Espaces fonctionnels du probl`eme en temps

7.6

Espaces fonctionnels du probl`eme en temps

Lorsqu’on r´esout les ´equations de Maxwell instationnaires, le champ ´electrique d´epend `a la fois du temps t et de la variable d’espace x. On distingue ces deux variables. En g´en´eral, on s’int´eresse aux valeurs prises par le champ en un instant donn´e : on ´etudie par exemple x→ E(x, t0), o`u t0

est fix´e. On peut se contenter de d´efinir alors deux types d’espaces fonctionnels et une classe de distributions `a valeurs vectorielles.

Soit T > 0 un temps final donn´e, m ∈ N, X un espace de Banach et H un espace de Hilbert, de variable x tous deux.

D´efinitions 7.8 • Cm_{(0, T ; X) d´esigne l’ensemble des fonctions de classe C}m _{sur [ 0 , T ] `a valeurs}

dans X. C’est un espace de Banach muni de la norme : || u ||Cm_{( 0 , T ; X )} := m X k=0 sup t∈[0,T ]|| ∂ k tu(t)||X. (7.16)

• L’espace L2_{( 0 , T ; X ) est l’ensemble des fonctions mesurables de carr´e int´egrable sur ] 0 , T [ `a}

valeurs dans X. C’est un espace de Banach, muni de la norme : || u ||L2_{( 0 , T ; X )} :=  Z T 0 || u ( . , t ) || 2 Xdt 1/2 . (7.17)

Si X = H, l’espace L2_{( 0 , T ; X ) est un espace de Hilbert muni du produit scalaire :}

( u , v )_L2_{( 0 , T ; X )} :=

Z T

0

( u ( . , t ) , v ( . , t ) )_H dt . (7.18)

• L’espace des distributions sur ] 0 , T [ `a valeurs dans X, not´e D0( ] 0 , T [ ; X ) est l’ensemble des applications lin´eaires et continues de D( ] 0 , T [ ) dans X.

Par convention, on ´ecrira que ∂m

Chapitre 8

Le probl`eme statique

3D direct

continu

8.1

Introduction

Le domaine Ω repr´esente l’int´erieur vide d’un conducteur parfait, qu’on borne si besoin est par une fronti`ere artificielle ΓA ne coupant pas de singularit´es g´eom´etriques. La fronti`ere ∂Ω est dans

ce cas compos´ee de deux parties : ∂Ω = ΓC∪ ΓA, o`u ΓC est le conducteur parfait.

Dans cette configuration, le champ ´electrique bidimensionnel satisfait_{E × ν = 0 sur Γ}C et E × ν =

e∗_{× ν + c ( B × ν ) × ν sur Γ}A, avec :

- Pour une condition aux limites d’onde entrante : e∗_{× ν = e}i× ν, o`u ei est une donn´ee,

- Pour une condition aux limites absorbante : e∗_{× ν = 0.}

Posons_{E × ν = e × ν. On suppose que e × ν est connu (c’est-`a-dire que (ν × B) × ν|ΓA} est connu). Consid´eronsVΓA, un voisinage de ΓA ne contenant pas de singularit´e.

Localement, _E|V

ΓA ∈ H

1_(V

ΓA) [36], (rem. 1, p. 562), d’apr`es [5], (thm. 2.9 p. 829 et thm. 2.12 p.

830). De plus, e× ν| ΓC = 0, et d’apr`es [36] (prop. 2.7 p. 15), e× ν| ΓA ∈ H

1/2

⊥ (ΓA). D’o`u, en

prolongeant e_{× ν}| ΓA par 0 sur ΓC, on a : e× ν|∂Ω ∈ H

1/2

⊥ (∂Ω). Ainsi, dans la suite de cette partie,

on consid`ere toujours que :

E × ν sur ∂Ω est donn´e par e × ν ∈ H1/2⊥ (∂Ω),

s’annulant au voisinage des coins et des arˆetes rentrants de Ω.

Notons que comme_{E ∈ H(rot , Ω), on a aussi e × ν|∂Ω∈ H}−1/2_k (div∂Ω, ∂Ω). Cette hypoth`ese n’est

en aucun cas restrictive, et correspond `a une r´ealit´e de la mod´elisation. En effet, comme on l’a mentionn´e plus haut, on peut toujours placer la fronti`ere artificielle de fa¸con `a ne pas couper les singularit´es g´eom´etriques. On en d´eduit imm´ediatement la proposition suivante :

Proposition 8.1 ΓA ne coupant pas de singularit´e g´eom´etrique, il existe un rel`evement r´egulier

Er_{∈ H}1_{(Ω) de e× ν tel que : E}r_{× ν}

|∂Ω = e× ν|∂Ω sur ∂Ω.

Au contraire du cas bidimensionnel, on ne peut pas facilement construire de rel`evement comme d´ecrit dans la d´emonstration de la proposition 2.2.

Nous ´etudions le probl`eme quasi-´electrostatique tridimensionnel, qui s’´ecrit math´ematiquement de la fa¸con suivante :

TrouverE ∈ XE tel que :

rot_{E = f} dans Ω f _{∈ L}2(Ω), (8.1)

divE = g dans Ω g∈ L2(Ω), (8.2)

E × ν = e × ν sur ∂Ω e× ν ∈ L2t(∂Ω), (8.3)

o`u f = ∂tB et g = ρ/ε0 sont connus. Lorsque le probl`eme est statique, f = 0.

En vertu de la relation (7.4), div f = 0, d’o`u f ∈ H(div0_{, Ω). D’autre part, on a la relation de}

compatibilit´e suivante entre e et f (propri´et´e 7.4).

f. ν_{| ∂Ω} = rot_{E . ν| ∂Ω} = div∂Ω(e× ν| ∂Ω) . (8.4)

D´efinitions 8.2 On appelle la norme du graphe (ou norme naturelle) deXE la quantit´e suivante :

||v||0,rot ,div ,L2 t(∂Ω):=  ||v||20+||rot v||20+||div v||20+ Z ∂Ω|v × ν| 2_dΣ 1/2 . On appelle la semi-norme deXE la quantit´e suivante :

|v|rot_{,div ,L}2 t(∂Ω) :=  ||rot v||20+||div v||20+ Z ∂Ω|v × ν| 2_dΣ 1/2 . P. Fernandez et G. Gilardi ont montr´e dans [61] le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 8.3 L’injection de _XE dans L2(Ω) est compacte.

Ce th´eor`eme permet de montrer le lemme suivant :

Lemme 8.4 Il existe une constante C > 0 ne d´ependant que de Ω telle que : ∀v ∈ XE ,||v||0 ≤ C|v|rot,div ,L2

t(∂Ω). (8.5)

D´emonstration. Raisonnons par l’absurde. Supposons que _{∀n ∈ N}∗, il existe vn∈ XE tel que :

||vn||0 = 1 et |vn|rot_{,div ,L}2 t(∂Ω) ≤

1

n. (8.6)

La suite (vn)n∈N∗ est born´ee dansX_E. Comme l’injection deX_E dansL2(Ω) est compacte, il existe

une sous-suite extraite de (vn)n∈N∗, que l’on assimile `a (v_n)_n∈N∗, qui converge fortement dans

L2_{(Ω) vers v. On en d´eduit que (div v}

n)n∈N∗ et (rot v_n)_n∈N∗ convergent au sens des distributions

vers div v et rot v respectivement. D’apr`es (8.6), on obtient la convergence forte dansL2_{(Ω) et la}

valeur de la limite : _

rot vn → rot v = 0 dans L2(Ω) ,

div vn → div v = 0 dans L2(Ω) .

On a alors vn → v dans H(rot0, Ω) ∩ H(div0, Ω). On en d´eduit la convergence de la trace :

vn × ν|∂Ω → v × ν|∂Ω dans H−1/2k (div∂Ω, ∂Ω). D’apr`es (8.6), on a v× ν|∂Ω = 0 au sens des

distributions.

Ω est simplement connexe et v _{∈ L}2_{(Ω) est tel que rot v = 0 dans Ω. On en d´eduit qu’il existe}

un unique p_{∈ H}1_{(Ω) tel que v = grad p [65] (thm. 2.9, p. 31). Comme grad p× ν}

| ∂Ω = 0, p est

constant sur chaque composante connexe de ∂Ω [65] (rem. 1.3, p. 35). Posons a sa valeur. p satisfait alors le probl`eme de Dirichlet homog`ene suivant :

8.1. Introduction 165

Trouver p∈ H1_{(Ω) tel que :}



∆p = 0 dans Ω, p| ∂Ω = a sur ∂Ω.

D’apr`es le th´eor`eme de Lax-Milgram, ce probl`eme admet une unique solution : p = a dans Ω. On en d´eduit que v = grad p = 0. Comme vn→ v dans L2(Ω), on a n´ecessairement ||v||0 = 1, et donc

v_{6= 0, ce qui contredit la conclusion pr´ec´edente.}

 On en d´eduit alors le th´eor`eme qui suit :

Th´eor`eme 8.5 Dans XE, la semi-norme est ´equivalente `a la norme du graphe : la semi-norme

d´efinit une norme sur _XE.

D´emonstration. du th´eor`eme 8.5 L’in´egalit´e (8.5) permet de montrer que : C0_{||v||0,rot ,div ,L}2

t(∂Ω)≤ |v|rot,div ,L2t(∂Ω) ≤ ||v||0,rot ,div ,L2t(∂Ω), avec : C

0 _{= 1/}p_C2_{+ 1 .}

Les normes_{||v||0,rot ,div ,L}2

t(∂Ω) et |v|rot,div ,L2t(∂Ω) sont donc ´equivalentes.

 D´efinitions 8.6 On peut d´efinir la norme de XE par :

||v||XE =  ||rot v||20+||div v||20+ Z ∂Ω|v × ν| 2_dΣ 1/2 . Le produit scalaire dans _XE ´etant ainsi d´efini :

( u , v )XE = ( rot u , rot v )0 + ( div u , div v )0 +

Z ∂Ω (u_{× ν) . (v × ν) dΣ} = Z Ω rot u. rot v dΩ + Z Ω div u div v dΩ + Z ∂Ω (u_{× ν) . (v × ν) dΣ.} X0

E ´etant un sous-espace de XE, sa norme est d´efinie par :||v||XE = ||rot v||20+||div v||20

1/2

. Le produit scalaire dans X0

E est d´efini de la fa¸con suivante :

( u , v )_X0

E = ( rot u , rot v )0 + ( div u , div v )0 =

Z Ω rot u. rot v dΩ + Z Ω div u div v dΩ . Remarque 8.7 Lorsque Ω n’est pas connexe, il apparaˆıt un terme suppl´ementaire dans la norme : c’est la charge sur chaque composante connexe Γk, ´egale `a

Z Γk u. ν dΣ Z Γk v. ν dΣ. Cela correspond `

a la valeur du potentiel ´electrostatique `a la surface de chaque conducteur parfait [36]. Posons_E0 = _{E − E}r. _E0 _{∈ XE}0 satisfait les ´equations suivantes :

rot_E0= f0 dans Ω f0 _{∈ L}2(Ω) , (8.7)

div_E0 = g0 dans Ω g0 _{∈ L}2(Ω) , (8.8)

avec f0 _{= f − rot E}r _{et g}0 _{= g− div E}r_{. La relation de compatibilit´e (8.4) devient : f}0_{. ν}

|∂Ω= 0,

d’o`u :

f0_{∈ H0}(div0, Ω) . (8.9)

Lorsque f = 0 et e = 0, le probl`eme (8.1)-(8.3) peut ˆetre r´esolu par calcul du potentiel statique, φ0 ∈ H01(Ω) tel que : −∆φ0 = g. Le d´eveloppement de cette m´ethode fera l’objet des sections 8.2

D’autre part, le probl`eme (8.1)-(8.3) peut se r´esoudre num´eriquement par les ´el´ements finis de Lagrange continus Pk, en calculant E directement dans XE. Cette m´ethode sera d´etaill´ee dans les

sections 8.3 (probl`eme continu) et 10.3 (probl`eme discr´etis´e).

Il est aussi possible de calculerE0 _{par les ´el´ements finis Lagrange continus P}

k dansXE0 si Ω est

convexe : voir les sections 8.4 (probl`eme continu) et 10.4 (probl`eme discr´etis´e). Lorsque Ω n’est pas convexe, le calcul de_E0par les ´el´ements finis de Lagrange continus dans_XE0ne converge pas car on ne capte pas les parties singuli`eres du champ ´electrique. En revanche, il converge dans l’espace `a poids X0

E , γ, comme c’est d´etaill´e dans les sections 8.5 (probl`eme continu) et 10.5 (probl`eme discr´etis´e).

On peut adapter la m´ethode du compl´ement singulier dans le cas d’un domaine prismatique, ce qui fait l’objet des sections 8.6 (probl`eme continu) et 10.6 (probl`eme discret).