2.2 Familles de formes ´equip´ees
2.2.4 Chemins de pseudo-gradients bas´es. Liaisons L-´el´ementaires
peut avoir son graphique de Cerf-Novikov comme celui de la figure 2.2. La famille (αt)t∈[0,1] est `a extr´emit´es non singuli`eres et le choix de relev´es est Bα ={B1, B2} o`u {b1, b2} d´esignent les naissances du chemin, en l’occurrence de mˆeme indice. On note par Ptj, Qjt ∈ Bα
t les relev´es des z´eros de Morse d´etermin´es par Bj. Les relev´es des z´eros d’´elimination d´etermin´es par Bα sont not´es par {E1, E2}.
t01 t2 B1 B2 P1 t Q1 t t1 t0 2 Q2 t P2 t 0 1 E1 E2
Figure 2.2 – Graphique de Cerf-Novikov de (αt)t∈[0,1], Bα •
On remarque que la fin des brins des points d’indice i issus d’une naissance d’indice i ne font pas forc´ement partie du graphique ; leurs brins peuvent ˆetre ouverts `a droite . La figure 2.3
permet de visualiser quels sont les relev´es des z´eros de Morse qui ont particip´e aux ´eliminations dans cet exemple.
Une notion qui se lit facilement sur le graphique est celle de la taille :
D´efinition 2.2.25. On d´efinit la taille d’un chemin de 1-formes bas´e (αt, Bt)t∈[0,1] et muni de primitives h• par la plus grande de tailles au sens de 2.1.24 :
TB• := max 0≤t≤1TBt
Le choix des primitives n’a ´evidemment aucune influence sur la taille, tandis qu’un choix de relev´es diff´erents, la modifie par ajout d’un c∈ Im(u), tout en la laissant positive.
2.2.4 Chemins de pseudo-gradients bas´es. Liaisons L-´el´ementaires
La propri´et´e d’ˆetre partout Morse-Smale n’est pas g´en´erique pour une famille `a un param`etre de champs (ξt)t∈[0,1]. On pourrait esp´erer un comportement analogue `a celui des formes (cf. dans
2.2.1), notamment que (ξt)t∈[0,1] soit Morse-Smale sauf dans un nombre fini d’instants : ceci n’est
pas vrai car G0(α) est loin d’ˆetre un ouvert de G(α) comme on a vu dans 2.1.42 – mˆeme s’il est r´esiduel (2.1.20) – et un chemin g´en´erique dans G(α) peut sortir de G0(α) une infinit´e des fois.
t0 1 t2 B1 B2 gB2 g−1B1 E1 E2 t1 t0 2 0 1 P1 t P2 t gQ2 t g−1Q1t P1 t
Figure 2.3 – Graphique de Cerf-Novikov et certains de ses d´eplaces par l’action de π1M Pour avoir une situation analogue `a celle des 1-formes quand on prend un chemin g´en´erique de pseudo-gradients, on s’est plac´e dans un espace plus grand que celui des champs Morse-Smale, `a savoir, l’ouvert des champs de vecteurs L-transverses (voir le lemme 2.1.41). On d´efinit une classe de pseudo-gradients qui sont presque L-transverses ci-dessous.
D´efinition 2.2.26 (Pseudo-gradients bas´es avec une liaison L-´el´ementaire). Soit (ξ, B)∈ G avec ξ hyperbolique. On dit que ξ a une liaison L-´el´ementaire s’il existe un L∈ R tel que :
1. ξ v´erifie la condition de la d´ef. 2.1.34 pour tout couple ordonn´e de points P, Q∈ B sauf pour un seul couple (Pl, Pk) de z´eros de mˆeme indice ;
2. il y a une unique liaison `, que l’on appelle L-´el´ementaire, de u-enroulement sup´erieur `a −L allant de pl vers pk ;
3. pour tout point x∈ `, on a TxWu(pl)∩ TxWs(pk) = Tx` .
La liaison ` est appel´ee la liaison L-´el´ementaire de ξ, et on dit que ξ a une liaison L-´el´ementaire. L’espace de ces pseudo-gradients bas´es est not´e G1
L. Si on consid`ere le sous-espace de ceux qui sont adapt´es `a une 1-forme α, on le note par G1
L(α).
Remarque 2.2.27. Remarquons que nous n’imposons pas que pl 6= pk! Dans ce cas, si g d´esigne l’enroulement d’une liaison L-´el´ementaire `, on connaˆıt sa longueur grˆace `a 2.1.25; elle vaut L(`) =−u(g). D’apr`es la condition 2 de2.2.26, la seule liaison de longueur inf´erieure ou ´egale `a
−u(g) est ` :
L−u(g)(pk, pk) = {`} Lemme 2.2.28. Soit L∈ R. Notons par GR
L := Gr (G0 L∪ G1 L). La partition G0 L, G1 L, GR L
est une stratification de l’espace de pseudo-gradients bas´es G que nous appelons stratification L-´el´ementaire.
D´emonstration. Voyons d’abord que G1
L est une sous-vari´et´e de codimension un dans G0 L∪ G1
L : pour tout ξ ∈ G1
L, ils existent Oξ, Uξ des voisinages de ξ respectivement dans G1 L, G0
L∪ G1 L et un diff´eomorphisme ψ : Oξ× ] − 1, 1[ → Uξ tel que ψ−1(G1
L) = Oξ × {0}. En particulier, le mod`ele transverse `a G1
L est un intervalle et un chemin de travers´ee6 de G1
L est donn´e par ψ({ξ} × ] − 1, 1[). Un chemin de travers´ee est d´ecrit dans la proposition 2.2.36.
D´ecrivons la situation lin´earis´ee autour d’un ξ ∈ G1
L. Soit x ∈ ` un point de sa liaison L-´el´ementaire qui va de pl vers pk, deux z´eros d’indice i de α. Les espaces tangents TxWu(pl; ξ) et TxWs(pk; ξ) sont de dimension compl´ementaire et leur intersection est dirig´ee par une seule direction commune donn´ee par ξ(x). Ainsi la somme TxWu(pl; ξ) + TxWs(pk; ξ) = H est un hyperplan de TxM , et ce pour tout x∈ `. Si Gri(V ) d´esigne la grassmannienne de i-plans de l’espace vectoriel V , on a que
Hx :={(Wu, Ws)∈ Gri(TxM )× Grn−i+1(TxM )| dim(Wu+ Ws) = n}
est une sous-vari´et´e de codimension un de Gri(TxM )× Grn−i+1(TxM ). Mais cette condition s’int`egre : si on consid`ere un voisinage ouvert Uξ de ξ dans G0
L∪ G1
L pour la topologie C∞, les ξ0 ∈ Uξ∩ G1
L sont juste ceux qui rencontrent H. Plus pr´ecis´ement, un ξ0 ∈ Uξ∩ G1
L contient une seule liaison `0 ∈ L(pl, pk) dans un petit voisinage tubulaire de ` de sorte que pour tout x0 ∈ `0 on ait (Tx0Wu(pl; ξ0), Tx0Ws(pk; ξ0))∈ Hx0.
Du fait que G1
L soit une sous-vari´et´e de G0 L∪ G1
L, comme G0
L est un ouvert de G, on d´eduit que G0
L∪ G1
L est aussi ouvert dans G et que (G0 L, G1
L) est une stratification de codimension un7
de G0 L∪ G1
L.
Remarque 2.2.29. Il n’est pas vrai que GR
L est de codimension au moins 2 dans G. Autrement dit, donn´e un ξ ∈ G0
L, on n’a pas en g´en´eral que l’application induite par l’inclusion i∗ : π1(G0
L∪ G1
L; ξ) → π1(G; ξ) soit surjective (comparer `a [Ce, Ch.1,§3.1,Descr. F1,2o]). Ceci est dˆu `a la pr´esence d’une strate GW
L ⊆ GR
L, aussi de codimension un, que l’on appelle de Whitney. Cependant, les complexes de Morse-Novikov, tronqu´es ou non, ne souffrent pas de changement alg´ebrique lors d’un chemin de travers´e de cette strate : deux liaisons `1, `2 ∈ L(p, q), ind(p) = ind(q)+1, de mˆeme enroulement g et signes oppos´es apparaissent ou s’annulent mutuellement ; au moment de passage par ξ0 ∈ GW
L, on trouve une liaison `0 de p `a q, d’enroulement g, u(g)≥ −L, le long de laquelle l’intersection Wu(p; ξ0)∩ Ws(q; ξ0) n’est pas transverse. Il est facile de voir que l’espace de chemins dans G0
L∪ G1 L∪ GW
L est dense pour la topologie C0 dans l’espace de chemins dans G. Autrement dit, GR
L r GW
L est de codimension au moins 2 dans G.
6. La terminologie de chemin de travers´ee est due `a Cerf (voir [Ce, Ch.I,§2.1,Df.2]). 7. Aussi au sens de Cerf : [Ce, Ch.1,§2.1,Df.1]