Dist(.)
Fig.4.12Illustrationdeladistanceentre lecontourde l'objetetdes pointsd'attraction obtenus après un algorithme de détection.
réelle,alorsquelesecondmembreobligelaprojectiondel'objetàgarderuneformeproche de celle du stent initialnon déformé u
0 .
Les variables et correspondent aux poids relatifs que l'on souhaite appliquer aux termes précédemmentmentionnés.
L'EDP obtenue est alors lasuivante : i~ P @p i (u) @t = ~ 2 P 2 r 2 p i (u)+ P :p i (u) (4.39)
Nousdiscuterons de son implantation etdes paramètres en section.4.3.4. Mise en oeuvre de l'EDP de déformation de l'objet à reconstruire
L'objet 3D doit être déformé de telle manière que sa projection corresponde à la projection obtenue réellement. Pour la même raison queprécédemment, nous choisissons ici un potentiel A
u
nul. Concernant le potentiel u
, nous proposons une méthode a n de rétropropager l'erreur (cf. Figure 4.11). Le potentielobtenu peut s'écrire de la même manière queprécédemment :
i~ P @u @t = ~ 2 P 2 r 2 u+ u :u (4.40) avec u =2(u (u 0 ÆT ~ d )) (4.41) Lepotentielu 0 ÆT ~ d
correspondaumodèleinitialdéforméparlechampde déformation 2D rétropropagé(cf. Figure4.13).
Les paramètres et pondèrent respectivement le potentiel de ressemblance avec le stent initialdans l'équationEq.4.40 et lepotentielrétropropagé.
4.3.4 Résultats
Dans une première approche, nous choisissonsde prendre les paramètres ~ constants dans les diérentes EDP.
Encequiconcernelesschémasnumériques,nousn'avonsfait,pourl'instant,aucuneétude théorique quant àla convergence des équations 4.34.
En n, la discrétisationdes EDP setrouve en Annexe B.
Nous présentons dans ce paragraphe les résultats des diérentes étapes de la recons-truction, ainsi que les modèles de stents déformés et à reconstruire. Nous montrons les résultats d'un algorithme de simulation de projection rayons X que nous avons déve-loppé.En n, nous présentons et commentons lesimages correspondant auxpotentielsde déformationen deux dimensions.
Les modèles de stents adoptés et leur projection RX
Nousavons choisi de modéliserlestent àreconstruirecommeuncylindre maillétordu suivant son axe principal. Le stent servant à l'initialisation de l'étape de reconstruction
u0
u
d
r
est un cylindredroit de dimension diérente du précédent d'un facteur homothétique1:3 (cf. Figure4.14).
Fig. 4.14 A gauche, modélisation du stent déformé à reconstruire, à droite, celle du stent initialservant à lareconstruction.
L'étape de simulation de projection rayons X utilise un algorithme d'inversion de matrice.Cela permet de dé nirlesvoxels ayantparticipéàlamesure du pixelde l'image rayons X. Cette étape a fait l'objet du développement d'un logiciel au sein du L3i, dont certaines captures d'écran sont présentées en Annexe D.
La carte de déformation deux dimensions
Cette carte a été obtenue en utilisant les algorithmes développés section 3.4. Le ré-sultat nal correspond à une image vectorielle dont les composantes sont les potentiels d'attraction projetés sur lesaxes d'abscisse etd'ordonnée de l'image. L'interprétationde cette carte n'est pas aisée. Cependant,on peut remarquer que lespotentielsde déforma-tion obtenusentre lesstentsprésentés Figure4.14,indiquentune plusforteprésencedans lesrégionsextrêmes.Cela s'expliquepar lesdéformations plusgrandesauxextrémitésdu stents qu'en son centre oùelles sont in mes.
De plus, le fait d'avoir introduit un rapport d'homothétie entre les deux stents indique des potentielsnon uniquement présents sur un axe horizontal.La Figure 4.15 représente en niveau de grisinversé la normede vecteur de déplacementcalculée.
Dansun but de validationnous avons testé notre algorithmeentre deux images iden-tiques, le résultatobtenu montre une imagevierge de tous vecteurs de déplacement. En n nous avons retropropagécette déformationdans l'espace en trois dimensions grâce
Fig. 4.16 A gauche, modèle de stent initiale, au centre stent à reconstruire, à droite résultat de la reconstruction après 3itérations.
aumêmetyped'algorithmequeceluiutilisépourlaprojection.Lesdéformationsassociées à cette retropropagationsont représentées Figure 4.16.
Lerésultat présenté sur cette gure est un résultattrès préliminaires. Il sontobtenus aprèstrois itérationsetenutilisant18projections surune angulationtotalede180 degré. On observe une déformation correcte sur la droite du stent, alors que sur la gauche le processus diverge, et la résolution trop grossièrene permet pas de voir des déformations éventuelles concernant lamauvaise déformationlocaledu stent.
Déformation 3D, itérations et convergence
L'étudedelaconvergence etdesschémasnumériquesnefaisantpaspartiedesobjectifs de cettethèse,nous n'avons volontairementpas exploréces voies de recherches, maiselles constituent des perspectives particulièrement intéressantes.
4.4 Conclusion et contributions
Cette section a fait l'objet de nombreux programmes développés en C sous environ-nement VTK (Visualisation Tool Kit) au L3i pour le compte de General Electric. Une synthèse des algorithmes existant se trouveFigure 4.17.
Dans ce chapitre, nous avons particulièrement mis en évidence un algorithme de re-constructiond'objet par unsystème d'EDPcouplée. Nousavons présentéun état del'art des méthodes de reconstruction tomographiqueen mettanten avantcelle faisant interve-nir des méthodes variationnelles.
Nous avons montré que ces méthodes pouvaient s'écrire sous la forme variationnelle gé-nérale dé nie dans leChapitre 2.
Cetteécriture nouspermetde tirerpleinementpartide l'acquisitiontomographique,ainsi que d'une contrainte de ressemblance avec un modèle d'objet à reconstruire. Chacune de ces deux sources d'information est traduite de manière algorithmique par une EDP unique.