦).
Si l’on se concentre sur les problématiques du système d’air étudié et sur le contexte automo-bile, le bon compromis entre performances dynamiques et découplage d’une part, la robustesse et le temps de réglage d’autre part, confirment l’avantage d’une commande multivariable - malgré une plus grande complexité théorique.
Il faut également tenir compte de l’évolution continue du système et de son cahier des charges : dans ce contexte, la commande multivariable laisse présager des gains importants en performance, qui permettront d’optimiser le fonctionnement du module de puissance avec notamment l’amé-lioration espérée du temps de réponse du reformeur.
Enfin, la connaissance physique incluse dans le modèle (et plus particulièrement dans l’ob-servateur) permet d’envisager diverses améliorations de la commande multivariable comme :
¦ la suppression d’un débitmètre pour limiter le nombre de capteurs,
¦ la mise en place d’un observateur non-linéaire pour mieux s’adapter au changement de point de fonctionnnement,
¦ la mise en œuvre de techniques de réduction pour adapter l’ordre des correcteurs à l’inté-gration au véhicule, etc.