1.4.2 Proc´edure de r´esolution . . . 31 1.5 Outils d’optimisation utilis´es pour la m´ethode d’ERdC modifi´ee 33 1.5.1 Optimisation sans contrainte . . . 33 1.5.2 Optimisation sous contraintes : quelques grandes approches . . . 35 1.6 Conclusion . . . 46
1.1. Motivation exp´erimentale
1.1 Motivation exp´erimentale
Le point de d´epart de ce travail a ´et´e une tentative d’identification d’un mod`ele de comportement de composites stratifi´es en dynamique `a partir de l’essai men´e `a EADS CCR (Suresnes) pr´esent´e figure 1.1. Il s’agissait plus pr´ecis´ement d’identifier les effets de vitesse dans la phase post-pic [All97]. Notons que cet essai n’avait pas ´et´e con¸cu pour des identifications aussi pr´ecises, ce qui explique pour partie les difficult´es rencontr´ees alors. Ce type d’essais, appel´es essais aux barres d’Hopkinson ou Split Hopkinson Pressure Bar (SHPB) en anglais, est d´evelopp´e depuis une cinquantaine d’ann´ees. Son principe dans le cas g´en´eral et ses applications peuvent ˆetre trouv´es dans [Zha96] ou [Gar00]. Ici, les principes sont pr´esent´es en s’appuyant sur le moyens d’essai alors disponible chez EADS CCR.
(a) Essai `a EADS CCR
Barre entrante Echantillon Jauges 1,2 Jauges 3,4 Barre sortante (b) Sch´ema du montage
Figure 1.1 – Essai aux barres d’Hopkinson verticales `a EADS CCR et sch´ema du montage
Le principe de l’essai est que la barre, dite “entrante”, impacte l’´echantillon et y g´en`ere une onde, appel´ee onde incidente. `A l’interface avec l’´eprouvette, une partie de l’onde se r´efl´echit (onde r´efl´echie) et une autre est transmise dans l’´eprouvette, puis dans la barre sortante (onde transmise). `A partir de mesures aux moyens de jauges col-l´ees sur les barres, il est th´eoriquement possible de calculer les contraintes et les vitesses aux fronti`eres de l’´eprouvette, pour en d´eduire (en faisant une hypoth`ese d’homog´e-n´eit´e de l’´echantillon) la courbe “contrainte-d´eformation”. Outre cette hypoth`ese, il est g´en´eralement suppos´e que la propagation d’ondes est unidimensionnelle. Lorsqu’une de
ces hypoth`eses n’est pas satisfaite, il est n´ecessaire d’utiliser une approche inverse pour exploiter l’essai (voir [Rot94] pour le d´etail).
Pour les essais r´ealis´es `a EADS CCR sur les composites, il existe une diff´erence notable entre les sections de l’´eprouvette et des barres d’un point de vue de la forme et de la surface. Il est donc difficile de remonter `a la r´eponse globale de l’´echantillon `a partir des mesures aux jauges. Il est de plus tr`es difficile d’identifier les param`etres caract´erisant l’effet de vitesse de la phase post-pic du composite car l’essai devient tr`es h´et´erog`ene avant la rupture de l’´eprouvette. L’ensemble de ces raisons a fait que les mesures des forces et des vitesses entrantes et sortantes ´etaient extrˆemement perturb´ees et se sont av´er´ees inexploitables.
Il est probable que des essais beaucoup plus adapt´es comme ceux utilisant des barres d’Hopkinson avec adaptation d’imp´edance comme cela est fait par exemple pour des mat´eriaux de type mousse [Zha05] am´eliorerait la situation. Il reste n´eanmoins que la caract`ere tr`es brutal de la rupture des composites nous semble malgr´e tout constituer une difficult´e d’importance mˆeme avec de fortes pr´ecautions exp´erimentales. De plus, la th´ematique d’exploitation d’essais en pr´esence de mesures corrompues ne se limite pas `a l’essai pr´esent´e ici. En effet, les essais de rupture dynamique sont le plus souvent sous-exploit´es du fait des corruptions de mesures malgr´e leur coˆut et leur richesse potentielle. Dans ce contexte tr`es large, nous nous restreignons dans la suite de cette th`ese au cas de l’identification de param`etres `a partir de mesures :
– redondantes en effort et en d´eplacement (ou vitesse) ;
– connues (normalement en moyennes) sur une partie de la fronti`ere ; – fortement corrompues ;
– et o`u aucune information a priori sur la corruption de mesures n’est connue.
1.2 Probl`eme d’identification : contexte g´en´eral
Le domaine d’application des probl`emes inverses d’identification est tr`es large : m´e-canique, acoustique, ´electronique, magn´etique, physique... Dans le seul domaine m´eca-nique, diff´erents types de probl`emes inverses sont couramment consid´er´es :
• identification des param`etres d’une loi de comportement :
– modules ´elastiques [Cal80] [Ike90] [Con95] [Gr´e96] [Rot96] [All03] ; – param`etres de (visco)plasticit´e [Cai94] [Aok98] [Con01] [Gr´e06] ; – param`etres d’endommagement [Cha03] [Cor04] [Cor05] ;
– ...
• recalage des structures en vibration [Lad94] [Cho98] [Gol96] [Moi97] ;
• identification des sources ou des conditions aux limites dans les zones inaccessibles [Gue89] [Cim00] [Con03] [Bou05] ;
• identification d’une partie de la fronti`ere de structure : d´etection de fissures, de cavit´es ou d’inclusions [And92] [And99] [Bui04] [Bon05] ;
1.2. Probl`eme d’identification : contexte g´en´eral
Chacun de ces probl`emes n´ecessite des m´ethodes de r´esolution sp´ecifiques. Dans le cadre de cette ´etude, seule l’identification des param`etres de loi de comportement `a partir de conditions aux limites redondantes sur une partie de la fronti`ere est ´etudi´ee. Consid´erons le probl`eme d’´evolution sur l’intervalle de temps [0, Tf inal] d’une struc-ture occupant le domaine Ω, avec les conditions limites sur la fronti`ere ∂Ω :
∂Ω = ∂u\fΩ∪ ∂ufΩ∪ ∂f \uΩ∪ ∂∅Ω
– sur ∂u\fΩ, les d´eplacements sont impos´es et ´egaux au champ surfacique eud; – sur ∂f \uΩ, les efforts sont impos´es et ´egaux au champ surfacique efd;
– sur ∂ufΩ, les d´eplacement eud et les efforts efd sont impos´es ; – sur ∂∅Ω, aucune condition aux limites n’est donn´ee.
Le cas r´eellement trait´e dans ce travail correspond au cas particulier o`u ∂∅Ω est vide et le caract`ere mal pos´e du probl`eme provient de la redondance d’information sur ∂ufΩ. ∂u\fΩ ∂ufΩ ∂f \uΩ ∂∅Ω Ω e fd e ud
Figure 1.2 – Probl`eme de r´ef´erence associ´e au probl`eme d’identification
Le probl`eme inverse consiste ici `a chercher le(s) “meilleur(s)” param`etre(s) p `a partir de :
– l’´equation d’´equilibre :
−ρ ¨u + div(σ) = 0 (1.1)
– les relations de comportement :
σ|t =A((˙ǫ(u)|τ, p) ; τ ≤ t) (1.2)
– les conditions aux limites :
u = ˜ud sur ∂uΩ = (∂u\fΩ∪ ∂ufΩ)
– les conditions initiales :
u(t=0)= u0
˙u(t=0)= ˙u0 (1.4)
Le caract`ere mal pos´e du probl`eme tel qu’il est d´efini pr´ecis´ement par Hadamard [Bui93], c’est `a dire la non satisfaction en mˆeme temps de l’existence, de l’unicit´e et de la continuit´e de la solution par rapport aux donn´ees, prend alors tout son rˆole. Pour le probl`eme inverse, ce caract`ere mal pos´e, comme on le verra plus loin (section 1.2.2), viens de la redondance, de la perturbation des mesures et de la pauvret´e du mod`ele mat´eriau. C’est la raison pour laquelle ce probl`eme est transform´e en un probl`eme d’optimisation, o`u il s’agit de chercher le(s) “meilleur(s)” param`etre(s) p `a un sens qu’il reste `a d´efinir.
Avant d’´etudier plus pr´ecis´ement les caract´eristiques de ce type de probl`eme inverse, il est n´ecessaire de consid´erer celles du probl`eme direct. Celles-ci sont pr´esent´ees dans la section suivante 1.2.1.
1.2.1 Caract´eristiques du probl`eme direct
Le probl`eme direct consiste `a chercher, pour un jeu de param`etre(s) p fix´e(s) carac-t´erisant le comportement du mat´eriau, les champs solution u v´erifiant :
– l’´equation d’´equilibre (1.1) ;
– les relations de comportement (1.2) ; – les conditions aux limites (1.3) ; – les conditions initiales (1.4).
Dans le cas ´elastique, la relation de comportement s’´ecrit simplement : σ = E : ǫ(u). Le probl`eme direct est bien pos´e au sens de Hadamard [Bui93] si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
– pour tout ˜fd et ˜ud, il existe une solution u ; – cette solution est unique ;
– la d´ependance de la solution u vis-`a-vis des donn´ees ˜fd, ˜ud est continue.
De nombreux r´esultats existants ont montr´e que le probl`eme direct avec les condi-tions aux limites pr´esent´ees figure 1.2 est bien pos´e si des condicondi-tions aux limites suf-fisantes (un vecteur d’information) sont connues sur toute la fronti`ere et ´egalement si elles ne sont pas redondantes : ∂∅Ω = ∂ufΩ = ∅. Les donn´ees doivent bien sur v´e-rifier des conditions de r´egularit´e d´ependant de l’espace dans lequel est recherch´e la solution. Par exemple pour un probl`eme tridimensionnel, les donn´ees au fronti`ere ap-partienne pour les composantes des d´eplacements `a H1/2(∂Ω) et les composantes des densit´e surfacique d’effort `a H−1/2(∂Ω). Un bilan assez complet sur les caract`eres du probl`eme direct pour le mat´eriau ´elastique est trouv´e dans [Kup79]. Dans le cas non lin´eaire, les travaux de Necas, Hlavacek [Nec81] et de Ladev`eze [Lad99a] confirment ces caract´eristiques pour la classe de mat´eriau satisfaisant le crit`ere de Drucker [Dru64].
Dans notre contexte o`u les mesures obtenues par l’essai aux barres d’Hopkinson sont redondantes, le probl`eme direct devient mal pos´e au sens de Hadamard car la
1.3. Approches pour la r´esolution du probl`eme d’identification
condition d’existence de la solution u n’est pas v´erifi´ee au moins dans le cas g´en´eral. Le d´etail de cette d´emonstration se trouve dans [Rot96] ou [Fei03].
1.2.2 Caract´eristiques du probl`eme inverse
Le probl`eme inverse d’identification de param`etres mat´eriau, comme son probl`eme direct, a fait l’objet de nombreuses ´etudes. Une pr´esentation assez compl`ete de ses caract´eristiques, ainsi que des m´ethodes de r´esolution associ´ees, peuvent ˆetre trouv´ees dans les ouvrages de Tikhonov et Arsenin [Tik77], de Badeva et Morozov [Bad91], de Bui [Bui93] ou r´ecemment dans l’article de synth`ese de Bonnet et Constantinescu [Bon05] pour le probl`eme d’identification en ´elasticit´e.
Les travaux de la litt´erature [Ike90] [Con95] [Bon05] ont montr´e que le probl`eme inverse est mal pos´e au sens de Hadamard dans le cas ´elastostatique lorsqu’un champ de propri´et´e en espace E(x) est recherch´e. Il faut, en g´en´eral, introduire des connaissances a priori sur ce champ pour que la solution du probl`eme soit unique.
En dynamique transitoire ou dans le cas o`u le comportement mat´eriau est non lin´eaire, `a notre connaissance, peu de travaux th´eoriques portent sur le caract`ere du probl`eme inverse.
Cependant, du point de vue de la r´esolution du probl`eme inverse, le fait que le mod`ele mat´eriau n’est jamais parfait ainsi que la redondance et la forte perturbation des conditions aux limites obtenues `a partir de l’essai aux barres d’Hopkinson posent souvent des probl`emes d’unicit´e et de continuit´e de la solution [Rot96]. Il faut donc utiliser non seulement une approche inverse mais ´egalement des techniques de r´egu-larisation pour stabiliser la r´esolution. Dans les parties suivantes, des approches pour r´esoudre le probl`eme inverse et des techniques de r´egularisation seront donc ´etudi´ees.
1.3 Approches pour la r´esolution du probl`eme
d’iden-tification
La r´esolution du probl`eme d’identification des param`etres mat´eriau peut s’effec-tuer par des approches directes ou inverses. Parmi les premi`eres, citons la m´ethode des champs virtuels [Gr´e96] [Cha03] [Gr´e06], qui cherche `a d´eterminer directement les param`etres `a partir du principe des puissances virtuels en choisissant judicieusement un champ virtuel grˆace aux mesures exp´erimentales des champs. L’avantage de cette m´ethode r´eside dans le coˆut de calcul car l’identification des param`etres est effectu´ee de fa¸con directe. Cependant, pour des essais h´et´erog`enes, surtout jusqu’`a la rupture, et des mesures classiques par jauges comme dans notre cas, ce type de m´ethode est diffi-cile `a appliquer. Le choix de la m´ethode d’identification tend donc vers une approche inverse. Dans la partie suivante, diff´erentes approches inverses seront pr´esent´ees.
1.3.1 Approches inverses
Les approches inverses peuvent ˆetre regroup´ees en deux grandes familles : les ap-proches par champs auxiliaires et les apap-proches variationnelles.
1.3.1.1 Approche par champs auxiliaires
L’approche par champs auxiliaires a ´et´e appliqu´ee `a l’identification du tenseur d’´elasticit´e d’un milieu homog`ene [Cal80] [Ike90] ou `a la d´etection de fissures enfer-m´ees `a l’int´erieur d’un solide ´elastique `a partir de mesures surabondantes en thermique [And92] ou en m´ecanique [And99] [Bui04] sur toute la fronti`ere ext´erieure du milieu.
Afin de faciliter la pr´esentation de ces approches, consid´erons ici l’exemple dans [And99] pour la d´etection de fissures `a l’int´erieur d’un solide ´elastique `a partir des mesures surabondantes en d´eplacement eud et en effort efd sur l’ensemble de la fronti`ere ∂Ω. Une fonctionnelle bas´ee sur le th´eor`eme de r´eciprocit´e de Maxwell-Betti est tout d’abord introduite : RG(v) = Z ∂Ω e fd. v− eud. σ(v) . n ds (1.5)
avec v un champs de d´eplacement v´erifiant la relation de comportement et l’´equation d’´equilibre dans le milieu Ω :
div(σ(v)) = 0
σ(v) = E : ǫ(v) (1.6)
La fonctionnelle RG(v) s’annule si le milieu est non fissur´e (et si les mesures sont non perturb´ees). Si le milieu est fissur´e, cette fonctionnelle n’est pas nulle et peut ˆetre exprim´ee en fonction des variables caract´erisant une ou des fissures. Ceci permet donc de d´etecter directement ces fissures lorsque les champs de mesures choisies les excitent. L’extension de la m´ethode `a la d´etection des fissures en dynamique peut ˆetre trouv´ee dans [Bui04].
Remarques :
L’approche par champs auxiliaires introduit un point de vue int´eressant et diff´e-rent de ceux pr´esent´es ci-apr`es. Cependant, elle n’est ´etablie que pour des mesures surabondantes sur toute la fronti`ere du milieu, ce qui n’est pas le cas pour les essais aux barres d’Hopkinson, dans lesquels les conditions aux limites en d´e-placement ne sont pas connues sur la partie lat´erale de l’´eprouvette. De plus, les conditions aux limites utilis´ees sont normalement non perturb´ees et cette ap-proche, `a notre connaissance, n’est pas encore appliqu´ee pour des mat´eriaux dont le comportement est non lin´eaire.
1.3.1.2 Approches variationnelles
Les approches variationnelles cherchent `a construire une fonction coˆut du champ de param`etres `a identifier, qui doit ˆetre minimis´ee pour obtenir les solutions du pro-bl`eme inverse et qui n’a en g´en´eral pas une forme explicite des param`etres `a identifier.
1.3. Approches pour la r´esolution du probl`eme d’identification
Contrairement `a l’approche par champs auxiliaires, la mise en œuvre de ces m´ethodes est it´erative. Dans la litt´erature, trois grands types de fonctionnelles peuvent ˆetre consi-d´er´es.
I. Fonctionnelle des moindres carr´es directs
Dans cette approche, une sollicitation (en effort, en d´eplacement, en vitesse ...) est utilis´ee afin de calculer `a travers le mod`ele tous les champs solution en fonction des param`etres mat´eriau. Puis, une fonctionnelle aux moindres carr´es, qui s’appuie sur l’´ecart entre les mesures exp´erimentales et les quantit´es calcul´ees pr´ec´edemment, est d´efinie et minimis´ee par rapport aux param`etres mat´eriau afin de trouver les param`etres optimaux.
Un exemple typique de cette approche se trouve dans l’article de Mahnken et Stein [Mah96], dans lequel les auteurs cherchent `a identifier les param`etres du mod`ele visco-plastique de Chaboche `a partir des mesures en effort sur un essai quasi-statique sollicit´e en d´eplacement ou en d´eformation. Le probl`eme d’identification consiste `a trouver le param`etre p minimisant la fonctionnelle aux moindres carr´es directs sur les efforts :
Trouver popt= Arg min p J(σ(p), p), J(σ(p), p) = Z ∂fΩ σ n − ˜fd 2 ds (1.7)
o`u σ est d´ependant du param`etre p et calcul´e `a partir :
- des conditions aux limites en d´eplacement : u = ˜ud sur ∂uΩ
- de l’´equation d’´equilibre : div(σ) = 0
- des relations de comportement : σ|t =A((˙ǫ(u)|τ, p) ; τ ≤ t)
(1.8) Le probl`eme de minimisation (1.7) peut ˆetre r´esolu grˆace `a un calcul de sensibilit´e de la fonctionnelle J aux param`etres p [Mah96] ou par la m´ethode de l’´etat adjoint [Con01]. Ces m´ethodes permettent dans ce cas d’obtenir le gradient de la fonction coˆut J par rapport aux param`etres mat´eriau p `a travers la r´esolution de probl`emes directs standards du mˆeme type que le probl`eme (1.8). Un code de calcul existant pour le probl`eme direct peut donc ˆetre appliqu´e directement, ce qui est un grand avantage de cette fonctionnelle.
Dans la plupart des cas, l’essai est pilot´e par des sollicitations contrˆol´ees, qui sont donc consid´er´ees comme fiables et v´erifi´ees exactement. Les mesures, quant `a elles, sont moins fiables et v´erifi´ees au mieux. Cependant, dans certains essais comme l’essai aux barres d’Hopkinson, la s´eparation “sollicitation - mesure” est moins explicite car les deux conditions aux limites en effort et en vitesse sont “mesur´ees” aux extr´emit´es de l’´eprouvette. Le choix de “sollicitation - mesure” d´epend de la confiance que l’on accorde `a chaque quantit´e.
L’application de cette approche est fr´equente dans plusieurs domaines. En m´eca-nique, citons quelques exemples : l’identification de mani`ere automatique des para-m`etres d’une loi de comportement, qui a ´et´e mise en œuvre dans un logiciel appel´e SIDOLO [Cai94], l’identification des param`etres d’une loi viscoplastique de Norton-Hoff par des mesures sur des essais d’indentation [Con01], des chargements thermiques dans les zones inaccessibles [Con03] ...
Remarques :
La fonctionnelle des moindres carr´es directs a le grand avantage de permettre d’utiliser directement un code de calcul existant pour le probl`eme direct au cours de la r´esolution du probl`eme inverse. Cependant, dans le plupart des cas, le probl`eme inverse utilisant cette fonctionnelle est souvent mal pos´e vis-`a-vis des perturbations de mesure. Il est donc n´ecessaire de faire appel `a une technique de r´egularisation.
II. Fonctionnelle des moindres carr´es pour la reconstruction d’´etat
Dans les cas o`u les conditions aux limites sont bruit´ees et manquantes dans les zones inaccessibles, Guerrier [Gue89], Cimeti`ere & al [Cim00] ont propos´e une fonctionnelle aux moindre carr´es sur les deux types de conditions aux limites (par exemple en effort et en d´eplacement), c’est`adire qu’il n’y pas de s´eparation explicite “sollicitation -mesure”. Dans ce cas, l’outil de moindres carr´es est utilis´e, comme en contrˆole optimal, pour reconstruire des champs m´ecaniques et pas uniquement pour quantifier la qualit´e du mod`ele.
Afin d’illustrer la fonctionnelle des moindres carr´es dans ce cadre, reprenons ici l’exemple de Cimeti`ere & al [Cim00] pour l’identification des conditions aux limites manquantes sur la partie ∂2Ω de la fronti`ere d’un domaine r´egi par les ´equations du probl`eme du Laplacien. Dans le probl`eme trait´e, les donn´ees surabondantes sur le reste de la fronti`ere ∂1Ω = ∂Ω\∂2Ω sont le d´eplacement et sa d´eriv´ee normale. Le probl`eme d’identification consiste `a chercher le champ u `a partir des ´equations :
∆u = 0 u = ˜ud sur ∂1Ω ∂u ∂n = ˜u ′ d sur ∂1Ω (1.9)
Le probl`eme (1.9) est mal pos´e. Cimeti`ere & al [Cim00] ont propos´e de le remplacer par la minimisation par rapport `a u de la fonctionnelle suivante, en v´erifiant l’´equation ∆u = 0 : J u,∂u ∂n = Z ∂1Ω u − ˜ud 2 ds + Z ∂1Ω ∂u∂n − ˜u′ d 2 ds + g u,∂u ∂n (1.10) o`u g(u,∂u
∂n) est un terme de r´egularisation, que nous allons d´etailler dans la section 1.3.2.2.III, et qui est ajout´e pour stabiliser la solution obtenue.
Dans d’autres travaux tel que [Gue89], la n´ecessit´e de l’utilisation d’une technique de r´egularisation pour ce type de fonctionnelle est ´egalement constat´ee surtout lorsque les mesures sont perturb´ees.
Remarques :
Cette fonctionnelle nous conduit `a une minimisation sous contraintes menant `a un syst`eme d’´equations directes et adjointes coupl´ees lorsqu’on utilise la m´ethode
1.3. Approches pour la r´esolution du probl`eme d’identification
de l’´etat adjoint. Dans le cas dynamique, il est n´ecessaire de prendre en compte des conditions initiales et finales en temps, ce qui pose des difficult´es num´erique pour la r´esolution. Cependant, l’id´ee de v´erifier au mieux les deux conditions aux limites (en d´eplacement et en d´eriv´ee normale du d´eplacement) est int´eressante et semble naturelle lorsque ces conditions aux limites sont perturb´ees. En ce sens, elle est donc proche de l’id´ee de la m´ethode d’erreur en relation de comportement pr´esent´ee dans la section 1.3.1.2.III.b.
III. Fonctionnelles ´energ´etiques `
A la diff´erence des fonctionnelles aux moindres carr´es, qui cherchent des param`etres mat´eriau ou des champs solution minimisant la distance entre la r´eponse du mod`ele et les mesures, les fonctionnelles ´energ´etiques se basent sur un ´ecart entre des champs solution admissibles, qui sont construits `aa la fois `a partir des mesures et du mod`ele.