Mesure de la vitesse projetée sur le gradient de température

Les données expérimentales du champ de la température sont analysées afin d’obtenir quelques indices sur la configuration de la dynamique, notamment l'ampleur du champ de vitesse dans la zone liquide. Le procédé consiste à calculer la projection de la vitesse sur le vecteur gradient de température au niveau de chaque nœud correspondant à la position d'un thermocouple. Le principe de la méthode est le suivant. L’intégration de l'équation de la chaleur sur l'épaisseur d'échantillon dans la zone liquide donne :

∫ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∫ (IV.18) où ⃗ , α et e désigne respectivement le champ de vitesse instantanée, la diffusivité thermique liquide et l'épaisseur de l'échantillon. Si nous supposons que le champ de température est uniforme dans le sens transversal, ce qui est confirmé expérimentalement, alors l'intégrale (IV.18) se réduit à :

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ _∫ ⃗⃗⃗ (IV.19) Le vecteur ⃗⃗ représente la valeur moyenne de la vitesse instantanée à travers l'épaisseur de l'échantillon. L’estimation de la vitesse algébrique U est définie comme suit:

⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗ | (IV.20)

où | ⃗⃗ | est la norme du vecteur gradient thermique local

La valeur de U est obtenue en discrétisant l'équation de la chaleur à l'état liquide (sans tenir compte le dégagement de la chaleur latente) et en introduisant les données de température mesurées. Une méthode aux différences finies centrées est utilisée pour la discrétisation spatiale et un schéma « Leap-frog » du second ordre pour la discrétisation temporelle. Le maillage de calcul et la discrétisation des équations sont données dans l’annexe (II.3).

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Les résultats sont présentés dans la figure (IV.21.a-b-c) pour le cas d’un alliage de Sn-3wt.%Pb avec les conditions expérimentales : ΔT = 40K et CR = 0,03K/s. Il n'est pas facile de déterminer la précision de la méthode. L'analyse des profils de vitesse (par exemple, à la figure IV.21.a) montre que l'estimation de vitesse devient inférieure à une amplitude de 6

mm/s. Cependant, la méthode n'est plus valable dès que les grains équiaxes apparaissent à la

fin de la solidification. Il faut souligner que l'estimation actuelle est probablement plus faible que la vitesse maximale par convection. En effet, des calculs numériques effectués au cours de l'étape de la convection purement naturelle dans les travaux de R. BOUSSAA [3], indiquent que la grandeur de vitesse est de l'ordre de 1 à 2cm/s. Le nombre de Péclet étant relativement important, typiquement de l'ordre de 36 pour une amplitude de vitesse de 1cm/s, les isothermes sont frottement déviées par apport les lignes de courant de l’écoulement, ce qui diminue la projection de la vitesse. L'ordre de grandeur typique de la projection de vitesse est de 2 à 5,6mm/s.

La figure (IV.21.c) montre l’évolution des modules des vitesses projetées pour les nœuds situés au niveau inférieur du maillage de calcul, où les produits scalaires du vecteur de la vitesse ⃗ avec le gradient de température ⃗⃗ ne sont pas censés être trop petits. Diverses observations peuvent être faites concernant une telle analyse. Tout d'abord, on retrouve les différentes étapes du procédé de solidification, à savoir la stabilisation globale de la vitesse pendant le régime de convection thermique naturel avant le refroidissement. D'autre part, la vitesse décroît lorsque le front colonnaire se rapproche du nœud. En effet, si on prend par exemple le nœud 18 dans la figure (IV.21-a), on constate que lors de la phase de la solidification, la norme de la vitesse projetée augmente puis diminue sensiblement presque à zéro. Ceci est attribué à l’effet solutal juste en avant le passage supposé du front colonnaire qui favorise la convection en augmentant la vitesse. Il a été démontré par des calculs numériques que la convection est un peu particulière à nombre de Prandtl bas et elle se compose d'un jet de recirculation (vortex bien établi). Un tel schéma est qualitativement en accord avec les observations.

La comparaison entre les figures. (IV.21.a-b-c) et (IV.22) montrent que le signe de la vitesse est conforme aux constatations précédente. Nous avons déterminé l'instant où la vitesse diminue jusqu'à une valeur proche de zéro en extrapolant la courbe de vitesse à zéro en utilisant la tangente calculée au point d'inflexion (voir figure IV.21.a-b-c). L'utilisation de cette procédure était justifiée par le fait que la méthode actuelle n'est plus valide dès que le

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nœud est englobé par le front colonnaire à cause de dégagement de la chaleur latente qui n'a pas été pris en compte dans le modèle analytique. Ces instants correspondent aux points d’intersection de la tangente de chaque courbe avec le niveau zéro. Les valeurs numériques des instants ainsi que les températures correspondantes enregistrées à chaque nœud sont fournis dans le tableau (II.6) de l'annexe de ce chapitre.

(a)

-149- (c)

Figure IV.21. Evolution temporelle des modules de la vitesse projetée U pour différents nœuds internes a) : (L13, L14, L15, L16, L17 et L18) situé dans la partie supérieure du lingot, b) : (L23, L24, L25, L26, L27, et L28) situé à mi-hauteur du lingot et c) : (L33 L34, L35, L36, L37 et L38) situé dans la partie inférieure du lingot. La figure montre également l'extrapolation à zéro utilisée pour estimer l'instant où le front colonnaire traverse la position du nœud. Sn-3wt. %Pb, ΔT = 40K, CR = 0,03 K/s (Réf LH1).

Il est très important de noter que les séquences temporelles sont cohérentes avec les positions des nœuds et ont nous permis de suivre le déplacement du front colonnaire. En effet, il est possible d'obtenir une estimation de la vitesse du front colonnaire connaissant le temps parcouru entre deux nœuds c’est-à-dire entre deux thermocouples. Les estimations de la vitesse du front colonnaire sont fournies dans le tableau (IV.6). Nous avons constaté que la vitesse du front colonnaire globalement augmentait au cours du processus de solidification. En outre, il est possible d'obtenir une estimation de la température lorsque le front colonnaire atteint un thermocouple, ces données ont montré que la température du front colonnaire est inférieure à la température de liquidus de l'alliage de 2 à 5 K.

Dans la figure. (IV.21.c), nous observons des changements de signes dans le comportement des vitesses projetées de U33 et U34 vers la fin de la solidification, ce comportement n'est pas facile à interpréter. En effet, les données expérimentales ne sont que les projections du champ de vitesse sur le gradient de température locale, c’est-à-dire une image de la vitesse. Ainsi, la température et les changements de la configuration du flux

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thermique pourraient être responsables de ce comportement. Dans les derniers instants de la solidification, la configuration du champ de température change considérablement comme le montre la figure (IV.15.b-d). En ce qui concerne la configuration de l'écoulement, il peut apparaître également une modification de la configuration de l'écoulement près de la fin de la solidification à cause du cumul de soluté dans le dernier liquide.

Les analyses post-mortem qui seront présentées dans la partie suivante dans ce chapitre montrent qu’à la fin de solidification la concentration du soluté présente un panache vertical dans la partie droite de l'échantillon. Il semble qu'il y apparaisse une seconde recirculation près de la paroi chaude. Ce phénomène aussi a été observé dans les travaux numériques de R. Boussaa et al [3] sur la même configuration physique et géométrique.

Figure IV.22. Estimation de la vitesse en fonction du temps obtenue à partir de la projection sur le vecteur gradient de température pour les nœuds du maillage de calcul à l'instant t = 15000s. Sn-3wt.%Pb, ΔT = 40K, CR = 0.03 K/s (Réf LH1).

La figure (IV.24) montre les profils instantanés de la projection de la vitesse calculée dans plusieurs nœuds. L'instant choisi correspond à un moment juste avant le début du refroidissement (t=15000s). Les signes des projections de vitesse sont compatibles avec

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l'existence d'une grande boucle d'écoulement de recirculation. Les valeurs numériques correspondantes sont fournies dans l'annexe II (tableau II.7).

IV.4.3. Analyses post mortem