Chapitre II : Simulation numérique par la méthode des différences finies et résultats
II.3 Discrétisation des équations de Maxwell
Comme indiqué précédemment, la résolution des équations de Maxwell dans la méthode FDTD est basée sur une discrétisation spatiale et temporelle aux différences finies de la structure modélisée. La discrétisation spatiale se fait par la création d’un maillage fin et régulier de pas spatiaux ∆𝑥 = ∆𝑦 = ∆𝑧 dans le cas d’un espace 3D ou ∆𝑥 = ∆𝑦 dans le cas d’un espace 2D et la discrétisation temporelle se fait par incrémentation avec un pas temporel ∆𝑡 permettant de suivre l’évolution temporelle des champs électrique et magnétique en chaque point du maillage spatial créé. De cette façon, toute dérivée partielle contenue dans les équations de Maxwell présentées plus haut est remplacée par un développement de Taylor du second ordre en différences finies. Ainsi, nous avons deux maillages fins qui se superposent : un maillage spatial et un maillage temporel. Le choix des valeurs des pas spatiaux dépendra de la structure (dimensions et formes des interfaces) tandis que celui de la valeur du pas temporel est conditionné par le passage du domaine spatial au domaine temporel (𝑑𝑥 ↔ 𝑑𝑡) pour une stabilité numérique et de l’étude de convergence nécessaire pour optimiser les pas de discrétisation.
II.3.1 Discrétisation spatiale
On considère un système composé de plusieurs matériaux ayant des constantes diélectriques différentes. Pour modéliser ce système, on construit un maillage régulier dans les trois directions de l’espace (Ox, Oy, Oz) avec des incréments constants Δx=Δy=Δz, appelés pas spatiaux.
𝛿𝑓
𝛿𝑎
|
𝑎=𝑎0=
𝑓 (𝑎0+∆ 2⁄ )−𝑓 (𝑎0−∆ 2⁄ )
∆
+ 0(∆)²
(2.11)Où a est une variable quelconque qui peut être ici le temps t ou une des trois coordonnées de l’espace (x, y ou z).
Le terme 0(∆)² est un terme de second ordre qui est négligé ici puisque l’on se place dans un domaine linéaire.
Si on applique par exemple cette formule sur la coordonnée de l’espace en x, on a :
Alors, 𝛿𝑓 𝛿𝑥
|
𝑥=𝑥0=
𝑓 (𝑥0+∆ 2⁄ )−𝑓 (𝑥0−∆ 2⁄ ) (𝑥0+∆ 2⁄ )−(𝑥0−∆ 2⁄ )=
𝑓 (𝑥0+∆ 2⁄ )−𝑓 (𝑥0−∆ 2⁄ ) ∆ (2.12)On passe donc de dérivées partielles sur des intervalles infiniment petits (limite quand ∆→ 0) à des intervalles de dimensions ∆ finis.
La discrétisation consiste donc à appliquer ce développement en série de Taylor aux équations de Maxwell qui régissent le comportement du champ électrique et magnétique.
Reprenons par exemple les équations 2.5 et 2.8 citées au paragraphe II.2 : Si l’on applique le développement de Taylor à l’équation
μ
0∂Hx
∂t
=
∂Ey∂z
−
∂Ez∂y et en nous intéressant
uniquement à la dépendance spatiale, on obtient :
μ
0∂Hx ∂t=
𝐸𝑦𝑡(𝑥,𝑦,𝑧+∆𝑧 2)−𝐸𝑦 𝑡(𝑥,𝑦,𝑧−∆𝑧 2) ∆𝑧−
𝐸𝑧𝑡(𝑥,𝑦+∆𝑦 2,𝑧)−𝐸𝑧 𝑡(𝑥,𝑦−∆𝑦 2,𝑧) ∆𝑦 (2.13)Ceci nous permet de dire que, d’un point de vu spatial, le champ
𝐸
𝑦 est sur un réseau demi-entier en z et entier en x et en y ; et que le champ𝐸
𝑧 est sur un réseau demi-entier en y et entier en x et en z. Ainsi on peut définir la position des champs électriques𝐸
𝑦 et𝐸
𝑧 autour du champ magnétique𝐻
𝑥 à un instant t donné comme l’illustre la figure 2.1 si dessous :Figure 2.1 : Positionnement des champs
𝐸
𝑦et 𝐸
𝑧 par rapport au champ𝐻
𝑥 dans la grille spatiale définie.De même
,
si l’on applique le développement de Taylor à l’équation ε0ε
r ∂Ex ∂t=
∂Hz ∂y−
∂Hy ∂z− j
x, on obtient :𝜀
0𝜀
𝑟𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑡=
𝐻𝑦𝑡(𝑥,𝑦,𝑧+∆𝑧2)−𝐻𝑦𝑡(𝑥,𝑦,𝑧−∆𝑧2) ∆𝑧−
𝐻𝑧𝑡(𝑥,𝑦+∆𝑦2,𝑧)−𝐻𝑧𝑡(𝑥,𝑦−∆𝑦2,𝑧) ∆𝑦(2.14)
Ceci nous permet de dire que, d’un point de vu spatial, que le champ
𝐻
𝑦 est sur un réseau demi-entier en z et entier en x et en y ; et que le champ𝐻
𝑧 est sur un réseau demi-entier en y et entier en x et en z. Ainsi on peut définir la position des champs électriques𝐻
𝑦 et𝐻
𝑧 autour du champ magnétique𝐸
𝑥 à un instant t donné comme l’illustre la figure 2.2 si dessous :Figure 2.2 : Positionnement des champs
𝐻
𝑦et 𝐻
𝑧 par rapport au champ𝐸
𝑥 dans la grille spatiale définie.En appliquant ce développement en série de Taylor à l’ensemble des équations de Maxwell, on obtient le schéma de Yee [1] qui représente l’ensemble des champs électriques et magnétiques dans l’espace à 3 dimensions illustré figure 2.3.
Figure 2.3 : Positions de l’ensemble des composantes des champs électriques et magnétiques dans l’espace 3D discrétisé.
Maintenant que nous avons situé spatialement les champs électriques et magnétiques les uns par rapport aux autres, il faut également tenir compte de l’évolution des champs dans le temps.
II.3.2 Discrétisation temporelle
Reprenons l’équation : μ0∂Hx ∂t
=
∂Ey ∂z−
∂Ez ∂ySi l’on tient compte maintenant de la composante temporelle, en plus de la discrétisation spatiale, on obtient avec un développement en série de Taylor, l’expression suivante :
μ
0[
𝐻𝑥(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡+ ∆𝑡 2)− 𝐻𝑥(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡− ∆𝑡 2) ∆𝑡] =
𝐸𝑦(𝑥,𝑦,𝑧+∆𝑧2,𝑡)−𝐸𝑦(𝑥,𝑦,𝑧−∆𝑧2,𝑡) ∆𝑧−
𝐸𝑧(𝑥,𝑦+∆𝑦2,𝑧,𝑡)−𝐸𝑧(𝑥,𝑦−∆𝑦2,𝑧,𝑡) ∆𝑦(2.15)
Cette expression montre que le champ magnétique
𝐻
𝑥 se trouve sur un réseau demi-entier en t alors que les champs électriques𝐸
𝑦 et𝐸
𝑧 se trouvent sur un réseau entier de t. Il en va de même pour les autres équations de Maxwell.En appliquant ce principe à l’ensemble des composantes des champs électriques E et magnétiques H, on se rend compte que, pour conserver la cohérence de la discrétisation, le champ électrique et le champ magnétique ne peuvent être calculés au même instant, ils doivent être calculés à des instants décalés de
∆𝑡
Figure 2.4 : Discrétisation temporelle des champs E et H.
II.3.3 Détermination des pas spatiaux et temporels
Le choix des pas spatiaux et temporel ne peut pas se faire aléatoirement du fait de son impact sur la précision et la stabilité de l’algorithme FDTD.Celui-ci implique donc quelques conditions.
Tout d’abord, il faut que la discrétisation spatiale soit suffisamment fine pour qu’elle puisse décrire correctement la géométrie des éléments composant la structure étudiée. Il faut également prendre en compte que lorsque l’on passe d’un problème physique dans un espace-temps continu à un problème discret dans un espace-temps échantillonné, on crée un effet parasite appelé dispersion numérique. Cette dispersion est issue d’erreurs commises sur l’évaluation de la vitesse de propagation des ondes dans le domaine de calcul. Pour pallier ce problème, les valeurs des pas spatiaux sont établies en fonction de la longueur d’onde minimale étudiée [2, 3]. On a donc :