Mise en place de la matière dans la jonction en Té

u₋uopt2dΩ. Cette figure montre que le champs de vitesse optimale uoptest bien reproduit dans son ensemble lors de la minimisation de_Jv. Un écart très faible reste cependant observable près de la sortie du pipe bend. Nous pouvons penser que ces écarts sont dus au calcul incomplet de la différentielle du Lagrangien à cause de l’hypothèse de turbulence gelée. Ces résultats apportent tout de même des éléments de validation du fonctionnement du code d’optimisation.

2.8 Résultats et discussions

Nous allons présenter dans cette section les résultats obtenus lors de la résolution du système optimal pour la jonction en Té. Nous proposons d’évaluer l’influence de plusieurs paramètres afin de comparer leurs effets sur les résultats obtenus par optimisation topologique. Pour comparer et évaluer l’optimisation de la fonctionnelle objectif dans la jonction en Té, nous allons confronter les résultats au cas initial, à savoir la résolution des équations du système primaire dans le Té sans procédure d’optimisation, ce dernier nous servira de référence.

2.8.1 Mise en place de la matière dans la jonction en Té

Principe d’ajout de matière à partir de la sensibilité topologique

Dans un premier temps, nous allons expliquer comment se construit la topologie optimale. Pour comprendre l’effet de la distribution de α⋆ sur les vecteurs vitesse adjointe et vitesse primaires nous avons procédé à une résolution du système adjoint et du système primaire en annulant α⋆u. Dans un second temps, nous avons procéder à une optimisation topologique de la jonction en Té dans les mêmes conditions. La figure 2.11 présente ainsi les résultats de cette analyse. La vignette (a) présente la distribution de α⋆

dans la jonction en Té entre les branches 1 et 2. La vignette (b) montre les vecteurs vitesses primaires et adjoints pour le cas où α⋆u est annulé. Enfin, la vignette (c) illustre les vecteurs vitesses pour le cas optimisés. Comme nous l’avons vu dans le paragraphe 2.6.6, au travers de la mise en place de α⋆dans le domaine, on cherche à atteindre la condition d’optimalité donnée par u⋆

· u=0. Sur la vignette (c) on peut observer que la condition d’optimalité est atteinte dans la zone encadrée par les pointillés. Cette zone correspond donc bien à la zone où les valeurs de α⋆sont les plus élevées dans le domaine visible sur la vignette (a). α⋆ainsi distribué dans le domaine influence les champs u et u⋆

par rapport au cas où α⋆u est annulé (vignette (b)). La valeur élevée de α⋆dans cette zone permet donc au milieu poreux d’annuler la vitesse du fluide et atteindre la condition d’optimalité.

2.8. Résultats et discussions 49 X Z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.6 0.8 1 1.2 120 100 80 60 40 20 0

*

Cas initial

Cas optimisé

Cas optimisé

Vecteurs primaires

Vecteurs adjoints

(a) ^(b)

(c)

Figure 2.11 – Influence de la distribution de α⋆

(a) sur les vecteurs vitesse primaires et adjoints dans le plan x0z (c)

La figure 2.12 présente la mise en place de la matière dans la jonction en Té au cours des itérations du problème jusqu’à convergence. L’iso-surface que nous présentons dans cette figure est obtenue avec une intensité de α⋆

= 0 qui donne la frontière entre solide et fluide. Sur la figure 2.12, on peut voir que la distribution de α⋆ se met d’abord en place dans la branche 1. Puis, dans un second temps, sur l’angle formé par les branche 1 et 2, tout en continuant dans la branche 1. Avec un critère de convergence fixé tel que la différence entre deux valeurs de _J entre deux itérations successives soit inférieure à 1%, la topologie optimale est obtenue après environ mille itérations. La valeur de α⋆ étant mise à jour à chaque itération, elle influence donc la résolution de chaque quantité à l’itération suivante. La distribution spatiale n’évolue plus au bout d’un millier d’itérations.

Itération 10 Itération 30

Itération 100 ^{Itération 500}

Itération 800 ^{Itération 1000}

Figure 2.12 – Mise en place de α⋆dans le domaine au cours des itérations

2.8. Résultats et discussions 51

Effet d’ajout de matière dans le domaine sur l’écoulement

La jonction en Té nous permet assez facilement de comprendre comment l’ajout de matière agit pour minimiser la fonctionnelle objectif _J. La mise en place de la matière dans la jonction en Té est visible sur deux zones en particulier. La première est située dans la branche 1 entre les coordonnées z = 1 et z = 5, 5 et x _{= −}0, 5 et x = 0. Le deuxième amas de matière est situé sur l’angle entre la branche 2 et la branche de sortie. La matière ainsi positionnée dans le domaine lisse l’angle de la jonction et change la répartition des débit entre les deux branches. Ce « lissage » de l’angle de la branche 1 permet ainsi de diminuer la puissance totale dissipée et la différence de pression ∆p entre le cas de référence et la topologie optimale. Nous avons pu identifier, dans la littérature et à la suite de notre expérimentation numérique sur le cas de référence, la présence d’une recirculation dans la branche 1 de la jonction en Té. La figure 2.13 présente les résultats obtenus pour le cas initial pour Re = 30000. Sur cette figure, la colonne de gauche présente les résultats du cas de référence et la colonne de droite, montre les résultats pour la jonction optimisée. Nous pouvons identifier pour le cas de référence une zone de recirculation qui occupe une grande partie de la branche sur l’axe x. Cette recirculation est la cause d’une perte de pression totale dans la jonction en Té. Après avoir optimisé la jonction en Té (colonne de droite) les résultats montrent une mise en place de la matière dans les zones qui sont à l’origine de la création de la zone de recirculation. Cela conduit à une réduction de la taille de la zone de recirculation et une diminution de l’intensité de la dépression. Les valeurs du champ moyen de pression sont alors plus grandes que celles du cas initial. Cela corrobore les éléments présentés par Costa et al. [135] qui montre que lorsque la taille de la recirculation diminue, la puissance totale diminue elle aussi.

X Z -2 0 2 4 -1 0 1