M´ethode du compl´ement singulier : convergence

Nous avons ´etabli que pour le cas statique, la λ-approche et la m´ethode compl´ement singulier orthogonale sont identiques d’un point de vue probl`eme continu (section 2.4), formulation variation- nelle (proposition 2.47) et probl`eme discret (th´eor`eme 4.11). Nous nous contentons donc d’´etudier la convergence de la λ-approche.

L’analyse de la convergence de la m´ethode du compl´ement singulier a ´et´e r´ealis´ee par C. Hazard et S. Lohrengel dans [68]. Elle utilise le lemme de C´ea 4.1, et l’´equivalence des normes de H1 et de X0E pour les vecteurs de X

0 , R

E (th´eor`eme 2.25). La preuve de convergence que nous pr´esentons ici

est l´eg`erement diff´erente car nous n’utilisons pas de fonction de troncature, mais nous obtenons le mˆeme taux de convergence, de l’ordre 2α<sub>− 1 − . Nous allons montrer le th´eor`eme suivant :</sub> Th´eor`eme 4.12 On suppose qu’il existe  > 0 tel que 2α_{− 1 −  > 0 et f, g ∈ H}2α−1−(ω), e _{∈ H}2α−1/2−_{(∂ω). Alors il existe une constante C}

 > 0 qui ne d´epend que  telle que :

|| E − Eh||X_E ≤ Ch2 α − 1 − . (4.52)

Pour prouver ce th´eor`eme, nous avons besoin de la proposition suivante : Proposition 4.13 On a l’estimation d’erreur suivante sur le calcul des λi _:

Il existe une constante Cλ ne d´ependant que du domaine et des donn´ees telle que :∀i ∈ {1, ..., Ncr} :

| λi − λih| < Cλh2 α.

D´emonstration. La preuve de cette proposition est faite par P. Ciarlet, Jr. et J. He dans [41] pour obtenir un taux de 2α_{− , et grˆace aux r´esultats de M. Amara et M. Moussaoui dans [4], on} obtient le taux optimal.

 Pour tout i _{∈ {1, ..., N}cr}, xPi , h d´esigne l’approximation num´erique de xPi choisie pour la

repr´esentation. En pratique, on prend souvent : xP

i , h = Πk(xPi ). D´ecomposons E et Eh ainsi : E = eE0 + eλ + Ncr X i=1 λixP_i , Eh = eE0h + eλ , h + Ncr X i=1 λi_hxP_{i , h}.

Posons z0 _{= eE}0 _{− eE}0

h, zλ = eλ − eλ , h et zP = Ncr

X

i=1

( λixP_{i − λ}i_hxP_i,h). D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on a donc :

|| E − Eh||2X_E ≤ 3 ( || z0||2X_E + || zλ||2X_E + || zP ||2X_E) .

Pour montrer le th´eor`eme 4.12, il s’agit alors d’estimer les trois termes du second membre de l’in´egalit´e ci-dessus.

Lemme 4.14 On suppose qu’il existe  > 0 tel que 2α _{− 1 −  > 0 et f, g ∈ H}2α−1−_(ω),

e ∈ H2α−1/2−_{(∂ω). Alors il existe une constante C}0

 > 0 qui ne d´epend que  telle que :

|| z0||X0 E = || eE 0 − eE0_h||X0 E ≤ C 0 h2α−1−|| eE0||H2α−. (4.53)

D´emonstration. La preuve de cette proposition, que nous reprenons de [68] se fait en trois ´etapes :

• D’apr`es le lemme de C´ea 4.1, comme A0 est coercitive, il existe une constante C0 > 0 telle que :

|| eE0 _{− e}E0_h||X0

E ≤ C0 _F inf h∈ X0 , RE , k

|| eE0 _{− F}h||X0

E, (4.54)

• D’apr`es le th´eor`eme 2.25, il existe une constante C1 > 0 telle que :

|| eE0 _{− e}E0_h||X0

E ≤ C0C1 _F inf h∈X0 , R_{E , k}

|| eE0 _{− F}h||H1. (4.55)

• Or, d’apr`es le th´eor`eme 2.31, pour le nombre  consid´er´e, eE0 _{∈ H}2α−(ω). Comme 2α−  > 1, l’analyse d’erreur standard des ´el´ements finis s’applique [33, 66] :

inf

F_h∈X0 , R_{E , k}|| e

E0 _{− F}h||H1 ≤ C_00h2α−1−|| eE0||H2α−.

En prenant, C_0 = C0C1C00, on obtient (4.53).

 Lemme 4.15 Il existe une constante C∂ω > 0 telle que :

|| zλ||X_E ≤ C_∂ωh2α−. (4.56)

D´emonstration. Notons que pour e_{∈ H}2α−1/2−(∂ω) avec  tel que 2α_{− 1 −  > 0, il existe un} rel`evement e_{∈ H}2α−1−_{(ω) de e, et comme H}2α−1−_{(ω)⊂ C}0_{(ω), Π}

k(e) est bien d´efini.

Pour tout i ∈ {1, ..., Ncr}, on pose xR_i ∈ H1+s(ω), s > 0, un rel`evement r´egulier de xP_i . τ| ∂ω.

Comme H1+s(ω)⊂ C0_{(ω), Π}

k(xRi ) est bien d´efini.

On a : eλ = e − Ncr X i=1 λixR_i , et eλ,h = Πk(e) − Ncr X i=1

λi_hxR_i,h. D´ecomposons zλ de la fa¸con suivante :

zλ = e − Πk( e ) + Ncr X i=1 ( λi_{h − λ}i) Πk( xRi ) + Ncr X i=1 λi( Πk( xRi ) − xRi ).

4.11. Analyse d’erreur 119

D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, en d´ecomposant cette somme en 2 Ncr + 1 termes, on a

l’in´egalit´e suivante : || zλ||2X_E ≤ (2 Ncr+ 1)  || e − Πk( e )||2X_E + Ncr X i=1 | λih − λi|2|| Πk( xRi )||2X_E + Ncr X i=1 | λi|2|| xRi − Πk( xRi )||2X_E  . ´

Evaluons les trois ensembles de termes du second membre de cette in´egalit´e. • Comme e ∈ H2α−_{(ω), il existe une constante C}

e, > 0 telle que :

|| e − Πk( e )||X_E ≤ Ce,h2α−|| e ||H2α−.

• Comme Πk est continue de C0(ω) dans H1(ω), on a pour tout i :

|| Πk( xRi )||X_E ≤ ||| Π_k||| || xR_i ||H1+s, avec :_{||| Π}k||| = sup F∈X0 , R_E,k : ||F||_X0 E =1 Πk( F ).

En utilisant ce r´esultat ainsi que celui de la proposition 4.13, on arrive `a :

Ncr X i=1 | λi − λih|2|| Πk( xRi )||2X_E ≤ C 0₂ λ ( h2α)2, avec C_λ02 = NcrCλ2||| Πk|||2 max i (|| x R i ||2H1+s).

• Comme ∀i, xRi ∈ H1+s(ω), il existe une constante Cs0 > 0 telle que ∀i :

|| xRi − Πk( xRi )||X_E ≤ C_s0hk|| xR_i ||H1+s, d’o`u : Ncr X i=1 | λi|2|| xRi − Πk( xiR)||2X_E ≤ Cs2h2k, avec C2 s = Ncr max i (|λ i_|2_{) C}0₂ s || xRi ||2H1+s.

Finalement, en prenant C∂ω = max(Ce,|| e ||H2α−, C_λ0 , C_s, )

|| zλ||X_E ≤ C∂ωhmin(2α−,2α,k),

≤ C∂ωh2α−,

o`u C∂ω d´epend de|| e ||H2α− et des|| xR_i ||H1,s.

 • Enfin, r´e´ecrivons zP _{de la fa¸con suivante :}

zP =

Ncr

X

i=1

d’o`u : || zP_|| X_E ≤ Ncr X i=1 | λi − λih| || xPi ||X_E + | λi_h| || xP_i − xP_{i , h}||X_E
, ≤ CP0 h2α + Ncr X i=1 | λih| || xPi − xPi , h||X_E,

o`u CP est une constante qui d´epend des|| xPi ||X_E et de Cλ. Or, les erreurs|| xPi − xPi , h||X_E sont des

erreurs de repr´esentation et d´ependent du nombre de quadratures p utilis´e pour faire les int´egrations num´eriques. D’o`u : <sub>|| x</sub>P<sub>i − x</sub>P<sub>i , h||</sub>X<sub>E</sub> = O( hφ(p)). Cette erreur est n´egligeable par rapport `a celle

faite sur les λi_{. D’o`u :}

|| zP ||X_E ≤ C_Ph2α.

On est alors en mesure de montrer le th´eor`eme 4.12 :

D´emonstration du th´eor`eme 4.12. Nous avons ´etabli que l’erreur _{|| z}0_||X_E est en h2α−1−.

Les erreurs _{|| z}P _||

X_E et || zλ||X_E sont plus faibles. D’o`u, en regroupant les r´esultats des lemmes

4.14 et 4.15, on obtient la majoration (4.52).

 Nous allons maintenant ´etudier l’erreur en norme L2(ω). Pour montrer le th´eor`eme 4.17 ci- dessous, obtenu en utilisant l’astuce d’Aubin-Nitsche, on a besoin du lemme suivant, prouv´e dans la section 14.4 de la partie IV :

Lemme 4.16 Soit f ∈ L2_{(ω). Consid´erons le probl`eme variationnelle suivant :}

Trouver G _{∈ X}0E tel que :

∀ F ∈ X0E, A0(G , F) = (f , F)0. (4.57)

D’apr`es le th´eor`eme de Lax-Milgram, ce probl`eme admet une unique solution qui d´epend continˆument de f . Soit Gh l’approximation de G par la λ-approche. On a alors l’approximation d’erreur suivante

sur le calcul de Gh : ∀ > 0 tel que 2 α − 1 −  > 0 et 2 ( α − 1 ) −  > 0 :

|| G − Gh||X_E ≤ CG|| f ||0h2 α − 1 −  pour α≤ 3/4 ,

|| G − Gh||X_E ≤ C_G|| f ||₀h2 ( 1 − α ) −  pour α≥ 3/4 .

Th´eor`eme 4.17 On suppose qu’il existe  > 0 tel que 2 ( 2 α _{− 1 ) −  > 0, 1 − ε > 0, f,} g _{∈ H}2α−1−_{(ω) et e ∈ H}2α−1/2−_{(∂ω). Alors, il existe une constante C}0

 > 0 qui ne d´epend que

de  telle que :

|| E − Eh||0 ≤ C0h2 (2 α − 1 ) −  pour α≤ 3/4 ,

|| E − Eh||0 ≤ C0h1 −  pour α≥ 3/4 .

(4.58)

D´emonstration.

• Consid´erons tout d’abord le probl`eme suivant : Trouver G _{∈ X}0

E tel que :

∀ F ∈ X0E, A0( G , F ) = ( E − Eh, F )0. (4.59)

Comme (E_{− E}h)∈ L2(ω), on est dans le cadre du lemme 4.16. Soit  > 0 tel que 2 α− 1 −  > 0

et 2 ( 1 _{− α ) −  > 0. L’approximation de G par la λ-approche est telle que :} || G − Gh||X_E ≤ C_G|| E − E_h||₀h2 α − 1 −  pour α≤ 3/4 ,

|| G − Gh||X_E ≤ CG|| E − Eh||0h2 ( 1 − α ) − pour α≥ 3/4 .

4.11. Analyse d’erreur 121

• Maintenant, nous allons majorer || E − Eh||0 `a l’aide de || G − Gh||X0

E. Notons d’abord

qu’en prenant comme fonction test Gh dans (2.43) et dans (4.41)-(4.42), on a l’´egalit´e suivante :

( E , Gh)X0

E = ( Eh, Gh)X0E, (4.61)

ce qui nous permet d’obtenir que : ( E _{− E}h, Gh)X0

E = 0. C’est la propri´et´e d’orthogonalit´e de

Galerkin. D´ecomposons_{|| E − E}h||20 ainsi :

|| E − Eh||20 = A0( G , E − Eh) = A0( E − Eh, G ) , = ( E _{− E}h, G )X0 E − ( E − Eh, Gh)X0E, = ( E _{− E}h, G − Gh)X0 E, ≤ M || E − Eh||X0

E|| G − Gh||X0E, o`u M est la constante de coercivit´e de A0;

≤ M Ch2 α − 1 − || G − Gh||X0 E, d’apr`es le th´eor`eme 4.12, ≤    M CCGh2 ( 2 α − 1 ) − || E − Eh||0, pour α≤ 3/4 , M CCGh2 α − 1 + 2 ( 1 − α ) − || E − Eh||0, pour α≤ 3/4 , d’apr`es (4.60).

Posons C_0 = M CCG. En divisant la derni`ere in´egalit´e par || E − Eh||0, on obtient (4.58).

 Remarque 4.18 Si n´ecessaire (en particulier, dans le cas o`u α est proche de 1/2), il est possible d’am´eliorer la vitesse de convergence : en raffinant localement le maillage, ou en calculant explicite- ment les termes singuliers suivants du champ [86], ou encore en calculant avec pr´ecision la solution au voisinage des coins de ∂ω `a l’aide d’op´erateurs Dirichlet-Neumann [8].