Mesures morphologiques

Une série de mesures morphologiques a été faite sur l'ensemble des particules de la bibliothèque, avec la nalité de les caractériser quantitativement en termes de forme et taille.

1. Volume (V ) : volume d'une particule mesuré en contant le nombre de voxels et en le multipliant par la résolution volumique (0, 773_µm3_{/voxel dans notre cas).}

2. Surface (S) : en appliquant l'opérateur gradient (cf. chapitre 2) à l'image de la particule, une image binaire représentant la surface de l'objet est obtenue. Il est alors possible de compter le nombre des voxels et de le multiplier par la résolu- tion surfacique (0, 772_µm2_{/pixel dans notre cas) pour obtenir une estimation de la}

surface des objets.

3. Rapport surface/volume (S/V ), calculé à partir des deux données précédentes. 4. Dimensions de la boîte englobante le long des axes principaux d'inertie (B1, B2,

B3) avec auparavant la dénition du tenseur et des axes principaux d'inertie :

s'écrit : L = Iω, où I est le tenseur d'inertie. Pour les objets discrétisés, comme les particules de la bibliothèque qui sont faites de voxels, le tenseur I est donné par l'équation suivante : I =   P imi(y 2 i + zi2) − P imixiyi − P imixizi −P imixiyi P imi(x 2 i + zi2) − P imiyizi −P imixizi − P imiyizi P imi(x2i + yi2)   (III.1)

I est symétrique et déni positif donc diagonalisable dans l'espace réel. En d'autres termes, il est toujours possible de choisir un système d'axes tel que la matrice dans l'eq. (III.1) soit réelle positive et diagonale : de tels axes sont dits axes principaux d'inertie. Les moments d'inertie correspondants sont appelés moments principaux d'inertie et sont notés I1, I2, I3, avec I1 < I2 < I3. On a choisi de mesurer les

dimensions de la boîte englobante le long de ces axes, plutôt que pour des directions quelconques. Il faut remarquer que l'ordre des mesures est inversé par rapport à l'ordre des axes : le côté le plus long de la boîte englobante (ici nommé B1)

correspond au troisième axe principal, le côté le plus court (B3) correspond au

premier axe.

5. Rayon moyen (rm), déni comme la distance moyenne entre le barycentre et les

voxels constituant l'objet.

6. Rayon équivalent (req), déni comme le rayon de la sphère ayant le même volume

que l'objet. Il est simplement calculé à partir du volume de l'objet, selon la formule r_eq = (3πV /4)1/3_.

7. Sphéricité (Sph) : bien qu'il existe diérentes dénitions de la sphéricité en littéra- ture, une dénition plus adaptée à notre cas a été utilisée : la sphère équivalente, dénie au point précédent, a été placée de façon à ce que son centre coïncide avec le barycentre de l'objet. Ensuite, le volume de l'intersection de cette sphère et de l'objet a été mesuré. La sphéricité a été dénie comme le rapport entre ce volume et le volume total de l'objet. Par dénition, une sphère atteint la valeur maximale de sphéricité, égale à 1. Plus un objet s'éloigne de la forme sphérique, plus sa sphéricité se rapproche de 0.

Figure III.6  Moments d'inertie principaux adimensionnels. Le triangle en gris dans le plan (λ1, λ2) indique l'aire admissible par les inéquations (III.2), d'après [13].

sont indépendantes (par exemple λ1 et λ2). La dénition des λi implique les trois

inéquations suivantes, qui limitent les couples possibles λ1 et λ2 dans le triangle en

gris en gure III.6 :

λi < 0.5 , λ1 > λ2 , λ2 > 0, 5 ((1 − λ1) (III.2)

Pour chaque objet, λ1 et λ2 ont été mesurés, ce qui a permis de le positionner à

l'intérieur du triangle et de donner des informations précieuses sur sa forme. Il est en eet possible d'associer à chaque couple (λ1, λ2) un ellipsoïde ayant les même

propriétés d'inertie que l'objet considéré. La connaissance des valeurs de λ1 et λ2

caractérise ainsi la forme de l'objet, en determinant par exemple si elle est plus proche à celle d'une baguette plutôt qu'à celle d'un disque.

9. Boîte englobante normalisée (β1, β2) : en analogie aux moments d'inertie principaux

adimensionnels, le concept de boîte englobante normalisée a été introduit. Chaque côté est déni comme βi = _bx+bb_yi_+bz. En conséquence, seulement deux composantes

sont indépendantes (par exemple β1 et β2). Comme pour les moments d'inertie

principaux adimensionnels, la série d'inéquations suivantes limite les couples β1 et

β2 à un triangle.

β2 < β1 , β2 > 0, 5 (1 − β1) , β1+ β2 < 1 (III.3)

10. Imbrication (Imb) : est une mesure de convexité de l'objet, selon une certaine direction. La dénition en est tirée de [11]. L'imbrication d'un objet selon une direction x est dénie à partir du nombre de points d'entrée (Ix) et du nombre

de points de première entrée (F Ix). La gure III.7 illustre cette dénition. Pour

calculer F Ix, des lignes parallèles à la direction x sont tracées, de gauche à droite

et les points où les lignes entrent dans l'objet une première fois sont comptées. Si l'objet présente des concavités, les lignes tracées peuvent sortir et entrer de nouveau dans l'objet. Ix est obtenu en comptant la totalité des points d'entrée. Evidemment,

Ix > F Ix. L'imbrication selon la direction x est dénie comme Imbx = 1 − F Ix/Ix.

Cet index prend la valeur 0 si Ix = F Ix, c'est-à-dire, si tous les points d'entrée sont

des points de première entrée. C'est le cas d'un objet  convexe selon la direction x. Au contraire, plus l'objet est concave, plus on trouvera des points de deuxième (ou troisième, etc.) entrée et plus l'index grandira. L'imbrication constitue donc une mesure de la non-convexité d'un objet. Les imbrications, pour un ensemble de 20 directions, ont été mesurées et leur moyenne retenue comme mesure nale. Ce paramètre moyen est proche du rapport entre les surfaces de l'enveloppe convexe et de l'objet.

Les paramètres peuvent se repartir en paramètres extensifs, c'est-à-dire proportionnels à l'extension de l'objet, et intensifs, qui ne dépendent pas de la taille. Les deux paramètres suivants ont été aussi introduits, dérivés à partir de req et rm et les substituant :

r1 =

r_eq+ r_m

2 , r2 =

r_eq− r_m

r_m (III.4)

La paramètres ont été divisés de la façon suivante :

 Paramètres extensifs (ou de taille) : V , S, r1, B1, B2, B3.

 Paramètres intensifs (ou de forme) : r2, S/V , Sph, λ1, λ2, β1, β2, Imb.

L'ensemble des mesures a été réalisé sur chaque objet de la bibliothèque 3D.

La nalité de l'étude était, comme dit précédemment, la classication des particules selon leur forme. Une première classe, celle des particules quasi sphériques, a pu être isolée

Figure III.7  Calcul de l'imbrication, ici selon la direction horizontale. A gauche, im- brication nulle : l'objet mesuré est convexe et tous les point d'entrée sont des points de première entrée. A droite, imbrication positive : l'objet est non-convexe et certains points d'entrée ne sont pas des points de première entrée.

à ce stade avec un simple seuillage sur le paramètre de sphéricité. Le seuil a été xé à 0,9. Tous les objets de sphéricité supérieure à 0,9 ont donc été rassemblés dans la classe  sphérique . Il est, d'ailleurs, impossible d'eectuer les mesures avec précision pour les particules les plus petites, du fait qu'elles ne sont constituées que par quelques voxels. Il est préférable de les assimiler à des sphères et de les englober dans cette première classe, plutôt que  polluer  toutes les classes avec des petites particules peu représentatives de la forme de la classe. De plus, leur contribution volumique au sein de la poudre est limité à 0,3 %. Leur simulation n'est, donc, pas intéressante pour le but de l'étude. Un deuxième seuillage, cette fois, sur les trois tailles de la boîte englobante a permis d'isoler ce groupe de particules.