Miscellan´ees

Il peut ˆetre utile de connaˆıtre la dimension de la repr´esentation irr´eductible associ´ee `

a un tableau d’Young Y `a k lignes. En principe la m´ethode de d´ecomposition de la repr´esentation r´eguli`ere de la section pr´ec´edente permet de ramener le probl`eme au d´ecompte des tableaux standards obtenus `a partir d’un tableau normal. Une formule assez simple donne le r´esultat. On d´efinit les nombres `<sub>i</sub> = f<sub>i</sub>+ k− i, i = 1, · · · , k. Ils forment une suite strictement d´ecroissante : `₁ > `<sub>2</sub> >· · · > `k. Alors

n_Y = _Q^n!

i`i! Y

i<j

(`<sub>i</sub>− `j) (2.1)

o`u le produit du num´erateur vaut 1 s’il n’y a qu’une seule ligne. Une autre mani`ere commode d’utiliser cette formule est de la reformuler par la r`egle suivante : `a chaque case du tableau d’Young, on calcule le nombre de boˆıtes plac´ees au-dessous ou `a droite, y compris la boˆıte elle-mˆeme. Par exemple, pour le tableau Y ={3, 12}

5 2 1 2 1

o`u on a indiqu´e le nombre en question `a l’int´erieur de chaque boˆıte. La r`egle est que la dimension est donn´ee par n! divis´e par le produit de ces nombres pour toutes les boˆıtes. Ainsi dans l’exemple,

nY = ^5!

2.2.5 ^{= 6 .}

Cette r`egle met plus en ´evidence que la formule (2.1) le fait que des tableaux sym´etriques par rapport `a la diagonale donnent des repr´esentations “duales” de dimensions ´egales.

Il n’existe pas d’expression g´en´erale et compacte des caract`eres de S_n.

Il existe toutefois une formule remarquable de Frobenius donnant une mani`ere syst´ematique de les engendrer. Soient N variables x₁, x₂, · · · , xN. On construit l’ensemble des polynˆomes sym´etriques de ces variables. Ils sont engendr´es par les produits de

t_k = ¹ k

PN i=1xk

i (2.2)

En particulier, les polynˆomes sym´etriques homog`enes de degr´e n sont des combinaisons lin´eaires des tν= ^t ν₁ 1 ν₁!· · ·^t νn n νn! ^(2.3)

o`u ν code une partition {1ν1, 2ν2· · · nνn} de n. Par ailleurs, on construit le rapport de d´eterminants attach´e au tableau Y X_Y = det  x^fj+N−j i  det x^N−j i
i, j = 1, · · · , N . (2.4)

On note que le d´enominateur n’est autre que le d´eterminant de Vandermonde d´efini au chap. 1 sect. 7. Comme num´erateur et d´enominateur sont des polynˆomes compl`etement antisym´etriques des x<sub>i</sub>, leur rapport est compl`etement sym´etrique, et comme les pˆoles en xi= xj disparaissent dans le rapport, c’est un polynˆome homog`ene de degr´e n (= nombre de boˆıtes du tableau) qui peut donc se d´evelopper sur les tν de (2.3). Le th´eor`eme de Frobenius nous dit que ce d´eveloppement engendre les caract`eres de Sn :

XY(x1, · · · , xN) =^P_{ν partitions de n}χY (ν) tν . (2.5)

Pour notre exemple favori du tableau (1.14), on a ainsi

X_Y = ^{det x} N+1, xN−1, xN−3, xN−4, · · ·
det xN−1, xN−2, · · ·
= ¹ 3 ⁽ P xi)³−^Px³_i
, = 2.t{13}^{+ 0.t}{12}− 1.t_{3} (2.6) o`u seule une ligne typique du d´eterminant a ´et´e indiqu´ee.

On introduit alors un autre syst`eme de fonctions sym´etriques pr =^P

ρpartitions de r tρ . (2.7) Soit Y un tableau d’Young `a k lignes. On montre que les fonctions XY s’expriment simplement comme un d´eterminant des pr (cf. Appendice)

XY = det   p_f1 p_f1+1 · · · pf₁+k−1 . . ._{. %} pf_k−k+1 pf_k−k+2 · · · pf_k   (2.8)

o`u les fl`eches signifient que le long de chaque ligne, l’indice du p croˆıt `a partir de la diagonale d’une unit´e vers la droite et qu’il d´ecroˆıt dans l’autre direction. On convient que p₀ = 1 et pr = 0 si r < 0. Par exemple pour le tableau Y de (1.14),

XY = det

p₂ p₃ 1 p1



Il est alors simple d’identifier les coefficients des tνdans les deux membres de (2.5) et d’en tirer une formule (assez compliqu´ee!) pour les caract`eres de Sn

χ_Y(ν) = ^X P permutations de Sk _P ^X ρi partition de fi+Pi−i=ρi,1.1+ρi,2.2+··· Y j P iρi,j
! Q iρi,j! ^{δνj,Σρi,j} ! (2.9)

La m´ethode est tr`es puissante et permet d’obtenir des r´esultats g´en´eraux sur les caract`eres (voir par exemple exercice 3). Un corollaire trivial est que tous les caract`eres de Sn prennent des valeurs enti`eres. En fait, cette formule exprime une relation tr`es profonde avec les caract`eres de GL(N ). Voir plus bas sect. 3

• Les caract`eres ont ´et´e tabul´es pour des valeurs successives de n ≤ 8. On se reportera `

a la litt´erature, en particulier `a Murnaghan ou Hamermesh, pour ces tables. Je donne ci-dessous la table de S₄. ↓ classes\rep. → {4} {3, 1} {22} {2, 12} {14} [1⁴]⁺ 1 3 2 3 1 1 [12, 2]⁻ 1 1 0 −1 −1 6 [1, 3]+ 1 0 −1 0 1 8 [4]⁻ 1 −1 0 1 −1 6 [2²]⁺ 1 −1 2 −1 1 3

Les tableaux d’Young relatifs `a n = 4 ont ´et´e index´es par la partition correspondante, selon une notation d´ej`a utilis´ee. Dans la derni`ere colonne, ext´erieure `a la table proprement dite, on a port´e les nombres d’´el´ements de chaque classe. La parit´e de la classe est aussi indiqu´ee par un indice ± (cette parit´e est ´egale `a (−1) puissance le nombre de cycles +n).

On observe sur la table relative `a S<sub>4</sub> et on d´emontre en g´en´eral que les caract`eres des repr´esentations duales (tableaux sym´etriques par rapport `a la diagonale, par exemple {3, 1} et {2, 12}) prennent la mˆeme valeur pour les classes paires, des valeurs oppos´ees pour les classes impaires.

• De fa¸con g´en´erale, si H est un sous-groupe de G, toute repr´esentation irr´eductible de G fournit une repr´esentation de H, qui a priori peut ˆetre r´eductible. Dans le cas de S_n, la d´ecomposition d’une repr´esentation de S_n en repr´esentations irr´eductibles de S_n−1 s’effectue simplement. La repr´esentation de S_n associ´ee au tableau Y se d´ecompose en la somme directe (avec multiplicit´e 1) des repr´esentations de S_n−1 associ´ees `a tous les tableaux qu’on obtient en ˆotant une boˆıte `a Y . Noter que la d´efinition d’un tableau d’Young interdit de nombreuses possibilit´es. Ainsi, dans le tableau

Y =

seules les deux boˆıtes en haut et en bas `a droite peuvent ˆetre ˆot´ees si bien que la d´ecomposition en repr´esentations de S6 s’´ecrit

• Il existe aussi des r`egles pr´ecises pour la d´ecomposition en repr´esentations irr´eductibles du produit direct de deux repr´esentations de Sn. Les coefficients de Clebsch-Gordan des repr´esentations de S<sub>n</sub> se calculent aussi de fa¸con tr`es explicite. Le lecteur peut se reporter `a Hamermesh. Nous nous bornerons ici `a mentionner des propri´et´es sim-ples. Soit Y un tableau d’Young, D_Y la repr´esentation irr´eductible associ´ee. Quelles sont les tableaux Y⁰ tels que DY ⊗ DY0 contienne la repr´esentation identit´e? Des relations d’orthogonalit´e entre caract`eres, il d´ecoule que le seul Y<sup>0</sup> est Y lui-mˆeme. De mˆeme le seul Y<sup>0</sup> tel que DY ⊗DY0 contienne la repr´esentation compl`etement antisym´etrique est Y⁰ = ˜Y , le tableau dual, sym´etrique de Y par rapport `a la diagonale.