Le problème des mesures produits dans les espaces uniformes peut être formulé de plusieurs façons. Certaines difficultés sont à surmon-ter, dues au fait qu'en général le produit direct
f &> g : (x,y) •> f (x)g(y) de deux fonctions f E tt(X) et g E # ( Y ) n'est pas uniformément continu pour la structure uniforme produit sur X x Y. De plus même lorsque l'on a <W(X) K> # ( Y ) C U (XxY), rien ne garantit une "densité11 convenable de U(X) ® M(Y) dans ÎZ(XxY).
De sorte qu'il se pose à la fois un problème d'existence et un problème d'unicité. Nous adopterons donc la formulation suivante : étant donnés deux espaces uniformes (X,X) et (Y,y), et une structure uniforme v sur le produit XxY, supposée plus fine que la structure uniforme produit Xxy, sous quelles conditions existe-t-il, pour tout couple
(m^n^) E M(X) x M(Y) un élément unique m de M(XxY,v) tel que
lim m l f( k ) fl) g( k )] = m . C O n u C g )
k + « z
pour toutes f E <U(X) et g E <&(Y) ?
L'une des méthodes possibles pour étudier le problème ainsi formulé pourrait être le prolongement d'une forme linéaire compactologique en une forme linéaire compactologique, travail qui à notre connaissance n'a pas été fait jusqu'à maintenant èt qui est vraisemblablement difficile.
Une autre méthode consiste à utiliser la représentation de M(X) en
• v
termes de mesures de Radon sur pX ; c est cette méthode que nous choi-sissons en nous limitant d'ailleurs uniquement aux espaces uniformes de type (B).
On convient donc ici que, sauf mention expresse du contraire, tous les espaces sont de type (B). Autrement dit on suppose (X,X) et (Y,y) de type (B), ainsi que (XxY,v). On remarquera à ce sujet que la struc-ture uniforme produit Xxy peut ne pas être de type (B)•
Pour simplifier l'écriture on dit que le problème des mesures pro-duits admet une solution unique lorsque les conditions d'existence et d'unicité définies plus haut sont satisfaites. On note alors m - nij &> n^*
La notion de compact étant trop générale pour la question présente nous sommes amenés à introduire :
(4.7.1) DEFINITION. - On dit qu'un compact K de X est un compact-support s'il existe une mesure de Radon m sur K, de support K. On désigne
par JTe(X) la compactologie sur X engendrée par ces compacts supports.
s
Avant d'anoncer le théorème reliant le problème des mesures produits à cette notion de compact-support, remarquons que l'application identique id sur X*Y possède un unique prolongement uniformément continu
u : (XxY,v) X x Y , rendant commutatif le diagramme
Espaces uniformes et espaces de mesures
(XXY,V) — * (X*Y, Xxy)
(XXY.V) *• XXY - (XXY, Xxy) .
L'application IT n'est en général ni injective, ni surjective.
Ainsi quand nous écrirons l'égalité Jf_(XxY) * (XxY, v ) cela s s signifiera de façon précise que ïï est une bijection échangeant les familles X correspondantes, autrement dit que ïï est une bijection
s
compactologique entre les compactologies Jfe(Xx^, v ) et X (Xxy),
s s Avec ces précautions de langage on a alors :
(4.7.2) THEOREME. - Les assertions suivantes sont équivalentes : a) Le problème des mesures produits admet une solution unique.
b) X (Xxy) = X (X^Y, V ) .
s s Preuve :
b) -> a) : Fixons (nij ,m2) G M(X) x M(Y) et soit K « Supp(mj) C X et L » S u p p ^ ) C Y. Le compact KxL est donc, d'après b ) , un compact-support de (XxY,v) . La mesure produit, notée m^ ® m2 > des mesures de Radon m, sur K et nv, sur L, est un élément de M(K*L) et M(K*L) est inclus dans M(XxY, v) . Ainsi nij I© répond aux conditions. Montrons que la condition d'unicité est aussi satisfaite : soit m G M(XxY, v ) un autre élément répondant aux conditions ; alors D « Supp(m) est un
compact-support de XXY d'après b) • De plus m(f B 1) « nij (f ) et
m(l ® g) * m2( g ) pour f e U (X) et g E UÇi) ; et Supp mJ est la pro-jection de D sur X tandis que Supp m^ est la propro-jection de D sur Y.
Ainsi D est inclus dans K*L et m est élément de M(KXL)• Or dans M(K*L) , m et mj g) m^ coïncident d'après l'unicité des mesures produits dans
le cas des espaces compacts ; d'où m • m^ g m^ dans M(XxY,v).
a) => b) : Désignons par $ l'application (m^ ^m^) nij K> m^ de
M(X) x M(Y) dans M(XXY, v ) et commençons par étudier * sur l'espace XXY.
Déjà $|X><Y est injective : car si (u,v) t (u',v') dans X*Y9 alors par exemple urHx', donc il existe f E ^ ( X ) telle que f(u) « 0 et f(u') = 1, et alors ( u B v ) ( f B l ) = 0 tandis que (u' ® v')(f (8 1) = v'(l) -= 1.
De plus l'image $(XxY) contient (XxY, v ) : en effet soit w E XxY ; alors l'élément w', restriction de w à l'espace & ( X x Y , Xxy) est une forme modulaire compactologique, donc un élément de XxY • (XxY, Xxy) 9 noté
(u,v), et la condition d'unicité impose forcément l'égalité w = u ® v.
En identifiant uniformément XxY et $(XxY), on fait apparaître (XxY, v ) comme partie de XxY et sa structure uniforme v est plus fine que la structure uniforme produit Xxy. La topologie de (XxY, v ) est donc plus fine que celle induite par XxY, de sorte que, en particulier, les compacts de (XxY, v ) sont des compacts de XxY. Enfin soit D un compact de XxY, support d'une mesure m. On a alors m E M(XxY, Xxy) et la mesure nij - m| *ZZ(X) ® 1 appartient à M(X) et son support est la projection de D sur X ; de même m2 • m| 1 ®1i(Y) est un élément de M(Y) dont le sup-port est la projection de D sur Y. Le produit des deux compacts-supsup-ports est un compact-support et par suite D est un compact de (XxY, v ) , comme
Espaces uniformes et espaces de mesures
v _ v
étant compact dans Supp m^ x Supp m,,.
Remarque* - La condition d'unicité du théorème est ici fondamentale.
Fixons par exemple deux espaces complètement réguliers S et T, supposés pseudocompacts mais tels que le produit S*T ne soit pas pseudocompact.
Sur chacun des espaces S, T et S*T la structure uniforme B est celle définie par les fonctions continues et bornées ; et les espaces uni-formes (S,6), (T,B) et (SXT,B) sont de type (B). Or on sait (théorème de GLICKSBERG [l]) que BS x BT ï &(S*T). Soit (m, ,m2) G M(S) x M(T) ; alors ( m1 >m2) est un élément de M(BS) x M($T) , donc de M(BS x $t) .
OO ^ 0 0
Ainsi mj ® est élément du dual de C (S) &> C (T) , donc admet, par le
00
théorème de Hahn-Banach, un prolongement m dans le dual de C (SxT)•
Ainsi m est élément de M[$(SxT)l , donc le problème des mesures produits admet une solution (non unique) bien que l'on ait B(SxT) ^ BS x gx.
Dans le même genre d'idée on voit que les conditions équivalentes a) et b) du théorème impliquent l'égalité ensembliste (Xxy, v) * Xxy.
(4.7.3) THEOREME. - On suppose que le problème des mesures produits admet une solution unique. Alors le sous-espace vectoriel de M(Xxy, v) engendré par l'ensemble ® m2, quand (ny,m2) décrit M(X) x M(Y) est exactement le produit tensoriel algébrique M(X) B M(Y) ; et dans ce cas M(X) ® M(Y) est dense dans M(Xxy, v ) . Autrement dit M(XxY) est le complété de M(X) » M(Y) pour la
topo-logie localement convexe de ^ ( X x Y , ^-convergence sur ^ ( X X Y , v ) .
Preuve. - Il suffit de montrer que M(X) ® M(Y) est dense dans M(XxYf v > .
Fixons H E ^ ( X X Y , v ) , m G M(XXY,v) et e>0. Le compact K = Supp m est inclus dans (XXY, v ) , et c'est un compact-support. Soient K] et K2 les projections de K sur X et Y respectivement ; alors m est élément de MCKjXKp et Kj x K2 est un compact-support de XxY. Or
M ( K j X K2) « M ( K j ) ® M ( K2) d'après [ 5 ] , et ainsi il existe un élément
m0 dans le produit tensoriel algébrique M ( K j ) (S M ( K2) tel que
|(m-m0)(f)| < e pour toute f G HJKj X K2. En lisant mo dans l'espace M(XxY) on obtient | m - m0|K < e , ce qui exprime la densité de M(X) K> M(Y) dans M(XxY, v ) .
Une autre conséquence du problème des mesures produits, quand il a une solution unique, est relative au comportement des parties bornées de (X,X) et (Y,y). On obtient un résultat généralisant les propriétés
(4.7.2.b) des compacts-supports.
(4.7.4) THEOREME. - On suppose que le problème des mesures produits admet une solution unique. Alors le produit de deux bornés de (X,X) et B2 de (Y,y) est un borné de (Xxy, v ) . De plus v coïncide sur B jxB2 avec la structure uniforme produit Xxy.
Preuve. - On sait déjà que l'égalité ensembliste (XXY, v) * XXY a lieu, la topologie de v étant plus fine que la topologie produit. Donc tout fermé de &x$ est fermé dans (XXY, v ) . Désignons par Bj et B2 les complétés de Bj et B2 > ou encore les adhérences de Bj et B2 dans X et Y respectivement. Alors Bj et sont compacts, puisque les bornés sont
Espaces uniformes et espaces de mesures
précompacts dans les espaces de type (B), et B^ x B2 est un fermé de (XxY, v ) • Supposons maintenant Bj x B^ non borné dans (XxY, v ) , donc non précompact dans (XxY, v ) puisque v est de type (B) ; il existe alors une suite Z r - (x n» Yn)n o n précompacte dans Bj x % Posons
m - 2 2 ~n ex et m9 = 2 2 ~n ev
i n ^ Xn
on obtient ainsi des éléments de M(X) et M(Y) et K * Supp(nij ®m2 ^ V
est un compact de (XxY, v ) , contenant la suite (z^), ce qui est absurde. Donc Bj x B^ est bien borné dans (XxY, v ) . Mais de plus Bj x B2 est un fermé borné de (XxY, v ) , donc un compact, d'où la coïncidence des deux structures uniformes V et Xxy sur Bj x B2.
(4.7.5) COROLLAIRE. - On suppose que X et Y sont respectivement
dis-tingués dans X et Y. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) Le problème des mesures produits admet une solution unique ; b) Pour deux bornés Bj de (X,X) et B2 de (Y,y), on a
v|BJ X B2 « (X|Bj) X ( y | B2) .
Preuve. - On a toujours a) «=o b) d'après ce qu'on a vu. Montrons b) —> a) : Pour (m,,!^) G M(X) x M(Y), il existe un borné B] de (X,X) et un borné B2 de (Y,y) tels que Supp C Bj et Supp m2 C B2 (ceci d'après l'hypothèse de distinction). Par suite m^ ® m2 appartient à M(Bj) O M ( B2) et d'après b) on a M(Bj) €> M ( §2) - M(BjXB2) C M(XxY, v ) , ce qui suffit.
Four le cas où X et Y sont eux-mêmes bornés, on a :
(4.7.6) PROPOSITION. - Soient (X,X) et (Y,y) deux espaces uniformes pré-compacts et v une structure uniforme précompacte sur le produit XxY. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) v • Xxy ;
i>>) XxY = (XxY, v) topologiquement ou uniformément ; o) 1KX) ® <U(Y) est uniformément dense dans *Z£(XxY, v ) .
Dans une autre voie on a
(4.7.7) PROPOSITION. - Soient (X,X) et (Y,y) deux espaces uniformes faibles. Alors le problème des mesures produits pour les struc-tures uniformes XO J yc et (Xxy)0 admet une solution unique. En particulier on a
M ( X, X0) ® M ( Y, yo) C M ( X X Y , ( X x y )o)
Preuve. - On sait que ( X, X0) , ( Y, y0) et (XxY, (Xxy)^) sont des espaces de type (B) . De plus on a les égalités topologiques XQX = ôX, ycY « 6Y et (Xxy)o(XxY)"= 6(XxY) et l'égalité uniforme 6(XxY) - ôX x <5Y d'après
[14]. Alors Jf [XxY, (Xxy)J = X (X^X x y^Y) et on peut appliquer s s
(4.7.3).
(4.7.8) COROLLAIRE. - Soient (X,X) et (Y,y) deux espaces uniformes fai-bles de type (A). On munit XxY de la structure uniforme v = a(Xxy) de type (A) associée à Xxy. Alors le problème des mesures produits pour X0, y0 ,vc admet une solution unique. En particulier on a
M (X) ® M (Y) C M (XxY)
H r r
Espaces uniformes et espaces de mesures
Applications aux espaces topologiques. - Rappelons que pour un espace topologique complètement régulier T, on désigne par U la structure uniforme sur T définie par l'algèbre # ( T ) et par 6 la structure uni-forme universelle de T, c'est-à-dire la plus fine structure uniuni-forme compatible avec sa topologie. Le repiété UT est le complété de (T,u) , tandis que le c-replété 6T est le complété de (T,0).
Comme conséquence de (4.7.2) et (4.7.3) on a
(4.7.9) PROPOSITION. - Les propriétés suivantes sont équivalentes ; a) X (0S x 6T) « JT[9(SXT)] ;
s s
b) Le problème desf mesures produits relativement aux espaces fins (S,6), (T,0) et (SXT,6) admet une solution unique. En particulier on a :
M(S,6) K> M(T,0) C M(SxT,6)
Et en appliquant les résultats précédents (4.7.7) sachant que
/ S
Mp( S ) « M(S. u0) et US « (eQ)S « ucS , on obtient :
(4.7.10) PROPOSITION. - Les propriétés suivantes sont équivalentes ; a) XCVS x uT) - JT [U(SXT)];
s s
b) Le problème des mesures produits relativement aux replètes vSj uT et \>(SxT) admet une solution unique. En particulier on a :
M (S) B M (T) C M (SXT)
K H K
Les formules précédentes sont évidemment liées aux deux problèmes
de commutation (où les égalités sont topologiques) u(SxT) = uS x uT et 0(SxT) • O S x 6T. Rappelons que ces deux problèmes sont largement étu-diés dans la littérature, encore qu'ils ne soient pas complètement ré-solus. Il n'est pas dans notre propos de dresser ici une bibliographie exhaustive concernant ces questions. Renvoyons simplement à [5], [31] , [36], [37]. Quoi qu'il en soit la proposition (4.7.10) permet d'obte-nir un énoncé simple et qui semble nouveau :
(4.7.11) PROPOSITION. - Si ^(SxT) est l'algèbre sur S X T engendrée par
# ( S ) ® # ( T ) , alors U(SXT) « u S x uT.
Preuve. - L'espace US x \jT est le complété de SxT pour la structure uniforme produit Ug x v>T. Mais c'est aussi le ô-complété de
(SxT, ug x D ) 9 donc d'après [14] , le produit des ô-complétés. Mais alors US x U T est le complété (égalité topologique) de l'espace uniforme de type (A) associé à (SxT, ug x \y ) 9 qui est exactement (SxT, u) d'après l'hypothèse faite sur #(SxT). Ainsi u(SxT) « US x uT.
Espaces uniformes et espaces de mesures
INDEX
NOTATIONS.
Les notations suivantes sont précisées dans l'introduction, py ; ey ; 9y ; vy ; By ; 6, xy, y„ et pX.
ft(X,y) ; &°°(X,y) ; # ( X ) ; ^"(X.y) ; Z(X,y) ; Coz(X,y).
jf(X,y) \jf(X,y) ; M(X,y) ; M ^ X . y ) ; Mod(X) ; Modô (X) ; Mo( X ) ; MT( X ) ; Mt( X ) ; Rad(pX) ; Mv( X ) .
^ ; df ; Vjf 5 yH ; °A ( l > a g e 7)'y'Y (p age 8^
oo oo
ay ; a y ; aX ; a X (page 4 0 ) , my ; mgy (page 44)
NOTIONS. Pa g e s
Algèbre sur X 42 Algèbre bornée sur X 37
Espace de type (A) 42 Espace de type (Ab) 39
B-espace. 132 Borné de X, espace (B.P.) 55
Compatible, «-compatible 72 Espace de type (C) 5g Dénombrablement localement
- Uniformément continue (DLUC) 37 - Uniformément équicontinue (DLUE) jq^
Discrète - partie discrète de (X,y) 65 - partie discrète de î/(X,y) 132
- relation de domination 1^
Espace métriquement fin (M-fin, M -fin)
0 0 8 73
Espaces uniformes et espaces de mesures
B I B L I O G R A P H I E
OUVRAGES GENERAUX
[ B1 ] N. BOURBAKI, Topologie générale Ch. 1-4, Hermann, Paris, 1971.
[ B2 ] N. BOURBAKI, Topologie générale Ch. 5-10, Hermann, Paris, 1974.
[I ] J.R. ISBELL, Uniform spaces, Math. Surveys n° 12, A.M.S., 1964.
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T A B L E D E S M A T I E R E S
INTRODUCTION 1 CHAPITRE 1 : LA PSEUDO-DUALITE (X,A) 9
1.O Notions de base et terminologie 11
1l La pseudo-dualité (X,A) 14
1.2 L'ensemble a(X) 16
CHAPITRE 2 : CERTAINES CLASSES D'ESPACES UNIFORMES 27 2.1 Les espaces uniformes réguliers . • •• 32
2.2 Les espaces uniformes de type (Ab) 34 2.3 Les espaces uniformes de type (A).. 42 2.4 Les espaces uniformes de type (A) et de type (Ab) associés 46
2.5 Les espaces uniformes métriquement fins (M-fins) 49
2.6 Les espaces uniformes de type (C) 58 2.7 μ-plongement et espaces uniformes (UP) 62
2.8 Les espaces uniformes (BP) 65 2.9 Stabilité des espaces de type (A) 69
2.10 Application au L-plongement 70