Maillage

Le type d’éléments à utiliser, ainsi que la taille des éléments, notamment en pointe de fissure, sont des paramètres fondamentaux pour bien maîtriser les forts gradients de contraintes et de déformations au voisinage de l’entaille. En général, sont utilisés des éléments quadrangulaires linéaires dans des simulations bidimensionnelles et des éléments quadrangulaires linéaires en 3D, depuis les premiers travaux de Newman en 2D [62, 63], sur une plaque avec un défaut central et en comportement élasto-plastique parfait, et Chermahini en 3D [64, 65] sur une éprouvette M(T) en alliage d’aluminium avec une loi de comportement élasto-plastique parfaite et différentes géométries et positionnement du défaut dans la pièce (central en [64], semi-circulaire et semi-elliptique en [65]).

Plus récemment, ce choix a été adopté par de Matos et Nowell [66] dans une éprouvette M(T) en alliage de titane Ti–6Al–4V et pour un comportement élasto-plastique parfait, ainsi que par Sarzosa et al.[67], Toribio et Kharin [61] et Roychowdhury et Dodds [80].

Dans leurs travaux sur des éprouvettes M(T) en alliage d’aluminium AA6016-T4 avec combinaison d’écrouissages cinématique et isotrope non linéaires, Antunes et Rodrigues ont aussi opté pour l’emploi d’éléments linéaires en 3D [60] et 2D [68].

Le même choix a été effectué par Simandjuntak et Alizadeh [69, 70] (éprouvettes M(T) en alliage d’aluminium 2024-T351 et loi de comportement élasto-plastique parfaite) en 3D et par Gonzalez-Herrera et Zapatero [71] en 2D avec le même matériau et dans une éprouvette C(T). Gonzalez-Herrera et Zapatero [72] et Camas et al. [120- 122] ont également proposé d’utiliser des éléments hexaédriques linéaires à 8 nœuds dans la zone près de la pointe de la fissure et des éléments tétraédriques à 8 nœuds dans la partie maillée plus grossièrement.

Alizadeh et al. [73] ont aussi proposé d’utiliser des éléments quadratiques : quadrangulaires en 2D (et, par conséquent, hexaédriques en 3D) près de la pointe de la fissure et triangulaires (tétraédriques) pour relier le maillage autour de la pointe de la fissure à la partie maillée plus grossièrement.

Enfin, Branco et al. [74-76] ont employé des éléments pentaédriques singuliers [20] avec 15 nœuds placés le long du front de fissure et des éléments hexaédriques avec 20 nœuds, plus loin de la discontinuité.

En général, il est à noter que l’utilisation des éléments singuliers, couplée à la méthode d’extrapolation des déplacements [20] pour le calcul de _[o améliore la précision du calcul [74-76], mais entraîne une augmentation importante des temps de calcul, à cause de la nécessité d’employer des éléments de type quadratique.

Simandjuntak et al.[77] ont montré que l’utilisation des éléments avec intégration réduite permet de réduire considérablement le temps de calcul, tout en permettant de conserver des prédictions de taux de fermeture en bon accord avec les mesures expérimentales. En effet, l’utilisation de ce type d’éléments permet de s’affranchir des problèmes de blocage du maillage d’un côté (souhaitable surtout pour de sévères gradients de contraintes et de déformations), mais s’expose au risque d’activation d’énergies à déformations nulles.

Solanki et Newman [59] ont montré que le taux de fermeture obtenu par l’utilisation d’éléments avec intégration complète et réduite est très comparable aussi bien pour des simulations tridimensionnelles que bidimensionnelles ; toutefois leur utilisation doit être soigneusement validée par comparaison avec les résultats obtenus avec les éléments correspondants avec intégration complète.

L’influence de la taille des éléments a_min dans la direction de propagation (Figure 17) sur les résultats est très importante: la discrétisation doit être, en effet, suffisamment fine pour bien

considérer les zones plastifiées monotone et cyclique (paragraphe 2.4) [59- 60, 71, 74- 76, 81-83], comme défini initialement par Rice [54, 55] et McClung[56], puis par Irwin [22] et Dugdale [88] .

Figure 17 : Illustration des éléments au voisinage de la pointe de la fissure pour une simulation 2D

McClung et al. [81-83] ont réalisé une étude de raffinement du maillage sur 2 éprouvettes M(T) avec une fissure coin et une fissure induite par un trou central circulaire : ils ont conclu que le raffinement du maillage doit être envisagé en termes de nombre de divisions (éléments) dans les zones plastifiées monotone et cyclique.

Les raffinements utilisés dans la littérature sont très variables : Parks et al.[79] n’ont employé qu’un élément dans la zone cyclique Rpc avec un modèle d’écrouissage cinématique, tandis que Solanki et Newman [59] ont utilisé 3 ou 4 éléments dans cette zone et Roychowdhury et Dodds [80] 2 ou 3.

Dougherty [78] a conclu que 10 éléments dans la zone plastique monotone R_p étaient suffisants, quel que soit le type d’élément utilisé (triangulaire ou quadrangulaire), alors que Gonzalez-Herrera et Zapatero [71] recommandent l’utilisation d’un rapport entre la taille minimale dans la direction de fissuration et la zone plastique définie par Dugdale [88] inférieure à 0.03 lors de l’emploi d’ éléments linéaires.

Solanki [84], ainsi que de Skinner et al [85] ont employé jusqu’à 20 éléments dans la zone monotone cyclique pour finalement conclure que 5 éléments étaient suffisants pour obtenir une bonne convergence des valeurs de fermeture prédîtes, tandis que Camas et al. [120- 122] ont employé, dans des simulations tridimensionnelles, des éléments linéaires avec une taille 148 fois inférieure à celle du rayon plastique défini par Dugdale [88].

Il ressort de ceci que ces considérations n’ont aucun caractère impératif : la réduction de la taille minimale des éléments dans le plan de propagation réduit le pas d’avancement de la

amin

Direction du chargement

fissure et augmente le nombre d’éléments dans les zones plastiques monotone et cyclique d’un côté, mais demande une puissance informatique plus importante [60] .

Il faut aussi considérer que les dimensions des zones plastiques cyclique et monotone dépendent fortement de la loi de comportement du matériau, ainsi que de la charge imposée, comme il est montré par les équations I.18 et I.20.

Une optimisation sera alors nécessaire afin de bien représenter ces deux zones plastiques et les gradients sévères au voisinage de l’entaille avec les nombreux cycles de chargements imposés et une loi de comportement élasto - plastique plus complexe.

En ce qui concerne le nombre de divisions dans l’épaisseur, ce paramètre a été réduit à 4 par Chermahini [64, 65], alors que de Matos et Nowell [66] ainsi que Branco et al. [74-76] ont imposé 8 divisions dans la demi-épaisseur de leurs modèles. Alizadeh et al. [73] en ont utilisé 10, alors que Camas et al. [120- 122] proposent jusqu’à 120 divisions.

Une étude fine a été menée par Gonzalez-Herrera et Zapatero [72] sur 3 éprouvettes CT d’épaisseurs respectives 3, 6 et 12 mm, pour un nombre respectif d’éléments dans l’épaisseur égal à 35, 50 et 100 respectivement. Ils ont conclu que la "zone de transition" de la zone près de la surface libre (pour laquelle des valeurs plus élevées de la fermeture induite par plasticité sont détectées) à la zone centrale de l’éprouvette (valeurs constantes) est indépendante de l’épaisseur.

Roychowdury et al. [80] ont employé 5 éléments dans la demi-épaisseur avec un maillage progressif vers le bord pour envisager les gradients sévères de contraintes et déformations près de la surface libre de l’éprouvette.

En conclusion, il apparaît qu’un raffinement du maillage près du bord soit nécessaire afin de saisir les effets près de la surface libre, tout en recherchant un bon compromis avec les temps des calculs.