Pour des mesures fabriqu´ees par un plateau en effort . 139

Les surfaces repr´esentant la fonction coˆut pour ce type de conditions aux limites en fonction des param`etres mat´eriau sont trac´ees (figures 4.20) avec des mesures non perturb´ees et perturb´ees `a 20%. Il est clair que le minimum de ces fonctions se trouve aux param`etres de r´ef´erence du mat´eriau : kv0 et nv0. Il semble aussi que, pour des mesures perturb´ees et pour la gamme de param`etres trait´ee, qui est consid´er´ee comme suffisamment large, les fonctions coˆut restent convexes et il n’y a pas de minima lo-caux. Autrement dit, les perturbations de mesures affectent peu le comportement de la fonction coˆut formul´ee par l’ERdC modifi´ee.

Pour ´etudier plus en d´etail les fonctions coˆut, nous pr´esentons figure 4.21 deux coupes de la surface des fonctions coˆut pour diff´erents niveaux de perturbation des mesures : la premi`ere pour le coefficient de r´ef´erence nv0, la deuxi`eme pour le coefficient de r´ef´erence kv0.

Il est clair que les ´ecarts entre les fonctions coˆut obtenues pour des mesures pertur-b´ees `a diff´erents niveaux sont assez faibles. Ceci illustre que non seulement le compor-tement des fonctions coˆut mais aussi les fonctions elles-mˆemes sont peu affect´es par la perturbation des mesures. L’identification des param`etres par l’ERdC modifi´ee s’av`ere donc pertinente, dans ce cas, jusqu’`a 40% de perturbation des mesures.

0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 0 5 x 10⁻³ minimum k v/k v0 n v/n v0 fonction coˆut

(a) cas 1 : mesures non perturb´ees

0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 0 5 x 10⁻³ n v/n v0 minimum k v/k v0 fonction coˆut

(b) cas 2 : mesures perturb´ees `a 20%

Figure 4.20 – Surfaces repr´esentant la fonction coˆut - cas viscoplastique

0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 x 10⁻³ n v/n v0 fonction coˆut non perturb´ees perturb´ees `a 20% perturb´ees `a 40% (a) pour kv = kv0 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10⁻³ k v/k v0 fonction coˆut non perturb´ees perturb´ees `a 20% perturb´ees `a 40%

(b) pour nv= nv0

Figure 4.21 – Fonction coˆut pour diff´erents niveaux de perturbations avec le chargement de type plateau - cas viscoplastique

4.6. Conclusion

4.5.4.2 Pour des mesures fabriqu´ees par un demi-sinus en effort

Les deux coupes de la surface repr´esentant la fonction coˆut pour des mesures fabri-qu´ees par un chargement de type demi-sinus en effort et perturb´ees `a diff´erents niveaux sont pr´esent´ees figure 4.22.

0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5^{x 10} −4 k_v/k_v0 fonction coˆut

non perturb´ees perturb´ees `a 10% perturb´ees `a 20% perturb´ees `a 40% (a) pour nv= nv0 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 1 2 3<sup>x 10</sup> −4 n v<sup>/n</sup>v0 fonction coˆut non perturb´ees perturb´ees `a 10% perturb´ees `a 20% perturb´ees `a 40%

(b) pour kv= kv0

Figure 4.22 – Fonction coˆut pour diff´erents niveaux de perturbations avec le chargement de type demi sinus - cas viscoplastique

Dans ce cas, l’allure de la fonction coˆut semble ne pas ˆetre affect´e mˆeme pour des mesures fortement perturb´ees, c’est `a dire que la fonction coˆut reste convexe et aucun minimum local n’apparaˆıt. En revanche, la perturbation affecte de mani`ere relativement forte la fonction coˆut et son minimum. Ainsi, au niveau de la qualit´e de l’identification, le minimum de la fonction coˆut ne se trouve aux param`etres de r´ef´erence kv0 et nv0 que pour des mesures non perturb´ees. La qualit´e de l’identification diminue lorsque le niveau des perturbations augmente. Autrement dit, l’information sur le comportement contenue dans les mesures n’est pas suffisante.

Remarques :

Cette section a mis en avant l’importance de choix de l’essai pour l’identifica-tion des param`etres mat´eriau, surtout dans le cas non lin´eaire. Dans l’exemple num´erique trait´e dans ce travail, l’essai avec un chargement de type plateau en effort s’av`ere tr`es pertinent et il sera utilis´e pour le probl`eme d’identification `a la rupture ´etudi´e dans le chapitre 5.

4.6 Conclusion

Ce chapitre a ´et´e consacr´e `a l’extension de la strat´egie d’identification bas´ee sur l’ERdC modifi´ee en dynamique transitoire d´evelopp´ee dans le cas ´elastique (chapitre 3) au cas non lin´eaire. Les difficult´es soulev´ees, qui sont relativement li´ees, r´esident dans le choix de l’erreur de mod`ele pour la formulation du probl`eme d’identification et le

besoin d’une m´ethode de traitement num´erique adapt´ee. Comme dans le cas ´elastique, la r´esolution du probl`eme d’identification est effectu´ee en deux ´etapes :

– r´esolution du probl`eme de base pour des param`etres mat´eriau fix´es ;

– ´evaluation de la fonction coˆut pour l’identification des param`etres grˆace aux champs solution du probl`eme de base.

La r´esolution du probl`eme de base est d´elicate, il s’agit d’un probl`eme non lin´eaire de propagation d’ondes directe et adjointe coupl´ees avec des conditions initiales et finales en temps. Ceci implique non seulement une instabilit´e due au couplage des probl`emes mais ´egalement la non lin´earit´e due au comportement mat´eriau. Ce probl`eme de base se pr´esente en effet sous la forme d’une minimisation sous des contraintes non lin´eaires. Dans l’objectif d’appliquer l’approche bas´ee sur l’´equation de Riccati d´evelopp´ee dans le chapitre 3 `a la r´esolution du probl`eme de base non lin´eaire, nous avons utilis´e une formulation du probl`eme d’identification avec des erreurs aux moindres carr´es. Puis, une strat´egie it´erative issue de la m´ethode LATIN [Lad99a] a ´et´e propos´ee afin de lin´eariser le probl`eme sur tout le temps d’´etude. L’approche bas´ee sur l’´equation de Riccati est utilis´ee dans une des ´etapes de cette strat´egie.

La premi`ere application non lin´eaire de la strat´egie d’identification est le cas vi-scoplastique, o`u deux param`etres caract´erisant les lois d’´evolution ont ´et´e cherch´es. Il a ´et´e montr´e que l’utilisation d’une fonction coˆut avec une erreur de mod`ele formu-l´ee par l’´ecart sur la vitesse des variables internes et la strat´egie it´erative d´evelopp´ee permettent de r´esoudre de fa¸con robuste le probl`eme de base. Une fois le probl`eme de base r´esolu, les r´esultats d’identification obtenus sont remarquables. La strat´egie d’identification bas´ee sur l’ERdC modifi´ee est robuste face `a des mesures perturb´ees jusqu’`a 40%.

La prochaine application d’identification sera pour un comportement `a la rupture tel que celui d’un composite stratifi´e.

CHAPITRE

5

Identification des

param`etres de rupture

de composite

Ce chapitre pr´esente l’extension de la strat´egie d’identification bas´ee sur l’ERdC `a l’identification des param`etres de rupture d’un compo-site. Les mod`eles de composites envisag´es et les m´ethodes d´edi´ees `a la simulation de la rupture sont d’abord rappel´es. Puis la formulation du probl`eme d’identification pour le mod`ele d’endommagement utilis´e et son traitement num´erique sont d´evelopp´es. Les r´esultats d’identifi-cation sont pr´esent´es `a la fin du chapitre.

Sommaire

5.1 Pr´esentation du mod`ele de composite . . . 145 5.1.1 Composite stratifi´e : constitution et mod´elisation . . . 145 5.1.2 Difficult´e rencontr´ee pour la simulation jusqu’`a la rupture . . . . 149 5.1.3 Pertinence de la loi d’´evolution utilis´ee . . . 154 5.2 Pr´esentation du probl`eme d’identification . . . 157 5.2.1 Param`etres `a identifier . . . 157 5.2.2 Pertinence de la gamme de param`etres ´etudi´ee . . . 157 5.2.3 Choix de l’essai d’identification . . . 157 5.2.4 Fabrication des mesures . . . 159 5.3 Formulation du probl`eme inverse . . . 160

5.4.2 R´esolution it´erative en deux ´etapes . . . 164 5.4.3 Convergence de la strat´egie de r´esolution du probl`eme de base . 169 5.4.4 Etudes des champs solution du probl`eme de base . . . 172^´ 5.5 Identification des param`etres de l’effet retard . . . 174 5.6 Conclusion . . . 175

5.1. Pr´esentation du mod`ele de composite

Compte-tenu des r´esultats d’identification encourageant obtenus dans le cas visco-plastique (chapitre 4), ce chapitre est consacr´e `a l’extension de la m´ethode d´evelopp´ee `a l’identification des param`etres caract´erisant la rupture d’un composite.

Dans un premier temps, une breve ´etude bibliographique des mod`eles de compo-sites stratifi´es ainsi que les m´ethodes permettant de s’affranchir des probl`emes li´es `a la localisation des d´eformations lors de la rupture sont pr´esent´es. Le m´esomod`ele `a effet retard semble adapt´e au composite stratifi´e. Dans un second temps, l’identification des param`etres caract´erisant la rupture par la m´ethode d’ERdC modifi´ee est d´evelopp´ee. Les questions soulev´ees sont le choix d’un essai pertinent et la r´esolution d’un probl`eme de minimisation sous des contraintes non seulement non lin´eaires mais ´egalement d’in-´egalit´e. Une fois ces questions trait´ees, la strat´egie d’identification sera appliqu´ee au cas d’une poutre composite unidimensionnelle.

5.1 Pr´esentation du mod`ele de composite