• Aucun résultat trouvé

Etudes sur les champs solution du probl`eme de base . ´ 89

Partie II Identification robuste par l’ERdC modifi´ ee 67

3.1.3 R´esolution robuste du probl`eme de base

3.1.3.3 Etudes sur les champs solution du probl`eme de base . ´ 89

Afin d’´etudier les champs solution du probl`eme de base, nous nous int´eressons d’abord au cas du module d’Young de r´ef´erence E = E0 et avec des mesures non perturb´ees. C’est un cas id´eal dans lequel la solution du probl`eme de base co¨ıncide avec celle du calcul direct pour la fabrication des conditions aux limites. Les champs solution obtenus sont en effet dynamiquement et cin´ematiquement admissibles et v´eri-fient ´egalement la relation de comportement. Dans ce cas, la solution du probl`eme de r´ef´erence et celle du probl`eme de base doivent ˆetre identiques puisque la premi`ere mini-mise la fonction coˆut en l’annulant. En revanche, les parties pr´ec´edentes ont montr´ees que num´eriquement les erreurs entre ces champs solution ne sont pas nulles (Figures 3.9, 3.11). En fait, ces erreurs viennent de la diff´erence entre les sch´emas d’int´egration utilis´es dans le probl`eme direct pour la fabrication des mesures et dans le probl`eme de base. Cependant, elles sont consid´er´ees comme suffisamment petites en les comparant aux erreurs obtenues pour la gamme de param`etres mat´eriau ou de perturbations de mesures trait´ee.

Le deuxi`eme cas int´eressant `a ´etudier est le cas d’un mauvais module d’Young et de mesures non perturb´ees. Ce module provoque une vitesse des ondes dans la barre diff´erente de celle du calcul direct, c’est-`a-dire que le comportement du mat´eriau devient incompatible avec les mesures, qui sont fabriqu´ees par le calcul direct. Alors, les champs solution du probl`eme de base ne v´erifient exactement ni la relation de comportement ni les mesures, autrement dit, les erreurs de mod`ele et de mesure ne sont plus nulles.

La figure 3.12 repr´esente les champs de d´eplacement et de multiplicateur de La-grange associ´e pour des mesures non perturb´ees et un module d’´elasticit´e plus raide que celui de r´ef´erence : E = 1.5E0.

Les champs d’erreur du mod`ele sont illustr´es figure 3.13.

Comme attendu, les erreurs ne sont pas nulles dans le cas d’un mauvais param`etre E. De plus, pour les mesures fabriqu´ees par un chargement demi-sinus en effort, elles se localisent le long des trajets d’onde, autrement dit, les erreurs caract´erisant le mod`ele se situent dans les zones o`u les informations du syst`eme se propagent.

Figure 3.12 – D´eplacement et multiplicateur de Lagrange associ´e obtenus par l’approche hybride avec un mauvais module d’Young E = 1, 5 E0, des mesures non perturb´ees et un temps d’´etude correspondant `a 10 allers d’onde T = 10 T0

Figure 3.13 – Distribution de l’erreur de mod`ele en espace et en temps avec un mau-vais module d’Young E = 1, 5 E0, des mesures non perturb´ees et un temps d’´etude correspondant `a 10 allers d’onde T = 10 T0

3.1. Probl`eme d’identification dans le cas 1D ´elastique

3.1.4 Identification du module d’Young

Dans le cas d’une poutre ´elastique unidimensionnelle, o`u un seul param`etre mat´eriau est `a identifier, la fonction coˆut peut ˆetre pr´esent´ee en fonction de ce param`etre, qui est ici le module ´elastique de la poutre.

0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 fonction coˆut non perturb´ees perturb´ees `a 40% perturb´ees `a 60%

module d’Young relatif E/E0

(a) pour un temps d’´etude court : 2, 5 T0

0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 fonction coˆut non perturb´ees perturb´ees `a 40% perturb´ees `a 60%

module d’Young relatif E/E0

(b) pour un temps d’´etude long : 10 T0

Figure 3.14 – Fonction coˆut pour diff´erents niveaux de perturbation - cas 1D ´elastique

0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 fonction coˆut non perturb´ees perturb´ees `a 40% perturb´ees `a 60%

module d’Young relatif E/E0

Figure 3.15 – Fonction coˆut pour diff´erents niveaux de perturbation pour un temps d’´etude interm´ediaire : T = 3, 5 T0 - cas 1D ´elastique

La figure 3.14 montre que le minimum de la fonction coˆut se trouve toujours `a E = E0 pour des perturbations de mesures jusqu’`a 60% quelque soit le temps d’´etude. Afin de mettre en ´evidence la pertinence de l’approche propos´ee, l’exemple pour un temps d’´etude interm´ediaire T = 3, 5 T0 (section 2.4), par lequel l’´echec des m´ethodes de traitement num´erique d´evelopp´ees dans [Fei03] a ´et´e mis en avant, est reconsid´er´e. Les r´esultats d’identification obtenus par cette approche sont pr´esent´es dans la figure

3.15. Il est clair que le module d’´elasticit´e est bien identifi´e mˆeme pour des mesures perturb´ees `a 60%, ce qui n’´etaient pas le cas dans la figure 2.6.

En comparant la forme des fonctions coˆut pour diff´erents temps d’´etude (figure 3.14, 3.15), le module d’´elasticit´e E semble mieux identifi´e pour des temps d’´etude longs. De plus, l’´ecart entre les fonctions coˆut obtenues `a partir des mesures perturb´ees `a diff´erents niveaux pour un temps d’´etude long est plus petit que celui pour un temps d’´etude court, autrement dit, plus le temps d’´etude augmente, plus la fonction coˆut est insensible au bruit de mesure. Ceci s’explique par le fait que plus le temps d’´etude augmente, plus il y a d’information sur le comportement du mat´eriau qui est re¸cue.

La m´ethode d’identification propos´ee est donc robuste face aux incertitudes de mesures dans le cas 1D.

3.1.5 Comparaison avec les solutions obtenues par le filtre de