Max(∆x, ∆y, ∆z) ≤ λ min

Si on a un maillage uniforme, c’est-à-dire où Δx=Δy=Δz=Δ, alors :

∆≤λ

10

Ce qui signifie que pour obtenir des résultats avec une erreur négligeable, il faut au moins 10 cellules par longueur d’onde.

Deuxièmement, les algorithmes temporels tels que la FDTD peuvent engendrer une dérive croissante (souvent exponentielle), des valeurs du champ électromagnétique entrainant une divergence du calcul. Pour s’en affranchir, il faut réaliser une incrémentation temporelle qui respecte le critère de Courant- Friedrichs-Lewy [2, 4, 5] et qui se caractérise par l’expression suivante :

∆t ≤

Avec c, la vitesse de la lumière dans le vide.

Pour un maillage uniforme, on peut simplifier cette inégalité :

∆t ≤

II.4 Définition des conditions aux limites

Du fait de ressources informatiques qui restent limitées à des espaces finis, il est nécessaire de restreindre les domaines de calculs numériques. Mais ce bornage du domaine de calcul met en avant l’émergence de réflexions aux bords de ce domaine.

Pour ce faire, il faut appliquer des conditions aux limites afin d’éviter les réflexions parasites qui peuvent se produire aux bords de la structure modélisée et qui perturbent le système, au point de plus être en mesure de séparer les signaux qui relèvent de ce qui est physiquement réel de ceux qui proviennent des phénomènes de réflexions. L’une des méthodes les plus performantes et couramment utilisée en FDTD est l’utilisation de couches absorbantes (ou PML pour Perfect Matched Layer) [6, 7] qui vont entourer le système modélisé.

Ces couches sont composées du même matériau et ont donc le même indice optique que le matériau de sortie de la structure modélisée mais ont une absorption électrique et magnétique non nulle (𝜎 ≠ 0 𝑒𝑡 𝜎∗_{≠ 0). Elles vérifient également la condition d’adaptation d’impédance de deux ondes à}

l’interface de deux milieux ayant le même indice mais dont l’un est absorbant qui est régie par la relation suivante (dans le vide) :

𝜎 𝜀0

=

𝜎∗

𝜇0 (2.18)

Où 𝛆0 et 𝛍0 sont respectivement les permittivités électriques et magnétiques du vide.

De cette manière ces couches absorbantes permettent à la fois d’atténuer l’onde incidente et d’éviter les réflexions aux bords du domaine. L’épaisseur et le pouvoir absorbant de ces couches doivent être choisis de manière à absorber totalement l’onde incidente pour s’assurer d’éliminer l’ensemble des réflexions résiduelles.

Dans le cas d’une structure périodique (comme la structure que nous étudions), il nous faut modéliser non pas un système fini mais un réseau infiniment périodique. Pour cela, nous devons, en plus des couches absorbantes, ajouter des conditions aux limites périodiques (CLP). Celles-ci sont issues du théorème de Floquet-Bloch [8]. A titre d’exemple, la représentation schématique d’une membrane de silicium structurée par un réseau de trous aura pour cellule élémentaire la cellule présentée en figure 2.5 b).

Si l’on se place dans un réseau linéaire de période a suivant l’axe (Ox) (voir la figure 2.5 b)), les conditions aux limites périodiques appliquées au champ électrique 𝐸⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝐸⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑥𝑝[𝑗(𝜔𝑡 − 𝑘0 𝑥𝑥 −

𝑘𝑦𝑦 − 𝑘𝑧𝑧)] donnent : E ⃗⃗ (x + a, y, z, t) = E⃗⃗ (x, y, z, t)exp[−jkxa] E ⃗⃗ (x, y, z, t) = E⃗⃗ (x + a, y, z, t)exp[+jkxa] (2.19)

Le théorème de Floquet-Bloch nous permet donc de calculer les champs électriques et magnétiques en limitant le calcul à une période spatiale du réseau (cellule élémentaire de période spatiale a) uniquement. A partir des champs existants pour une période spatiale plus loin à un déphasage près, on a donc :

E

⃗⃗ (x + a, y, z, t) = E⃗⃗ (x, y, z, t) (2.20) Autrement dit, le champ est le même en x qu’en x+a. Ainsi les champs électriques et magnétiques de la cellule élémentaire vont se reproduire à l’identique de période spatiale a en période spatiale a.

II.5 Description des propriétés électromagnétiques des matériaux diélectriques :

adaptation du modèle de Lorentz-Drude

Les matériaux diélectriques, contrairement aux métaux, ne possèdent pas de charges électriques susceptibles de se déplacer sur de grandes distances (macroscopiquement). Ils ne peuvent donc pas conduire le courant. Cependant, ils ne sont pas totalement électriquement inertes. En effet, ils peuvent présenter, à l’échelle atomique, des dipôles électrostatiques qui vont interagir avec le champ électrique externe appliqué. Sous l’application d’un champ électrique, les dipôles se réorganisent créant ainsi une polarisation. Ces mouvements de petites amplitudes correspondent souvent à une déformation du nuage électronique des atomes qui composent le matériau créant ainsi un dipôle électrostatique.

Tout comme les métaux, les diélectriques possèdent une permittivité diélectrique qui rend compte des phénomènes de polarisation se produisant dans le matériau durant la propagation d’une onde électromagnétique à travers celui-ci [9]. Les diélectriques sont aussi des matériaux dispersifs, ils possèdent donc une permittivité complexe qui dépend de la fréquence de l’onde électromagnétique incidente. Le phénomène de dispersion dans ces matériaux peut être formulé par le biais de modèles microscopiques phénoménologiques tels que le modèle de Drude [8] ou celui de Lorentz-Drude, le choix de l’un ou de l’autre dépendant du matériau et de la gamme spectrale étudiés.

II.5.1 Description du modèle de Drude

Comme nous l’avons dit précédemment, lorsque l’on soumet un matériau diélectrique à un champ électrique externe, des dipôles se forment à l’intérieur de celui-ci ou s’il en existait déjà, ceux-ci vont s’aligner dans le sens du champ électrique appliqué. A l’échelle atomique, on peut relier l’amplitude de l’onde EM au dipôle créé par la notion de polarisabilité, caractéristique propre à chaque atome. Cependant du fait de l’impossibilité de mesurer une telle grandeur, on utilisera plutôt la polarisation, grandeur macroscopique qui correspond à la somme de tous les dipôles présents dans le matériau. Cette grandeur a plusieurs origines physiques que l’on compte au nombre de trois : la polarisation électronique due au déplacement et à la déformation du nuage électronique de chaque atome, la

polarisation atomique induite par le déplacement des atomes et la polarisation d’orientation qui n’existe que lorsque des dipôles sont déjà présents et qu’ils s’alignent tous entre eux.

Dans un régime dit linéaire, qui concerne un grand nombre de cas dont celui que nous étudions par la suite, la polarisation macroscopique est proportionnelle au champ électrique qui l’a induit. On a alors la relation suivante :

P

⃗⃗ = ε

χE⃗⃗