Modèle électrique du résonateur

La Figure 2.5 représente le schéma d’un résonateur à ondes de cisaillement de volume constitué d’électrodes en configuration LFE.

Figure 2.5: Schéma d’un résonateur excité par champ électrique latéral avec l’épaisseur de la plaque résonante h, la distance inter-électrode (gap) g, la largeur des électrodes w et la longueur

cumulée des électrodes a.

Les caractéristiques électriques d’un résonateur peuvent être décrites par un circuit équivalent permettant d’obtenir l’impédance ou l’admittance sur la gamme de fréquences proches de la résonance. Deux types de modèles peuvent être considérés : un modèle à éléments distribués (ou en ligne à transmission) ou un modèle à éléments localisés. Le modèle distribué49_,

représenté sur la Figure 2.6a, utilise une ligne de transmission pour représenter la propagation de l’énergie acoustique à travers l’épaisseur du dispositif. Les variables acoustiques, les contraintes et la vitesse de propagation V sont couplés via un transformateur au port électrique. Le modèle comprend donc deux ports acoustiques et un port électrique. L’impédance caractéristique du matériau Z dépend de la densité ρ et de la vitesse de propagation par la relation : Z = ρV. Les paramètres A, C0 et 𝚽 =_εe_SC0 correspondent

respectivement à l’aire des électrodes, la capacité statique et le rapport du nombre de spires du transformateur. En déterminant l’impédance mécanique Zs représentant la surface en condition de charge, la réponse électrique du système peut être obtenue.

Figure 2.6: Schémas du (a) modèle distribué (ligne de transmission)49 _{et du (b) modèle à éléments} localisés (modèle de Butterworth-Van Dyke)

Le modèle à éléments distribués peut être réduit à un modèle plus simple à éléments localisés (Figure 2.66b) afin de décrire le comportement électrique aux alentours de la fréquence de résonance49_{. Ce modèle est appelé le circuit Butterworth-Van Dyke (BVD). Le circuit simplifié}

est constitué d’une branche dite statique modélisant le comportement électrique de la structure hors résonance et d’une branche dite motionnelle modélisant le comportement du résonateur autour de la résonance. La valeur de la capacité statique C0 située entre les électrodes est

dépendante de la constante diélectrique du matériau et des propriétés géométriques de la membrane et des électrodes193_.

Son expression est donnée par :

𝐶0 =𝑤ℎ𝜀_𝑔 (2.30)

où ε est la permittivité du matériau, w et g sont respectivement la largeur et la distance entre les électrodes (Figure 2.5).

Le comportement acoustique du résonateur est défini par les contributions motionnelles (Lm,

Les expressions des paramètres Cm, Lm et Rm sont respectivement données par49 : 𝐶𝑚 =8𝐾 2_𝐶 0 (𝑛𝜋)2 (2.31) 𝐿𝑚 = (𝑛𝜋) 2 8𝜔2_𝐾2_𝐶0 (2.32) 𝑅𝑚 = �𝜋2� 2 𝛼 𝐾2_𝜔𝐶0 (2.33)

où α, K et ω sont respectivement le facteur d’atténuation, le coefficient de couplage électromécanique et la pulsation de résonance194_.

Le facteur d’atténuation α peut être déterminé par : 𝛼 =_2𝑉𝜂𝜔2

𝑏3𝜌 (2.34)

où η est la constante de viscosité du matériau, Vb la vitesse de propagation de l’onde et ρ la

densité.

Soit en combinant (2.33) et (2.34), Rm est donnée par :

𝑅𝑚 = 𝜋

2_𝜂𝑔

8𝐾2_𝜌𝑉

𝑏2𝑤ℎ𝜀 (2.35)

L’admittance du résonateur peut alors être déterminée selon les paramètres de ce modèle par l’équation suivante :

𝑌(𝜔) = 𝑗𝜔𝐶0+_𝑍1

Où Zm est l’impédance motionnelle du circuit :

𝑍𝑚 = 𝑅𝑚+ 𝑗𝜔𝐿𝑚+_𝑗𝜔𝐶1

𝑚 (2.37)

La fréquence de résonance série est définie lorsque la réactance motionelle est nulle :

𝜔𝑠𝐿𝑚−_𝜔𝑠1_𝐶𝑚= 0 donnant : 𝑓𝑠 =_2𝜋�𝐿1_𝑚𝐶𝑚 (2.38)

La fréquence de résonance parallèle est définie lorsque la réactance totale (motionnelle + statique) est nulle :

𝑓𝑝 =_2𝜋1 �_𝐿1 𝑚� 1 𝐶𝑚+ 1 𝐶0� (2.39)

Enfin, on peut déterminer le coefficient de qualité du résonateur en employant l’équation suivante :

𝑄 =2𝜋𝑓_𝑅𝑠𝐿𝑚

𝑚 (2.40)

Modélisation en milieu liquide :

Lorsqu’une face du résonateur est en contact avec un liquide, sa fréquence et son amplitude sont affectées par la densité et la viscosité du liquide. Cet effet qui peut être intéressant pour la mesure des propriétés du liquide dans lequel est utilisé le capteur peut également être une limitation à la détection par modification de masse.

L’équation de Kanazawa et Gordon195 donne une meilleure approximation de la fréquence de résonance lorsque le résonateur fonctionne en milieu liquide :

Δ𝑓 𝑓 = − 1 𝑛� 𝑓𝜌𝑙𝜂 𝜋𝑐44𝜌 (2.41)

avec ρl et η respectivement la densité et la viscosité du liquide.

On aura donc un impact des paramètres « mécaniques » du liquide (viscosité et densité) sur la fréquence de résonance. Cela va se traduire par une déviation de la fréquence de résonance comme nous le montre l’équation de Kanazawa et Gordon mais également par une atténuation de l’amplitude des pics de résonance. En effet, il a été montré que la résistance motionnelle du modèle, et donc de l’amortissement du système, est proportionnelle à �𝜌𝑙𝜂 .192

Pour un transducteur TSM à excitation dans l’épaisseur (TFE), le champ électrique est confiné dans la région située entre les deux électrodes ce qui n’engendre pas d’effet des propriétés électriques de l’environnement sur le fonctionnement du dispositif. Seules les variations des propriétés mécaniques, telles que la masse, la densité ou la viscosité, affectent le signal mesuré à cause des changements de la charge acoustique. Dans le cas d’une excitation par champ latéral, le champ électrique pénètre plus facilement dans le milieu adjacent, et la réponse sera sensible aux changements de conductivité ou de permittivité du milieu196_{. La sensibilité aux}

variations des propriétés d’un liquide peut être expliquée par un modèle pseudo-LFE représenté sur la Figure 2.7194. Selon Wang et al. lorsque un transducteur LFE fonctionne dans un liquide, ce dernier agit comme une électrode virtuelle qui entraîne en quelque sorte une excitation à travers l’épaisseur194. Ce nouveau modèle d’excitation appelé pseudo-LFE est composé de deux circuits BVD en mode TFE en série avec un circuit équivalent représentant les propriétés électriques du liquide comprenant les composantes RL et CL. Ainsi dans le cas

d’une géométrie symétrique du transducteur, les valeurs R1, C1 et L1, C10 seront

Figure 2.7: Modèle à éléments localisés représentant un résonateur LFE en contact avec un liquide dont les propriétés électriques sont modélisées par les composants RL et CL194

En résumé, lorsque le transducteur est en contact d’un liquide, il subira une atténuation de sa résonance due aux propriétés mécaniques et potentiellement électriques du fluide. Nous étudierons experimentalement, dans le chapitre 5, le résonateur soumis à une électrolyte.