Une autre approche pour les instabilit´es de type Kelvin-Helmholtz

1.5 Une autre approche pour les instabilit´ es de type Kelvin-Helmholtz

Repartons des r´esultats ´energ´etiques de la partie pr´ec´edente, pourE = ¹₂^tW~ _sA⁰₀W~ _s nous avons ∂_tE + divF~ = S, avec S = −¹₂^tW~ _sh

∂_x( ˜A⁰_x) +∂_y( ˜A⁰_y) +∂_z( ˜A⁰_z)i

W~ _s. Un traitement simple permettant d’obtenir la conservation deCE avecCune constante est donc de rajouter au terme de droite de l’´equation (1.11) le terme source suivant :

H~ = C 2

h∂_x( ˜A⁰_x) +∂_y( ˜A⁰_y) +∂_z( ˜A⁰_z)i

W~ _s. (1.41)

Comme pour le mod`ele simplifi´e, nous modifions les ´equations et il est important d’´etudier l’impact de cette modification. En utilisant les variables conservatives ce nouveau mod`ele s’´ecrit : et en utilisant les variables du mod`ele simplifi´e :

∂_tW~ _b+∂_x

Le terme source de l’´equation (1.43) ´etant assez complexe, nous nous proposons de comparer ce deuxi`eme mod`ele avec le premier dans le cas d’un ´ecoulement d´efini paru₀ =u₀(y),v₀ = 0 et ρ0, p0 constants (donc c0 constant). Le syst`eme (1.43) s’´ecrit alors :



tandis que le terme source ´etait nul pour le mod`ele simplifi´e. Du coup, les ´equations de Phillips et de Lilley modifi´ees que nous obtenons sont bien plus complexes :

D²δπ

Nous pouvons remarquer que nous retrouvons pour C = 0 les ´equations exactes de Phillips et de Lilley. Malheureusement il n’existe pas de simplification de ces expressions pour un C >0. Evidemment, par rapport `a ces expressions il est impossible d’estimer qualitativement l’impact du terme source utilis´e sur les solutions obtenues.

Ce nouveau mod`ele est construit par rapport `a la conservation d’une ´energie, ce qui assure un caract`ere born´e aux diff´erentes variables physiques et donc permet d’obtenir la stabilit´e des ´equations de mani`ere syst´ematique quel que soit l’´ecoulement porteur autour duquel nous avons lin´earis´e. Malgr´e cela, il est quand mˆeme int´eressant de constater les modifications apport´ees `a l’´equation de stabilit´e de Rayleigh. En reprenant les notations et les hypoth`eses de la partie1.3.3 avec notre mod`ele, l’´equation (1.26) se r´ecrit :

ikVb₁

tandis que la premi`ere ´equation du syst`eme (1.25) n’est pas modifi´ee, en combinant cette

´equation avec (1.45), nous obtenons : u₀− ω

k

d²Vb₁

dy² −k²Vb₁

! +

C 2 −1

Vb₁d²u₀

dy² +Cdu₀ dy

dVb₁

dy = 0. (1.46)

Pour C = 0 nous retrouvons logiquement l’´equation exacte de stabilit´e de Rayleigh (1.28), nous pouvons ´egalement remarquer que le choixC= 2 permet d’obtenir une ´equation proche de celle obtenue pour le mod`ele simplifi´ee (1.29) (`a un facteur pr`es sur le terme en ^du_dy⁰).

Conclusion

Nous venons de pr´esenter diff´erentes formes des ´equations de l’a´eroacoustique. Le but de cette pr´esentation succincte r´eside dans le fait que tout au long du m´emoire nous utiliserons les diff´erentes formes pr´esent´ees. Ainsi par exemple, lors de la lin´earisation des ´equations d’Euler autour d’un ´ecoulement uniforme, nous utiliserons le syst`eme (1.6) pour sa simplicit´e et ses caract´eristiques tandis que dans le cadre de la lin´earisation autour d’un ´ecoulement non uniforme, nous utiliserons le syst`eme le plus traditionnel (1.3). Le syst`eme (1.11), plus riche mais plus complexe que le syst`eme (1.3), nous sera indispensable au niveau des r´esultats

´energ´etiques que nous d´evelopperons dans les chapitres trois et quatre.

Enfin comme nous l’avons vu, les ´equations d’Euler lin´earis´ees en temporel peuvent donner naissance `a des instabilit´es naturelles qu’elles ne permettent pas de contrˆoler. Nous avons pr´esent´e deux approches possibles en continu pour essayer de r´epondre `a ce probl`eme. Une premi`ere approche propos´ee par Bogey, Bailly et Juv´e consiste `a r´esoudre le syst`eme (1.13) en imposant H~ =~0, dans la suite du m´emoire nous nommerons ce mod`ele “mod`ele simplifi´e”.

Cette d´emarche a l’int´erˆet de peu modifier l’´equation de Lilley du mod`ele originel tout en modifiant `a notre avantage l’´equation de stabilit´e de Rayleigh. Il apparaˆıt que le seul point n´egatif de cette approche r´eside dans le fait qu’elle ne peut assurer de mani`ere cat´egorique la stabilit´e du probl`eme. La deuxi`eme approche que nous avons illustr´ee a ´et´e construite `a partir des propri´et´es du syst`eme (1.11). Nous avons ´elabor´e un terme source permettant de conserver une ´energie et donc d’assurer la stabilit´e des ´equations quel que soit l’´ecoulement porteur solution des ´equations d’Euler. Malheureusement, notre mod`ele, contrairement au mod`ele simplifi´e, complique de mani`ere inextricable les ´equations de Phillips ou de Lilley par rapport `a celles du mod`ele originel. Il est donc quasiment impossible d’estimer l’impact de ce mod`ele sur la forme des solutions. Dans la quatri`eme partie du m´emoire, nous ´etudierons de mani`ere num´erique l’impact de ces deux mod`eles sur des cas tests stables et instables.

Dans la partie suivante, nous allons pr´esenter la m´ethode num´erique ainsi que les conditions aux limites que nous avons retenus pour la r´esolution des diff´erents syst`emes et mod`eles que nous venons d’exposer.

Chapitre 2

M´ ethodes de type Galerkin

discontinu pour l’a´ eroacoustique

Sommaire

Introduction. . . . 31 2.1 Le principe de la m´ethode . . . . 32 2.1.1 Discr´etisation spatiale . . . . 33 2.1.2 Discr´etisation temporelle . . . . 34 2.1.3 Diff´erentes formulations . . . . 35 2.2 M´ethode de type volumes finis . . . . 37 2.3 M´ethode d’approximation P₁ . . . . 38 2.4 Les conditions aux limites . . . . 41 2.4.1 Introduction . . . . 41 2.4.2 Conditions aux limites r´efl´echissantes . . . . 43 2.4.3 Conditions aux limites absorbantes . . . . 45 2.4.4 Condition PML. . . . 46 Conclusion . . . . 50

Introduction

L’utilisation de m´ethodes de type Galerkin discontinu est aujourd’hui r´epandue dans la plupart des probl`emes de mod´elisation de syst`emes diff´erentiels physiques [25], [33], [26].

Cependant, il est vrai qu’en a´eroacoustique l’utilisation de sch´emas autres que des sch´emas de type diff´erences finies est tr`es r´ecente. Ainsi il existe tr`es peu de r´ef´erences sur la construction de sch´emas de type Galerkin discontinu pour l’a´eroacoustique. Nous pouvons citer [28], [61]

et [5]. Dans [28], les auteurs utilisent pour leur sch´ema en espace une m´ethode de type caract´eristique aux interfaces pour le calcul des flux ce qui facilite ´enorm´ement la construction des conditions aux limites. Le sch´ema est malheureusement diffusif et il ne poss`ede pas de condition th´eorique de stabilit´e. Le caract`ere diffusif peut permettre sans certitude de g´erer les instabilit´es de Kelvin-Helmholtz. Dans [5], la construction du sch´ema en espace de type

Galerkin discontinu utilis´e par H.L. Atkins est tr`es proche de celle cit´ee pr´ec´edemment tout en introduisant une m´ethode de type PML comme condition absorbante.

Il est `a noter que nous n’avons pas rencontr´e dans la litt´erature de discussion quant

`a la construction d’une condition de stabilit´e suffisante pour un sch´ema de type Galerkin discontinu en maillage non structur´e appliqu´e `a l’a´eroacoustique et il en est de mˆeme quant `a la recherche d’une m´ethode permettant de stabiliser de mani`ere syst´ematique les instabilit´es de type Kelvin-Helmholtz.

Dans cette partie, apr`es avoir rappel´e de mani`ere succincte le principe de la m´ethode, nous pr´esenterons les diff´erents choix que nous avons faits pour notre sch´ema (flux internes, conditions aux limites r´efl´echissantes et absorbantes) et ce pour les diff´erents contextes que nous avons abord´es dans le premier chapitre (´ecoulement porteur uniforme ou non, utilisation du mod`ele simplifi´e...)