En reprenant leur démonstration du théorème AB07b, Adamczewski et Bugeaud ont pu obtenir des mesures de transcendance pour les nombres automatiques [4]. Par mesure de transcendance, on entend, étant donné un nombre transcendant ξ, une estimation du minimum des nombres |P (ξ)|, quand P ∈ Q[X] parcourt l'ensemble des polynômes dont le degré et la hau-teur sont chacun bornés par un nombre xé. Dans [3] les auteurs précisent comment, de manière générale, l'utilisation du théorème du sous-espace per-met d'obtenir des mesures de transcendance.
En 1986, Becker [27] avait obtenu par la méthode de Mahler une me-sure de transcendance pour les valeurs aux points algébriques d'une fonction mahlérienne f(z) satisfaisant à une équation de la forme
f (z) = a(z)f (zq) + b(z) ,
avec a(z), b(z) ∈ Q[z]. Ku. Nishioka [86] a généralisé ce résultat en donnant une mesure d'indépendance algébrique pour les valeurs des coordonnées d'un vecteur solution d'un système mahlérien, en un point algébrique régulier. Par mesure d'indépendance algébrique, on entend, étant donnés des nombres ξ1, . . . , ξr, une estimation du minimum des nombres |P (ξ1, . . . , ξr)|, quand P ∈ Q[X1, . . . , Xr] parcourt l'ensemble des polynômes dont le degré et la hauteur sont chacun majorés par un nombre xé. Amou [18], Töpfer [107] et Philipon [91] ont montré comment de telles estimations permettent égale-ment d'obtenir des résultats de transcendance pour les valeurs de fonctions mahlériennes évaluées en certains points transcendants.
Dans la continuité de ces travaux, il serait intéressant de voir quelles me-sures de transcendance on peut obtenir pour les nombres automatiques, en utilisant la méthode de Mahler. De même, il serait intéressant de reprendre la preuve du théorème 16 a n d'obtenir une mesure d'indépendance algé-brique pour les nombres f1(α1), . . . , fr(αr) du théorème4. Obtenir une telle mesure nécessiterait d'estimer la hauteur des coe cients des polynômes dans la construction de l'approximant de Padé du lemme38. C'est une piste que nous n'avons, pour l'instant, pas du tout explorer.
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