Une mesure du risque fond´ ee sur la fonction d’utilit´ e

D’apr`es le tableau 2-9, on note que les valeurs de mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e iso´elastique21, qui caract´erise un agent risquophobe, sont plus ´elev´ees que celles de la fonction d’utilit´e exponentielle n´egative22_{. Ceci s’explique}

par le fait qu’`a la diff´erence de la fonction d’utilit´e exponentielle n´egative dont l’aversion au risque absolu est constante, l’aversion au risque absolu pour la fonction iso´elastique est d´ecroissante avec la richesse, ce qui signifie que la valeur des titres risqu´es d´etenus par les investisseurs augmente pour ce type de fonction d’utilit´e. Le tableau 2-9 nous indique aussi que la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e iso´elastique des diff´erentes indices boursiers augmentent en fonction du param`etre γ.

Tableau 2-9 – Calcul de mesures de risque fond´ee sur une fonction d’utilit´e iso´elastique pour diff´erentes valeurs de γ

Indices boursiers γ = 0.5 γ = 2 γ = 3 γ = 5 γ = 10

CAC 40 2.4561 E-04 2.4558 E-04 2.4567 E-04 2.4612 E-04 2.4879 E-04 DAX 2.7628 E-04 2.7610 E-04 2.7611 E-04 2.7643 E-04 2.7900 E-04 FTSE 100 1.7544 E-04 1.7556 E-04 1.7570 E-04 1.7614 E-04 1.7814 E-04 NIKKEI 2.6380 E-04 2.6453 E-04 2.6516 E-04 2.6677 E-04 2.7286 E-04 NASDAQ 3.7776 E-04 3.7738 E-04 3.7735 E-04 3.7785 E-04 3.8230 E-04

D’apr`es la Figure 2.3, la mesure du risque issue d’une fonction iso´elastique subit une variation exponentielle en fonction de param`etre d’aversion au risque γ. Comme pour la fonction exponentielle, le classement des indices boursiers selon le crit`ere de risque est le mˆeme pour la fonction d’utilit´e iso´elastique `a la diff´erence que cette derni`ere offre une mesure du risque pour les investisseurs qui sont risquophobes et que leur attitude d’aversion au risque d´ecroˆıt avec la richesse.

Tableau 2-10 – Calcul de mesures de risque fond´ee sur une fonction d’utilit´e exponentielle n´egative pour diff´erentes valeurs de β

Indices boursiers β = 0.5 β = 2 β = 3 β = 5 β = 10

CAC 40 2.4572 E-04 2.4549 E-04 2.4544 E-04 2.4562 E-04 2.4763 E-04 DAX 2.2651 E-04 2.2610 E-04 2.2595 E-04 2.2596 E-04 2.2777 E-04 FTSE 100 1.7541 E-04 1.7541 E-04 1.7548 E-04 1.7576 E-04 1.7738 E-04 NIKKEI 2.6344 E-04 2.6390 E-04 2.6435 E-04 2.6561 E-04 2.7082 E-04 NASDAQ 3.7820 E-04 3.7740 E-04 3.7710 E-04 3.7705 E-04 3.8012 E-04

Figure 2.3 –La variation de la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e iso´elastique en fonction du param`etre γ

Il apparaˆıt n´ecessaire de remarquer que la prise en compte de l’attitude des inves- tisseurs vis-`a-vis du risque et de leurs pr´ef´erences lors de l’´evaluation des risques des indices boursiers via des mesures de risque fond´ees sur diff´erentes fonctions d’utilit´e a un impact significatif sur la quantification de ces risques.

1.4.3.3 Une mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e Hyperbo- lique

Tableau 2-11 – La variation de la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e HARA pour des valeurs particuli`eres de β and γ

Indices boursiers γ := +∞ and β = 1 γ > 0 and β = 0

CAC 40 2.4549 E-04 2.4567 E-04

DAX 2.2610 E-04 2.2611 E-04

FTSE 100 1.7541 E-04 1.7570 E-04

NIKKEI 2.6390 E-04 2.6516 E-04

NASDAQ 3.7740 E-04 3.7735 E-04

Le tableau 2-11 illustre les calculs effectu´es sur notre mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e HARA pour le cas23 o`u γ > 0 et β = 0 et le cas o`u γ = +∞ et β = 1 qui repr´esentent les cas pour lesquelles la fonction d’utilit´e HARA correspond respectivement `a une fonction d’utilit´e iso´elastique et exponentielle n´egative. Les r´esultats de ce tableau viennent corroborer nos r´esultats trouv´es dans le tableau 2-8, troisi`eme colonne (pour β = 1) pour les valeurs de la mesure du risque issue de la fonction d’utilit´e exponentielle n´egative et nos r´esultats trouv´es dans le tableau 2-9, quatri`eme colonne pour les valeurs de la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e iso´elastique.

21. La fonction d’utilit´e iso´elastique est d´efinie dans R+, pour cette raison, au lieu de calculer une mesure du risque pour les rendements on va la calculer pour St

St−1.

22. Les Calculs de mesures de risque fond´ee sur une fonction d’utilit´e exponentielle n´egative pour

St

St−1 sont d´etermin´es au tableau 2-9

23. α n’a aucun effet sur la valeur du risque dans le cas o`u la fonction d’utilit´e est iso´elastique et correspond `a β dans le cas o`u la fonction est exponentielle n´egative

Les Figures 2.4, 2.5 et 2.6 illustrent la variation de notre mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e HARA pour diff´erentes valeurs de γ, α et β toutes choses ´etant ´egales par ailleurs. D’apr`es la Figure 2.4 qui pr´esente la variation de notre me- sure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e HARA en fonction de α toutes choses ´etant ´egales par ailleurs, on remarque que cette mesure du risque ne subit aucune variation en fonction de α pour les diff´erentes indices boursier.

On note aussi que la variation de la mesure du risque en fonction de α n’est pas affect´ee par le choix des param`etres γ et β. Contrairement `a la variation positive de mesure du risque en fonction de α, l’aversion au risque absolue pour une fonction d’utilit´e HARA est d´ecroissante en fonction de α.

Il s’av`ere d’apr`es la Figure 2.5 illustrant la variation de la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e HARA en fonction de γ est quasiment nulle si on opte pour diff´erents choix du param`etre β et tout en gardant le param`etre α constant et on obtient le mˆeme r´esultat si on fixe β et en faisant varier α.

Quant `a l’aversion absolue au risque d’une fonction d’utilit´e HARA, elle pr´esente deux r´egimes, (i) elle est d´ecroissante si γ > 0, dans ce cas de figure la valeur des titres risqu´es d´etenues par le g´erant du fond a tendance `a augmenter et elle est (ii) croissante pour γ < 0, pr´esentant diff´erentes attitudes vis-`a-vis du risque d´ependant du param`etre γ.

La Figure 2.6 illustrant la variation de la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e HARA en fonction du param`etre β, indique que la mesure du risque reste constante en fonction de β et ce pour toutes les indices boursiers. Ce qui implique que ce param`etre β n’a aucun effet sur la quantification du risque en termes de la fonction d’utilit´e HARA. Ceci ´etant vrai quelque soit le choix des param`etres α et γ. Cependant l’aversion au risque absolue est croissante en fonction de β.

Figure 2.4 –La variation de la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e en fonction de α pour des diff´erentes valeurs de γ et β

Figure 2.5 –La variation de la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e en fonction de γ pour des diff´erentes valeurs de α et β

Figure 2.6 –La variation de la mesure du risque fond´ee sur la fonction d’utilit´e en fonction de β pour des diff´erentes valeurs de α et β