Mise en ´evolution L-normale

] (Wu(B)∩ Ws(gQ)∩ L) si ind(Q) = i ] (Wu(gQ)∩ Ws(B)∩ L) si ind(Q) = i + 1

3.1.4 Mise en ´evolution L-normale

Une fois que nous avons introduit la notion de L-ind´ependance, on peut produire une version raffin´ee du lemme3.1.3 pour les chemins g´en´eriques bas´es qui n’ont pas de centre. Il concerne le choix d’´equipement.

D´efinition 3.1.19. Une famille `a un param`etre de 1-formes bas´ees (α_t, B_t)_t∈[0,1] est dite d’´evolution L-normale si :

1. la famille (αt)t∈[0,1] est d’´evolution normale,

2. il existe un chemin de champs de vecteurs (ξ_t)_t∈[0,1] tel que la famille (ξ_t, B_t)_t∈[0,1] est un ´equipement L-transverse de (αt)t∈[0,1] v´erifiant les conditions suivantes :

a) toute naissance et ´elimination est L-ind´ependante et

b) toute liaison L-´el´ementaire a lieu dans l’intervalle de Morse.

Pour une telle famille, si R d´esigne l’ensemble des temps avec une liaison L-´el´ementaire, l’intervalle ] max(R), tE[ est appel´e l’ intervalle des pr´e-´eliminations. Les matrices de L-incidence ne varient pas dans cette intervalle ; on les appelle matrices de pr´e-´elimination.

Proposition 3.1.20. Soit L ≥ 0. Alors, tout chemin de 1-formes bas´ees (αt, Bt)t∈[0,1] `a extr´emit´es non-singuli`eres o`u (αt)t∈[0,1] est d’´evolution normale et sans centres<sup>2</sup>, se d´eforme `a extr´emit´es fixes en un autre (β_t, eB_t)_t∈[0,1] toujours sans centres et tel que :

1. le chemin (βt, eBt)_t∈[0,1] est d’´evolution L-normale et 2. les tailles associ´ees v´erifient TB_• = TB_•0 .

D´emonstration. Munissons (αt)t∈[0,1]d’un ´equipement L-transverse (ξt, Bt)t∈[0,1]compatible avec les relev´es donn´es. Appelons respectivement N ={t1 < . . . < ts= tN} et R les ensembles des instants de naissance et de liaison L-´el´ementaire. En particulier on voudrait avoir t_N < min R. Il est clair que t1 < min R vu qu’il ne peut pas y avoir de liaison s’il n’y a pas de point critique. On applique le lemme 3.1.16 `a (αt)t∈[t1−ε,t1+ε]. On obtient ainsi un ´equipement L-transverse (eξt, Bt)t∈[0,1] de mˆemes z´eros que le pr´ec´edent et o`u la naissance en temps t1 est L-ind´ependante.

Des nouvelles liaisons L-´el´ementaires ont pu apparaˆıtre pour des temps t > t₁ (comme explique la remarque 3.1.18), mais on note l’ensemble des temps de glissement toujours par R. On explique maintenant un proc´ed´e semblable `a celui du lemme 3.1.3, dont l’effet est de produire une famille (α0

t, B0

t)_t∈[0,1] de mˆemes extr´emit´es munie d’un ´equipement (ξ0

t)_t∈[0,1], dont le nouvel ensemble des temps de glissement est not´e par R0, qui v´erifie :

– la deuxi`eme naissance de (α⁰_t)t∈[0,1] a lieu en un temps t0 < min R⁰ et est devenue L-ind´ependante,

– le cardinal, temps et nature des autres naissances et ´eliminations n’ont pas chang´e et – les tailles TB_• et TB_•0 co¨ıncident.

Notons T := max_0≤t≤1T_Bt la taille du chemin donn´e. Prenons aussi les niveaux A_t, Z_t de h_t o`u se trouvent les relev´es qui r´ealisent la taille `a l’instant t ; on a ainsi TBt = ht(Zt)− ht(At) pour tout t o`u Z(αt)6= ∅. Consid´erons les niveaux

A⁻_t := h⁻¹_t (ht(Zt)− T ) et Z+

t := h⁻¹_t (ht(At) + T ) .

Il est clair que h_t(A⁻_t) < h_t(A_t) < h_t(Z_t) < h_t(Z_t⁺) pour tout t o`u Z(α_t)6= ∅ par la d´efinition de taille d’un chemin. On appelle fMt les troncatures du revˆetement donn´ees par les points strictement compris entre les niveaux A⁻_t et Z_t⁺. Prenons enfin un temps t0 ∈ ]t1, min(R∪ {t2})[ quelconque. Avec les notations de 3.1.3, on construit un chemin

γ : [t₀ − ε, t2− ε] −→ ^[0, 1]× fM r T

t 7−→ (t, xt)

qui de plus v´erifie xt ∈ fMt pour tout t∈ [t0− ε, t2− ε].

Prenons (Ct)t∈[t2−ε,t2+ε]un chemin de cylindres modelant le chemin de naissance (αt)t∈[t2−ε,t2+ε] o`u Ct2 contient le relev´e B2

t2 de la naissance de temps t2. En particulier on a que ht2(A⁻_t2) ≤ ht2(B2

t2)≤ ht2(Z_t⁺₂) et on peut choisir un xt2−ε∈ Ct2−εv´erifiant la condition ouverte ht2−ε(A⁻_t2−ε) < ht2−ε(xt2−ε) < ht2−ε(Z_t⁺_2−ε) par continuit´e. Le point xt2−ε est ainsi un point r´egulier de ht2−ε et est dans fMt2−ε. La condition sur la hauteur que nous avons demand´e `a xt2 ´etant ouverte, on trouve des points la v´erifiant dans un voisinage de xt2 pour des t assez proches. Il est facile de rendre la condition aussi ferm´ee en prenant un couple des niveaux plus proches. On peut construire un γ : [t0 − ε, t2 − ε] → ^[0, 1]× fM

v´erifiant la condition sur la hauteur des xt. Grˆace au fait que dim(M ) > 1, on peut appliquer le mˆeme argument qui permettait de trouver le chemin γ dont la coordonn´ee xt dans fM est un point r´egulier de ht.

Ensuite, nous appliquons le lemme de mise en ´evolution normale 3.1.3 pour ramener la naissance qui avait lieu en t2 `a t0 : on a produit une famille (α0

t, B0 t, ξ0

t)t∈[0,1], o`u les champs sont transport´es par la famille de diff´eomorphismes sous-jacente `a la transformation (voir le th´eor`eme

2.2.13). Les cylindres qui mod`elent la construction peuvent ˆetre choisis aussi petits pour que l’on ait Ct−ε,s ⊆ fMt pour tout (t, s)∈ [t0, t2]× [0, 2ε] : ceci est possible grˆace `a la condition que nous avons impos´ee aux xt. La taille n’est donc pas modifi´ee par cette op´eration.

Reste `a rendre L-ind´ependante la deuxi`eme naissance, qui a lieu maintenant en t0. Si on applique bˆetement le lemme 3.1.16, on peut introduire des liaisons avant t₀, dˆu `a la pr´esence des z´eros pour des temps t < t0. Il suffit d’ˆetre un peu plus soigneux au moment de construire le chemin γ : modifions l´eg`erement la position du point xt0−ε pour ´eviter d’introduire des liaisons lors de l’op´eration de mise en L-ind´ependance de la naissance en t₀.

On prend le niveau L contenant le point x_t0−ε. L’ensemble suivant est appel´e de s´ecurit´e : ∆ := [

|u(g)|≤L

W^u(gP_t¹_0−ε)∪ Ws(gQ¹_t0−ε) .

Vu qu’il n’y a pas de centre, on sait que ∆ est de codimension strictement positive dans L : on aurait pu ainsi choisir le point r´egulier xt0−εde sorte que xt0−ε∈ ∆. Les cylindres (C/ t0−ε,s)s∈[0,2ε] associ´es `a ce temps peuvent aussi ˆetre pris de sorte que Ct0−ε,s ∩ ∆ = ∅. On applique le lemme3.1.16`a la famille (α0

t, B0 t, ξ0

t)t∈[t0−ε,t0+ε] ce qui rend L-ind´ependante la naissance en t0. La d´eformation du lemme 3.1.16 qui fait fuir les liaisons par le bord ne peut pas cr´eer de nouvelle liaison entre les vari´et´es invariantes qui existaient pour des temps t < t0 vu que la propri´et´e Ct0−ε,s ∩ ∆ = ∅ pour tout s ∈ [0, ε] dit que nous avons ´eloign´e le support de la d´eformation de l’ensemble de s´ecurit´e, et donc des dites vari´et´es. La figure 3.13 d´ecrit sch´ematiquement la transformation. P1 t Q1 t B1 B2 gB1 t1 0 t0 t2 min R

⇒

Figure 3.13 – Graphique de Cerf-Novikov avant/apres appliquer le proc´ed´e de mise en ´evolution L-normale `a la deuxi`eme naissance

Il suffit d’it´erer ce proc´ed´e `a chaque naissance pour obtenir une famille (α0 t, B0

t)t∈[0,1] de mˆemes extr´emit´es, mˆeme taille munie d’un ´equipement (ξ_t⁰)t∈[0,1] pour lequel :

– toute naissance est L-ind´ependante et

– tout temps de glissement arrive apr`es tout temps de naissance.

En appliquant un proc´ed´e analogue pour les ´eliminations, on aboutit `a un chemin (βt, eBt)t∈[0,1] muni d’un ´equipement compatible (eξt)t∈[0,1] pour lequel il est d’´evolution L-normale.