Majoration de l’´energie semi-discr`ete

Comme nous l’avons d´ej`a expliqu´e, il est physiquement coh´erent lors de la lin´earisation au-tour d’un ´ecoulement non uniforme de ne pas obtenir la conservation d’une ´energie a´eroacousti-que. Ce r´esultat d´etaill´e en continu dans la partie 1.4 s’exprime au niveau de notre sch´ema par le biais du th´eor`eme 3.2.3. L’apparition possible de modes instables en temps au sein des

´equations d’Euler lin´earis´ees autour d’un ´ecoulement non uniforme nous a guid´es dans notre recherche de majoration pour l’´energie. Ainsi, dans la partie 1.4, nous avons d´emontr´e une majoration de notre ´energie par un terme exponentiel en temps.

Nous nous sommes alors investis dans la recherche d’un r´esultat similaire en discret pour notre sch´ema. Notre sch´ema en temps nous a restreint dans cette approche et nous avons r´eussi

`a obtenir des r´esultats int´eressants uniquement pour une approche semi-discr`ete (continue en temps, discr`ete en espace).

Nous allons pr´esenter dans cette partie ces diff´erents r´esultats. Nous supposerons que le domaine de r´esolution Ω×[0,T] est infini en espace, et que nous utilisons un maillage quelconque ne comportant que des interfaces r´efl´echissantes aux bords ´eventuels du domaine.

Consid´erons alors sur ce maillage le sch´ema semi-discret d´efini par (2.6) et par (2.27) :

 Consid´eronsE(t) l’´energie semi-discr`ete suivante :

∀t∈[0,T], E(t) = 1

Nous allons alors d´emontrer le r´esultat suivant :

Lemme 3.2.7 En utilisant les d´efinitions 3.2.4, 3.2.5 et 3.2.6, l’´energie semi-discr`ete E(t) d´efinie par (3.36) v´erifie l’in´egalit´e suivante :

∀t∈[0,T], E(t)≤E(0)e^αt, avec, (3.37)

D´emonstration 3.2.7 Nous avons ∀t∈[0,T],

En int´egrant par parties et en utilisant la sym´etrie des matrices A˜ⁱ_s, nous obtenons (1) =~0.

Finalement,

En utilisant les mˆemes majorations que dans la d´emonstration du r´esultat interm´ediaire

(3.33), nous avons :

En int´egrant par parties sur [0,t], ∀t ∈ [0,T] et en appliquant le lemme de Gronwall, nous obtenons le r´esultat souhait´e.

Ce lemme nous permet ainsi d’affirmer que notre sch´ema en espace conserve la propri´et´e d’une majoration de type exponentielle en temps de l’´energie que nous avions d´emontr´ee en continu (1.39). Nous n’avons pas r´eussi `a ´etendre ce r´esultat pour le sch´ema saute-mouton en temps. Cependant, nous avons num´eriquement constat´e ce caract`ere exponentiel en temps des instabilit´es sur tous les cas tests instables que nous avons soumis `a notre sch´ema. La preuve th´eorique restant un probl`eme ouvert.

Conclusion

Dans cette partie nous nous sommes attach´es `a d´emontrer les propri´et´es th´eoriques de notre sch´ema. Dans bon nombre de m´ethodes num´eriques en maillages non structur´es, la condition de stabilit´e est extrapol´ee de celle connue en maillage structur´e, ce qui peut se r´ev´eler parfois drastique, parfois insuffisant et en tout cas souvent douteux. Ainsi, nous avons cherch´e dans la plupart des cas de figure que nous avons d´evelopp´es au sein de notre code

(´ecoulement porteur uniforme ou non, choix des conditions absorbantes, choix des conditions r´efl´echissantes, prise en charge des instabilit´es...) `a avoir un contrˆole sur une ´energie et si possible de connaˆıtre une condition explicite de stabilit´e. Nous pouvons r´esumer les diff´erents r´esultats obtenus dans cette partie par les points suivants :

– Dans le cas de la lin´earisation autour d’un ´ecoulement uniforme pour une base d’ap-proximation d’ordre quelconque des variables a´eroacoustiques :

• Nous poss´edons un sch´ema non diffusif (conservation d’une ´energie en domaine infini sans parois absorbantes).

• Notre condition r´efl´echissante n’influe pas sur le bilan ´energ´etique.

• Nous poss´edons une estimation explicite de l’impact de nos deux conditions absor-bantes sur le bilan ´energ´etique.

• Notre sch´ema est stable sous une condition de type CFL.

– Dans le cas de la lin´earisation autour d’un ´ecoulement non uniforme approch´e de mani`ere P₀ pour une approximation d’ordre quelconque des variables a´eroacoustiques :

• Nous poss´edons une estimation des ´echanges ´energ´etiques entre les champs a´erody-namique et a´eroacoustique.

• Notre condition r´efl´echissante n’influe pas sur le bilan ´energ´etique.

• Nous poss´edons une estimation explicite de l’impact de nos deux conditions absor-bantes sur le bilan ´energ´etique.

• Dans le cas de la pr´esence d’instabilit´es de type de Kelvin-Helmholtz, nous poss´edons en semi-discret une majoration explicite de la croissance exponentielle en temps de l’´energie analogue `a celle obtenue en continu.

Les r´esultats obtenus pour la lin´earisation des ´equations d’Euler autour d’un ´ecoulement non uniforme sont ´evidemment moins satisfaisants que ceux obtenus pour un ´ecoulement porteur uniforme (absence de condition de stabilit´e et mˆeme pr´esence possible d’instabilit´es exponentielles en temps). Mais ces r´esultats nous ont permis d’avancer dans la recherche d’un traitement num´erique permettant ”d’´etouffer” les instabilit´es et assurant une condition de stabilit´e. Nous pr´esenterons ces r´esultats dans le chapitre suivant.

Chapitre 4

Validation de notre m´ ethode

Sommaire

Introduction. . . . 75 4.1 Condition de stabilit´e . . . . 76 4.2 Cas tests de validation en ´ecoulement uniforme . . . . 79 4.2.1 Cas test 1 : Un instationnaire p´eriodique . . . . 79 4.2.2 Cas test 2 : cas test de Tam-Webb . . . . 83 4.2.3 Cas test 3 : condition r´efl´echissante . . . . 92 4.2.4 Conclusion . . . . 97 4.3 Cas test de validation en ´ecoulement non uniforme . . . . 98 4.3.1 Cas test 1 : Workshop . . . . 98 4.3.2 Conclusion . . . 103 4.4 Instabilit´es de Kelvin-Helmholtz en 2D . . . . 103 4.4.1 Introduction . . . 103 4.4.2 Cas test acad´emique . . . 104 4.4.3 Traitement des instabilit´es par ajout d’un terme source discret . . . 105 4.4.4 Cas test cisaill´e affine . . . 110 4.4.5 Cas test avec instabilit´es. . . 117 4.4.6 Probl`eme a´eroacoustique autour d’une coupe d’aile 2D de type NACA119 4.4.7 Conclusion . . . 123 Conclusion . . . . 129

Introduction

On se propose dans cette partie de valider sur des cas tests 2D plus ou moins acad´emiques les diff´erentes caract´eristiques de la m´ethode et les diff´erents sch´emas pr´esent´es dans le deuxi`eme chapitre. Avant de construire un code 3D parall`ele, il ´etait important de v´erifier le bon comportement global de la m´ethode. Ainsi, de nombreux cas tests 2D ont ´et´e r´ealis´es au cours de la th`ese, ceux pr´esent´es ici nous ont sembl´e pertinents pour la richesse de leurs r´esultats. Les crit`eres que nous avons cherch´e `a v´erifier sont nombreux et vari´es. Tout d’abord il ´etait important d’estimer la pr´ecision de notre sch´ema et le gain du passage d’une base d’ap-proximation de typeP<sub>0</sub> `aP₁. Une des difficult´es de l’a´eroacoustique provient de la nature des

perturbations (entropique, de vorticit´e ou acoustique) qui ont des caract´eristiques diff´erentes.

Il ´etait donc capital de v´erifier le bon comportement de notre sch´ema vis-`a-vis de cette diffi-cult´e. Deux autres points sensibles de l’a´eroacoustique sont le traitement des termes sources et les conditions aux limites. En effet, les termes sources sont indispensables `a la mod´elisation de l’interaction entre ´ecoulement et acoustique et les conditions aux limites doivent permettre de g´erer la sortie et la r´eflexion des diff´erents types d’ondes propre `a l’a´eroacoustique. Nous chercherons ´egalement `a corroborer les r´esultats th´eoriques vus dans la partie pr´ec´edente.

Dans les parties intitul´ees ”Cas tests de validation en ´ecoulement uniforme” et ”Cas test de validation en ´ecoulement non uniforme”, nous ´etudierons quatre cas tests dont le tableau 4.1 r´esume les caract´eristiques. Dans la partie intitul´ee ”Instabilit´es de Kelvin-Helmholtz en 2D”, nous nous int´eresserons `a des cas tests en ´ecoulement non uniforme instables. Nous propo-serons une solution aux traitements des instabilit´es que nous comparerons avec le mod`ele simplifi´e. Nous v´erifierons ´egalement l’impact n´egligeable de notre traitement sur des cas tests ne pr´esentant pas d’instabilit´es.

Tab. 4.1 – Particularit´es des diff´erents cas tests de la partie validation

Caract´eristiques CT1 CT2 CT3 CT4

Ecoulement porteur uniforme √ √ √

Ecoulement porteur non uniforme √

Comparaison entreP₀ et P₁ √ √ √

Comparaison avec la solution exacte √ √ √ √

Pr´esence d’un terme source √

Bilan ´energ´etique √ √

Pr´esence d’interfaces r´efl´echissantes √ √ Comparaison entre conditions absorbantes √ √ √