LES ESPACES UNIFORMES REGULIERS

Soit f une fonction réelle définie sur un ensemble X ; on appelle tronquée de f par l'entier n > 1, la fonction :

f^{( n )}( x ) = Max(-n, Min(f(x),n)).

(2.1.1) PROPOSITION. - Soit A un treillis vectoriel de fonctions sur un ensemble X⁴ stable par limites uniformes ¿ et contenant les cons-tantes. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) si f est une fonction appartenant à A, strictement positive^

alors j appartient à A j

b) une fonction f appartient à A si et seulement si ses tronquées f ^n\ n > \j appartiennent à A.

Preuve :

a) •*> b ) . La condition nécessaire de b) est toujours vérifiée car A est un treillis contenant les constantes. Il suffit de montrer la condition suffisante pour les fonctions positives car f = f⁺-f ; de plus f appar-tient à A si et seulement si f+ et f y appartiennent, et (f * ( f⁺) (ⁿ) , si f est positive la fonction f ^ + 1 appartient à A°° • <#(X O

(prop. 1.2.11) et elle est minorée par 1 ; son inverse h = „ ^arjMt>t

n f ^ +

1

tient donc à A . La suite (h ) converge uniformément vers —¿r- ^{a u}i

n n

>

1 f+1 ^H

appartient à A ; comme - ~ - est strictement positive, la condition a) montre que f+1, et donc f, appartient à A.

b) a ) . Soit f une fonction strictement positive appartenant à A ; si m et n sont deux entiers non nuls, la fonction Sup(Inf (f , n ) , ~ ) appartient

oo , oo

à A et son inverse appartient également à A (1.2.11). La suite (h ) converge uniformément sur X vers la fonction h * Inf (~,m)

nm ⁿ > i m f

oo i W 1

qui appartient donc à A . Or h^ffi = (•£•) , donc ^ appartient à A.

Remarque. - Si dans la proposition précédente on remplace la condition de

00

treillis par la condition plus faible "A est un anneau", on a seulement : a) implique la condition suffisante de b ) .

(2.1.2) THEOREME. » Soit (X,y) un espace uniforme ; les propriétés sui-vantes sont équivalentes :

a) toute suite régulière de (X,y) est uniformément régulière (cf.

1.2.2) ;

b) si f appartient à <2f(X,y) et est strictement positive, la fonc-tion j est uniformément continue ;

c) une fonction f est uniformément continue si et seulement si ses tronquées f ^ le sont.

On vient de montrer l'équivalence de b) et c) car #(X,y) possède toutes les propriétés requises.

a) —> c) : là encore il suffit de montrer la condition suffisante de c ) . On peut supposer f positive et de borne inférieure nulle. Pour tout réel Ot>0, la suite = {x E X/f (x) < na} est régulière ; en effet, si m est

un entier supérieur à (n+l)a, la fonction :

gⁿ( x ) = i [Min { M a x ( f^{( m )}( x ) , ncj>, (n+l)a} - m ] appartient à <2f(X,y), vaut 0 sur coⁿ et 1 sur X \ ^^{n + 1}- La suite ( o^)

Espaces uniformes et espaces de mesures

est donc uniformément régulière et f appartient à <#(X,y) d^f après (1.2.Q.

c) a) : soit f la fonction de pas 1 associée, par le lemme (1.2.4), à une suite régulière ( u ) . D e même, soit g la fonction de pas 1

n n > 0

associée à la suite (a) .) . L a condition b) du lemme Û.2.4)montre n+1 ⁿ > o

que les tronquées f^(m) et g*^m* appartiennent à <^(X,y), donc f et g appartiennent à ^ ( X, y ) . L'écart d = d^f V d^g appartient à y et on a d(u . X \ (jl> J > 1, donc (a*) . ^A est uniformément régulière (1.2.5).

n n+1 ⁿ n ^ v

(2.1.3) DEFINITION. - On dit qu'un espace uniforme (X,y) est régulier s'il vérifie l'une des trois conditions équivalentes du théorème (2.1.2).

Il est clair que les espaces uniformes ne sont pas en général ré-guliers. Les propriétés de (2.1.2) seront surtout intéressantes dans 1•étu-de 1•étu-des espaces 1•étu-de type (A). Remarquons simplement que si l'espace topo-logique associé est connexe, la condition b) de (2.1 .2) implique que toute fonction f uniformément continue telle que Z(f) • 0 a son inverse dans

* < x^fy ) .

2.2 LES ESPACES UNIFORMES DE TYPE (Ab).

Rappelons que deux parties S et T d'un espace uniforme ( X , y ) sont dites normalement séparées s'il existe une fonction f appartenant à

# ( X , y ) telle que f(S) - {1} et f(T) « {0} ; on peut d'ailleurs supposer 0 < f < 1. L'ensemble vide est normalement séparé de toute partie S C I .

(2.2.1) LEMME. - Deux parties S et T de (X,y) sont normalement séparées si et seulement si le recouvrement & « { x \ S,X \ T} est unifàim.

Si S et T sont normalement séparées par f E <^(X,p)(0 < f < 1 ) , le recouvrement { B(d-,x,«-U} est uniforme et c'est un raffinement de 9 .

1 1 x E X

Réciproquement si 9 est un recouvrement uniforme, il existe un écart d E P tel que {B(d,x,l)} soit un raffinement de 9* Alors la fonction

x E X

f définie par f(x) • d(x,S) A 1 appartient à <^(X,p) et sépare normalement S et T.

(2.2.2)

PROPOSITION. - Les recouvrements de X de la forme 9

= (x

\ S,X \ T}

où S et T sont deux parties normalement séparées définissent une sous-base n de la structure uniforme pp.

Soit 9 = (a). ) un recouvrement uniforme de p. Il existe un

k 1 < k < n

écart d appartenant à pp tel que le recouvrement {B(d,x,l)} ^Y soit un x E

Deux parties S et T sont normalement séparées par une fonction f appartenant à ^f(X,p) si et seulement si elles sont contenues dans deux noyaux disjoints, eux-mêmes normalement séparés. Ainsi les recouvrements appartenant à r| extraits de Coz(X,p) forment eux aussi une sous-base de py. Mais un recouvrement 9 = {Wj ,1^} extrait de Coz(X,p) n'appartient pas

nécessairement à p p . Autrement dit l'espace ^(X,p) ne sépare pas néces-sairement les éléments disjoints de Z(X,p). Un exemple est fourni dans R

n 1 ⁿ 1

par S « ( 2 } et T = { 2 — — } ; les ensembles S et T

Y k=l^{2 k n}

>

^{1 k=l2k +1 n}

>

¹

Espaces uniformes et espaces de mesures

sont deux fermés, donc deux noyaux, disjoints, qui ne sont pas normalenent séparés.

On dit que ^(X,y) sépare Z(X,y) si l'on peut séparer normalement deux noyaux disjoints quelconques. Cette propriété concerne

essentiel-oo

lement l'algèbre °U (X,y), car comme on vient de le voir (2.2.2), c'est une propriété de py.

(2.2.3) LEMME. - Soit (X,y) un espace uniforme tel que ^(X,y) sépare Z(X,y). Soit y = (V ) ^ un recouvrement dénombrable de X.

" n ^ l * d'ordre fini ou *-finiè extrait de Coz(X,y). Il existe un

recou-vrement (Z ) . , extrait de Z(X,y) et un recourecou-vrement (W )

n n > 1 n 'ⁿ > i

extrait de Coz(X,y) tels que c C pour tout n > 1.

On fait une démonstration par récurrence classique : soient

B - X \ V et A * X \ ( U V ) ; ce sont deux noyaux disjoints et il et on construit comme précédemment et Z^ par une fonction f qui sépare normalement A et B . Si l'ensemble {V } est fini, il est évident»

n n n n ^ 1 •*-^»W14U < § 1 N

(^{w n}) ^ j^{e s t} un recouvrement de X ; sinon, on peut toujours supposer que les sont deux à deux distincts. Supposons alors que x E X n'appartienne pas à U W . Pour tout n > 1 on a x E U W, U U V , donc x € U V

n > 1 ⁿ k < n ^R k>n ^k k>u ^k* et il existe un k^{f l} > n tel que x E ; ainsi il existe une suite extraite

(V. ) telle que x G Pi V, , contredisant le fait que (V )

kn n > 1 n > 1 n n ⁿ > l

est d'ordre fini (resp. *-fini).

(2.2.4) DEFINITION. - Une fonction f sur un espace uniforme (X,y) est dite dénombrablement localement uniformément continue (en abrégé, DLUC) s'il existe un recouvrement dênorribrable (Vⁿ) de X,

n ^ *

extrait de Coz(X,yi) tel que f j v ^ appartienne à °U (^{v n}> PI V ^ p o u r tout n > 1.

(2.2.5) DEFINITION. - Soit A un ensemble de fonctions bornées sur un ensemble X. On dit que A est une algèbre bornée sur X si c'est une R-algèbre telle que :

a) A contient les constantes ;

b) A est stable par limites uniformes ;

c) quelles que soient les fonctions f et g appartenant à k, telles que Z(g) = 0 et — soit bornée, alors — appartient à A.

Si nous utilisons cette définition pour un espace uniforme (X,y)

oo

et son algèbre ^ (X,y) de fonctions bornées uniformément continues, nous obtenons un premier théorème fondamental :

(2.2.6) THEOREME. - Soit (X,y) un espace uniforme ; les assertions sui-vantes sont équivalentes :

a) ^ ( X , y ) sépare Z(X,y) ;

b) tout recouvrement fini de X extrait de Coz(X,y) est un recouvre-ment de p y ;

Espaces uniformes et espaces d e mesures

c) une fonction bornée f sur X appartient à ^ ( X j p ) si et seulenmnt si, pour tout ouvert fi de R, l1 image réciproque f"¹ (fi) appartient à C o z( X , y ) ;

d) pour tout écart d E y on a # ° ° ( X , yd) C < ^ ° ° ( x , y ) ;

e) les fonctions DLUC bornées sur ( X , y ) sont uniformément continues ^ j V^ ° ° ( X , y ) est stable par composition avec lfensemble $F des

fonctions bornées de Q (cf. 1.2.2) ;

00

g) °U ( X , y ) est une algèbre bornée sur X,

Preuve :

a) —> b) : si y « (V, ) est un recouvrement de X extrait de

K 1 < k < n

C o z( X , y ) , il existe, d'après (2.2.3), un recouvrement (Z. ) ex-k 1 < ex-k < n trait de Z( X , y ) tel que Z^{f c} C Vf c. Le recouvrement ^ • { Vf c,X \ Z^{f c}} appartient à p y puisque Z^ et X \ sont normalement séparés, et

/\ est un raffinement de y.

b) —> c) : il suffit de montrer la condition suffisante de c) . Pour tout recouvrement uniforme "V de R, il existe un recouvrement uniforme ouvert

HT de R, fini sur chaque partie bornée de R ; si f est une fonction bornée

vérifiant la condition de c) , f f¹ (W)>^w ^ ^ , e s t un recouvrement fini de X extrait de C o z(X,y) ; il appartient donc à p y et f E ^ ° ° ( X , y ) .

c) d) : dans un espace écartisable ( X , y^d), tout ouvert appartient il C o z( X , y^d) . Soit alors d un écart appartenant à y et f E ^^(X^y ) ; pour

tout ouvert fi de R on a f'(fi) E C o z( X , y^d) C C o z( X , y ) , et f appartient à

# ° ° ( X , y ) d'après c) .

d) —> e) : soit f une fonction DLUC bornée sur ( X , y ) , relativement au

recouvrement y* = (V ) ^ ; s o i t ( f ) une suite dans <#(X,y) telle est bornée ; posons = [f,g] et soit Q un ouvert relativement compact

de Œt tel que h(X) C fi ; l'image réciproque de fi par l'application continue x y * 2

h - sépare normalement Z(f) et Z(g) et appartient à (X,y) 1*1 ⁺ I s l

d'après la condition c) des algèbres bornées.

(2.2.7) DEFINITION. - On appelle espace uniforme de type (Ab) tout es-pace uniforme (X,y) vérifiant les conditions équivalentes du

théorème (2.2.6).

Espaces uniformes et espaces de mesures

En appliquant le théorème (2. 2.6) à une pseudo-dualité ( X , A ) où A est une algèbre bornée sur X on retrouve certains résultats d'approximation et particulièrement :

(2.2.8) PROPOSITION (MROWKA, [32], 2.2). - Soit A un ensemble de fonc-tions bornées sur X, stable par limites uniformes, contenant les constantes. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) A est une algèbre bornée sur X ;

00

b) A est stable par composition avec -2 ;

c) A est stable par composition avec les fonctions bornées conti-2

nues sur les ouverts de (R .

L'une quelconque des trois conditions a ) , b) ou c) implique que

( X , A ) est une pseudo-dualité uniforme et on peut appliquer (2.2.6) à ( X„ 0 ) %

(2.2.9) PROPOSITION (MROWKA, [32], 2.9). - Soit A une algèbre bornée sur X. Alors pour toute fonction bornée f sur X les assertions

sui-vantes sont équivalentes ; a) f G A ;

b) si a< 3 sont deux nombres réels, il existe une fonction g E A telle que :

g d ' d - ^ A J ) ) n g d¹ [ 3 , + ~ [ ) ) - s(f^l(]->&)))

n g t f ' a B . H ) )

» f j

c) pour tout nombre réel a, on a T ' O - » ^ ] ) G Z ( A ) et

f'ia^I) G Z ( A ) .

Preuve :

a) —> b) : L'espace uniforme (^x>⁰^)^{e s t} de type (Ab) et par conséquent A » ^(X,0^) sépare normalement Z ( A ) , ce qui donne en particulier b) •

b) "*> c) : En tenant compte du fait que Z(A) est stable par intersec-tion dénombrable, on voit que b) implique f ^(l-^{0 0}, ot]) £ Z(A) et

f^dB,*»!) e z(A).

c) *o a) : La condition c) implique f ' (I) E Coz(A) pour tout inter-valle ouvert I de R et par suite f ' ((A)) E Coz(A) pour tout ouvert de R ; alors f appartient à A = ^ ( X , a^A) .

Remarque. - Dans l'article [32] MROWKA n'exige pas que A contienne les constantes.

(2.2.10) PROPOSITION. - Soit T un espace de Lindelôf (complètement

régu-oo

lier) ; le seul élément A = A de a(T) pour lequel est compatible avec la topologie de T et tel que A sépare Z(T,o^A) est <#°°(T).

Preuve. - Soit W un conoyau de fonction continue sur T ; W est un et par conséquent, muni de la topologie induite, est un espace de Lindelof ;

l'espace W est alors réunion dénombrable de conoyaux appartenant à

Coz(A), et comme A est une algèbre bornée sur T, toute fonction continue et bornée f appartient à A (2,2.6.c).

(2.2.11) COROLLAIRE. - Soit (M,d) un espace métrique separable ; i l

exis-oo

te un seul élément k de a(M) tel que A « A , et tel que soit

Espaces uniformes et espaces de mesures

compatible avec la topologie de M et A sépare normalement les fer-més de M ; c'est ^<ë⁷°°(M).

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