Champ électrique 2D : la régularisation à poids

2.4.7 Conclusions sur la m´ethode du compl´ement singulier

La λ-approche est une nouvelle m´ethode de d´ecomposition de X0Enon-conforme, et dont l’ori-

ginalité par rapport au travail de C. Hazard et S. Lohrengel [68] repose sur le fait qu’on ne requiert pas de fonction de troncature. Celle-ci est remplacée par une condition aux limites non-homogène. L’intérêt de la λ-approche pour la MCSO, qui est incontournable si on veut traiter le cas instation- naire, est qu’elle permet de calculer une meilleure approximation des xS_i que l’approximation par dérivation des potentiels.

Pour les problèmes quasi-statiques, la λ-approche et la MCSO sont identiques. Elles donnent des résultats numériques compétitifs en terme de précision (voir le chapitre 6), et se généralisent au cas de pointes coniques à base régulière [63]. Dans les domaines tridimensionnels généraux, les singularités électromagnétiques sont difficilement discrétisables, les singularités de coin et d’arête étant liées entre elles [52]. Néanmoins, dans le cas d’un ouvert prismatique [42], ainsi que dans le cas d’un domaine axisymétrique [76], on peut adapter ces méthodes en utilisant une décomposition en série de Fourier (voir la section 8.6).

Dans le cas dépendant du temps, on n’a plus les mêmes résultats de régularité pour la MCSO, car on ne sait pas si les parties de régularité H1−α−(ω) de eE0 et de P_iciexSi se compensent.

Cependant, pour am´eliorer la pr´ecision, on peut faire les calculs en exprimant explicitement les termes en r1−α.

2.5 Champ ´electrique

2D : la r´egularisation `a poids

Dans cette section, nous présentons essentiellement les résultats obtenus par M. Costabel et M. Dauge dans [53] dans le cas harmonique. Nous avons vu que lorsque ω est non convexe, l’espace X0E∩ H1(ω) est fermé et strictement inclus dans X0E, ce qui implique que la solution du problème

discrétisé par les élements finis de Lagrange P_k dans l’espace X0

E ne converge pas vers la bonne

solution. D’autre part, dans l’espace XE, la condition aux limites tangentielle est naturelle, mais

pas essentielle, ce qui limite en pratique la vitesse de convergence de la solution discrétisée. L’idée est de déterminer un espace intermédiaire X, dans lequel la condition aux limites tangentielle est essentielle, et tel que X∩ H1_{(ω) soit dense dans X (afin d’obtenir la convergence des éléments finis de}

Galerkin dans X). On s’int´eresse aux espaces X de la forme : X = _{{ u ∈ H}0(rot , ω) : div u ∈ V }.

La forme bilinéaire associée à cet espace pour la résolution de (2.6)-(2.7) est la suivante :

AX : X× X → R

( E , F ) _{7→ ( div E , div F )}V + ( rot E , rot F )0,

o`u ( . , . )V est le produit scalaire dans V .

La formulation variationnelle de (2.1)-(2.3) dans X s’´ecrit (FVX) : Trouver E0 _{∈ X tel que :} ∀ F ∈ X , AX( E0, F ) = ( g0, div F )_V + ( f0, rot F )₀.

Nous voulons d´eterminer les espaces V tels que :

- il existe une solution unique à (FVX), qui soit équivalente à (2.1)-(2.3) ; - X _{∩ H}1_{(ω) soit dense dans X.}

2.5.1 Condition pour obtenir la coercivit´e

Pour appliquer le théorème de Lax-Milgram à (FVX), il faut rendreAXcoercitive sur X. D’une

part, V doit être un espace de type L2_{. D’autre part, comme les éléments de H}

divergence dans H−1(ω), on cherche V ⊂ H−1_{(ω). Pour des raisons pratiques, on limite le choix}

aux espaces à poids de la forme : V = u _{∈ L}2_loc(ω) : w u _{∈ L}2(ω) , où w _{∈ C}∞(ω, R+) est borné dans ¯ω. A priori V contient L2_{(ω) : L}2_(ω) _{⊂ V ⊂ H}−1_{(ω). Le produit scalaire dans V}

s’´ecrit : ( u , v )0 =

w2u v dω, et la norme correspondante est : _{|| u ||}V =

w2u2dω 1/2

Proposition 2.56 Lorsque l’injection de X dans L2(ω) est compacte, la norme du graphe dans X est équivalente à la semi-norme. La norme dans X est alors définie ainsi :

|| u ||X = || rot u ||2₀ + || div u ||2_V

1/2

. (2.67)

D´emonstration. On proc`ede par l’absurde. Soit ( un)nune suite de X telle que :| un|rot ,div → 0

et _{|| u}n||0 = 1, c’est-`a-dire :

div un → 0 dans V ,

rot un → 0 dans L2.

La suite ( un)nétant bornée dans X, et l’injection de X dans L2(ω) étant compacte, il existe une

sous-suite, encore not´ee ( un)nde X qui converge dans L2(ω). Soit u sa limite. On a la convergence

forte de ( un)n vers u dans L2(ω) `a cause de l’injection compacte. On en d´eduit que || u ||0 = 1.

En utilisant les formules d’intégration par parties classiques, les conditions aux limites homogènes et par passage à la limite et unicité de celle-ci, on a :

< div u , φ >D0_,D = − Z ω u. grad φ dω =− lim n→+∞ Z ω un. grad φ dω = _{− lim} n→+∞ Z ω div unφ dω = 0 , ∀φ ∈ D(ω) , < rot u , φ >D0_,D = Z ω u. rot φ dω = lim n→+∞ Z ω un. rot φ dω = _{− lim} n→+∞ Z ω rot unφ dω = 0 , ∀φ ∈ D(ω) .

Ainsi, rot u = 0 et div u = 0 dans X. D’après [65], la trace tangentielle est continue dans H(rot , ω). Comme un. τ|∂Ω = 0, on en déduit que : u . τ|∂Ω = 0. Ainsi, u ∈ H0(rot0, ω), et donc d’après la

proposition 1.3, il existe un unique φ∈ H1

0(ω) tel que grad φ = u. Comme ∆φ = div u = 0, alors

φ = 0, et donc_{|| u ||}0 = 0, ce qui contredit l’hypoth`ese de d´epart.

En pratique, cela permet d’obtenir la coercivit´e de la forme bilin´eaire AX, qui est alors le produit

scalaire dans X. Déterminons V tel que l’injection de X dans L2(ω) soit compacte. Pour cela, considérons la décomposition de Helmholtz suivante :

Lemme 2.57 On peut décomposer X sous la forme : X = VE ⊥ ⊕ W, où : W = { u : = grad u , u ∈ ΦV } avec ΦV = u ∈ H01(ω) : ∆u ∈ V , ce qui s’écrit aussi : W = u _{∈ H}0(rot0, ω) : div u ∈ V .

Démonstration. Cette décomposition correspond à la décomposition de Helmholtz (2.17) de X0E : considérons F ∈ X. Alors F = FN + FD, où :

- FN = rot φN, φN satisfaisant (2.16), avec la donn´ee rot F ∈ L20(ω) ;

- FD = −grad φD, φD satisfaisant : Trouver φD ∈ H01(ω) tel que : −∆φD = div F dans V .

L’injection de VEdans L2(ω) est compacte [8]. Comment obtenir l’injection compacte de W dans

2.5. Champ électrique 2D : la régularisation à poids 79

Proposition 2.58 Si l’injection de V dans H−1(ω) est compacte, alors l’injection de W dans L2(ω) l’est aussi.

D´emonstration. Comme V _{⊂⊂ H}−1(ω), alors ΦV ⊂⊂ H1(ω), d’o`u W ⊂⊂ L2(ω).

Des propositions 2.56 et 2.58, on déduit le théorème suivant :

Théorème 2.59 Si l’injection de V dans H−1(ω) est compacte, alors (2.6)-(2.7) est équivalent à (FVX).

Démonstration. D’après la proposition 2.58, l’injection compacte de V dans H−1(ω) permet d’obtenir l’injection compacte de W dans L2(ω), et donc d’après la proposition 2.56, AX est

coercitive. L’équivalence entre le système d’équations (2.6)-(2.7) et la formulation variationnelle (FVX) se montre de la même fa¸con que la proposition 2.23 et nécessite la décomposition du lemme 2.57.

En conclusion, afin d’obtenir l’´equivalence entre la norme du graphe et la semi-norme (2.67) dans X, et donc la coercivit´e de_AX, on cherche V tel que l’injection de V dans H−1(ω) soit compacte.

Nous allons maintenant voir sous quelles conditions sur V l’espace X ∩ H1_{(ω) est dense dans X.}

2.5.2 Condition pour obtenir la densité des éléments finis

Nous avons vu qu’il existe une décomposition de Helmholtz de X. On peut aussi décomposer les éléments de X en une partie H1_{-régulière et une partie qui n’est pas H}1_.

Théorème 2.60 On a la décomposition suivante : X = X0 , RE ⊕ W := X

0 , R

E ⊕ grad ΦV .

D´emonstration. Soit u ∈ X. D’apr`es le lemme 2.57, il existe φu ∈ Φ_V et v ∈ VE tels que :

u = v + grad φu. D’apr`es [18], comme v ∈ VE, il existe u0 ∈ X0 , RE et φv ∈ ΦD tels que :

v = u0 + grad φv. Or ΦD ⊂ ΦV. En posant φ = φu + φv, on a donc :

u = u0 + grad φ, avec u0 ∈ X0 , RE et φ ∈ ΦV soit : grad φ ∈ W .

Pour avoir la densité des fonctions régulières dans X, on cherche à avoir X0 , RE dense dans X. Pour

cela, d’après la décomposition du théorème 2.60, il nous faut la densité de X0 , R_E dans W. Ceci est possible si ΦV ∩ H2(ω) est dense ΦV. Notons que : ΦV ∩ H2(ω) = ΦRD :={φ ∈ H2(ω)| φ|∂ω = 0}.

Plus précisement, on a le théorème fondamental suivant qui est un corollaire de la décomposition du théorème 2.60 :

Th´eor`eme 2.61

1) Si ΦR_D est dense dans ΦV pour la norme du graphe, alors X0 , RE est dense dans X.

2) ΦR

D est ferm´e dans ΦV si et seulement si X 0 , R

E est ferm´e dans X.

3) ΦV ⊂ ΦRD si et seulement si X = X 0 , R E .

Dans le second cas, bien sˆur si ΦR_D est diff´erent de ΦV, on ne peut pas approcher la solution de

(FVX) par les éléments finis, car on ne capte pas la partie singulière du champ. Le dernier cas correspond à un domaine ω convexe, car ΦV ∩ H2(ω) = ΦV, il n’y a pas de singularité. Nous

sommes intéressés par le premier cas. On se limite aux poids de la forme w = rγ, où γ > 0 et l’on pose : V = V_γ0, défini par (1.8). V_γ0 peut se définir aussi de la fa¸con suivante :

V_γ0 = u ∈ D0(ω) : u ∈ L2(ω\ωc) et rγu ∈ L2(ωc) ,

où ωc est un voisinage donné du coin rentrant inclus dans ω. On écrira le produit scalaire dans Vγ0

ainsi :

∀ u , v ∈ Vγ0, ( v , u )0 , γ =

r2γu v dω (2.68)

Lorsque γ > 1, la condition V_γ0⊂ H−1_{(ω) n’est plus respect´ee. La valeur limite de γ est donc 1.}

Soit X0

E_{, γ} l’espace vectoriel suivant : X0E_{, γ} =

u _{∈ H}0(rot , ω) : div u ∈ Vγ0

Considérons Φγ = { φ ∈ H01(ω) : ∆φ ∈ Vγ0}. D’après le théorème 2.60, X0E, γ = X0 , RE ⊕ Wγ,

o`u Wγ = grad Φγ.

Posons XE_{, γ} = { u ∈ H(rot , ω) : div u ∈ V_γ0, u_τ ∈ L2(∂ω)}. On appelera A_γ la forme bilin´eaire

Aγ : XE_{, γ}× XE_{, γ} → R

( E , F ) _{7→ ( div E , div F )}0 , γ + ( rot E , rot F )0.

Aγ restreinte à X0E_{, γ}×X0E_{, γ} est coercitive, à condition qu’on obtienne l’équivalence entre la norme

du graphe et la semi-norme dans X0E_{, γ}. Aγ d´efinit alors le produit scalaire dans X0E_{, γ}.

2.5.3 Choix du poids

Proposition 2.62 L’injection de V_γ0 dans H−1(ω) est compacte si et seulement si γ < 1.

D’après le théorème 2.59, cette première condition sur γ entraˆıne la coercivité de_Aγ. Notons que

lorsque γ = 1, X0E_{, γ} ' H0(rot , ω). Or l’injection de H0(rot , ω) dans L2(ω) n’est pas compacte.

Concernant la condition sur γ pour avoir la densit´e de ΦR

D dans Φγ, int´eressons-nous au r´esultat

Proposition 2.63 Quel que soit γ, les fonctions C∞(¯ω) `a trace nulle sur ∂ω sont denses dans V2

γ ∩ H01(ω).

Le th´eor`eme fondamental suivant nous donne les valeurs de γ telles que Φγ ⊂ Vγ2 :

Théorème 2.64 Pour tout γ tel que : 1 _{− α < γ ≤ 1, l’opérateur ∆ est un isomorphisme de} V_γ2 ∩ H1

0(ω) dans Vγ0. De plus, H2(ω)∩ H01(ω) est dense dans Φγ.

Lorsque γ vérifie l’encadrement du théorème, pour tout u ∈ V0

γ, il existe donc une unique solution

dans V_γ2 _{∩ H}₀1(ω) au probl`eme :

Trouver φ _{∈ H}₀1(ω) tel que _{− ∆φ = u dans ω .}

D’après la proposition 2.63, on obtient ainsi la densité des fonctions régulières dans Φγ, et par

cons´equent, la densit´e de X0

E_{, γ} ∩ H1(ω) dans X0E_{, γ}.

Dans le document Résolution des équations de Maxwell avec des éléments finis de Galerkin continus (Page 78-82)