Fig. 2.9 Enchaînement des procédures internesà l'approche EPI. La présence de deux conditions nales conduità deux types de solutions.
l'approcheEPIdeparletransfertd'informationentreI etJ,explicitédansl'équation2.30. Dans cette section, nous avons introduit le principe EPI, et relevé les tentatives de jus-ti cations de son utilisation dans l'observation des processus physiques. Dans la section suivante, nous allons appliquer ce principe au traitement de l'image et dériver le ou les lagrangiens décrivant lescénario d'acquisition d'image.
2.5 L'approche EPI et le traitement d'images bas ni-veau
2.5.1 Un modèle pourl'image et un scénariopour l'approche EPI Cette section représente le coeur de notre travail car elle précise le scénario adopté pour une utilisation correcte de l'approche EPI dans sa descrition du TIBN. L'objectif est, dansunpremiertemps,dedéterminerleprocessusd'évolutionàpartird'uneimagef conduisant au ltragelinéaire optimalpuis, dans un second temps de dériverla diusion anisotrope, i.e. le ltrage anisotrope,à partirde contraintes générales.
Dé nissons tout d'abord l'objectif principalde tout système visuel:
L'objectif principal de tout système physique visuel, y compris l'oeil humain, est d'optimiser l'extraction d'un signal d'information contenu dans une représentation du monde perturbée par du bruit. Soit une structure multi-échelles u(x;t) dé nie comme une fonction bornée réelle, générée à partir d'une image trois dimensions f(x;y;z), perturbée par un bruit blanc additifnon corrélén. Lebruit traduitles uctuations autourla vraievaleur pour chaque variableconsidérée.
Ce scénariose formalise de la façonsuivante:
u(x;t) =(f(x)+n) (2.33) A ce point, ilest importantde préciserles notionsd'incertitude et d'imprécision[13] :
l'imprécisionconcernelecontenudel'informationetportedoncsur undéfaut quan-titatifde connaissancesur une mesure;
l'incertitude est relative àla vérité d'une informationcaractérisant sa conformitéà la réalité.
Sil'on considère un système visuel, laposition spatialedes pixels de l'image aura un certain degré d'imprécision,etla valeur de luminance un degré d'incertitude.
On considérera lavaleur de laluminancedu pixelcommeprécise. Chaquepixelpeut être vu comme un élément élémentaire de masse unité. Le processus d'acquisition provoque certaines uctuations quant aux données acquises. Une fois l'image obtenue, on peut considérer les uctuationsassociées aux erreurs suivantes commeintrinsèquesà celle-ci:
localisationimprécises en (x;y;z)du phénomènemesuré; incertitude sur les valeurs de luminance u(x;y;z;t);
incertitude en n sur le processus d'évolutionparamétré par t .
A partir de l'approche EPI, nous allons dériver l'ouverture optimale de la structure multi-échelles associée en se référant auproblème physique dans sa globalité.
La première étape de l'approche EPI est de déterminer les paramètres à mesurer. Nous ne connaissons pasavec précisionlapositionspatiale,niavec certitude laluminanceetle processus d'évolution associé.Notre approche sedé nitàpartird'un vecteurà quatre di-mensions x=(ix;ct),représentantlapositionspatialeetlavaleur deluminance aucours du processus d'évolution. La valeur idéale u
opt
(x;y;z;t) subit des uctuations dont les amplitudesdeprobabilitésontreprésentées parlesq
n (x
n
cest une constante telle quect représente l'extensionspatialede lavaleur temporelle dé- niepar t.ccaractériselarapidité d'évolutiond'évolutiondel'imagesuivantleparamètre d'échelle t. On note r=(x;y;z).
Lechoixdecesparamètres,nécessitequelquesexplications.Eneet,lefaitdemélanger coordonnées complexes et imaginaires aboutit à la possibilité d'obtenir une information I positive ou négative [47]. Si l'on choisit un vecteur de coordonnées spatiales réel et la coordonnée temporelle imaginaire, I est négative. C'est dans l'objectif d'obtenir une informationpositiveque nous avons fait lechoixprécédent.
Les inconnues du problème sont donc les amplitudes de probabilités réelles q n
(x n
), n = 1;:::;N,i.e.les uctuationsdesvaleursdesvariablesassociéesauxcoordonnées.Pourune manipulationplus aiséedeséquations,nousutiliseronslesfonctionscomplexes
n
dé nies par l'équation (2.21).Cet arti ce de calcul ne changeen rien lesrésultatsà suivre, mais, les équationsobtenues permettent d'associer à chaque pixel une fonction d'onde. Sil'on utilise son expression complexe, l'informationde Fisherest donnée par :
I =4Nc N 2 X i=1 Z Z drdt (r n ) :r n + 1 c 2 @ n @t n @t : (2.34)
Commeprécisé dans l'approche générale dé niedans lasection 2.4.3,la validationde l'approche EPI dépend de la détermination de l'information de Fisher bornée J = J[ ] représentant l'ensemble des contraintes. Frieden dé nit J directement par un principe d'invariance.Un résultat particulièrement intéressant de ces travauxest le suivant [47] :
... functional J be simply the re-expression of I in the conjugate space... Hence,aunitarytransformseemstobethehallmarkofanaccurateEPIoutput. Nous travaillons dans le domaine spatial, l'espace conjugué "naturel" est le domaine fréquentiel.Leprinciped'invariancepar transforméedeFourierest doncpleinement justi- é. L'hypothèsede Louis de Brogliepermeten eet d'associer une ondeà touteparticule matérielle,mêmevirtuelle,commecellequenousvenonsde dé nir.Lafréquenceetla lon-gueur d'onde de cette onde sont données par une généralisation des relations d'Einstein pour lephoton:
E =~t =~r
(2.35) oùreprésentel'impulsionassociéeàunpixeletE sonénergie.Ainsi,paranalogieavecles coordonnées spatio-temporelles, nous dé nissons les coordonnées fréquentielles associées [148] :
(ir;ct) T:F:
$ (i=~;E=~): (2.36)
La constante ~ est utile pour conserver l'homogénéité des unités. Cette analogie permet de dériver naturellement les calculs de l'approche EPI identiques à ceux rencontrés en mécanique quantique. Ainsi,latransformée de Fourier de
n est : n (r;t)= 1 (2~) 2 Z Z ddE ^ n
avec ^ n la transformée de Fourier de n
. Notons que cette équation est bien unitaire: Z Z drdt m n = Z Z ddE ^ m ^ n ;8(m;n): (2.38) Dans lecas oùm =n, le théorème de Parseval donne :
Z Z drdtj n j 2 = Z Z ddEj ^ n j 2 ;n =1;2: (2.39) Rappelonsque I représentelaquantité d'informationdes données spatio-temporelles tra-duisantle processus d'évolution.
J représente toutes les contraintes associées à la mesure et est déterminée par le repré-sentation fréquentielle de I. Ce ux d'information entre I et J, évoqué section 2.4, se traduit par un transfertd'information entre laprécisionsur la localisationdu vecteur lu-minanceetlacertitudequantàsavaleur,i.e.ladualitéincertitude/imprécisionauniveau pixel. Autrement dit, le ltrage eectué par un opérateur appliqué à l'image introduit une imprécision sur laposition des pixels tout en rendant plus certaine la valeur de leur luminance (cf. schéma 2.10).
Après avoir déterminé I et J, nous sommes à même de dériver les termes de contrainte