M´ethode classique pour la d´etection des BAOs

paramètre de dilatation introduit dans la section 2.2.5 et B est un paramètre d’amplitude constant dans la fonction de corrélation.

Ces simulations vont nous permettre d’obtenir une matrice de covariance r´ealiste Cθ pour ˆξ en

fonction de θ. On va d’abord vérifier l’absence de biais dans l’estimateur de Landy-Szalay et pour différents modèles cosmologiques utilisées dans les simulations. On va également vérifier la validité de l’hypothèse de Gaussianité sur ˆξ. Il ne restera donc qu’à étudier la validité de l’approximation de Cθ

par une matrice constante C dans les hypoth`eses_H0et H1 de la m´ethode classique.

En considérant des hypothèses avec une matrice de covariance constante C, on verra que la méthode classique du χ2 _{donne effectivement une bonne approximation de la vraie significativité. Toutefois}

lorsque l’on va consid´erer des hypoth`eses avec la matrice de covariance Cθ de nos simulations, on

verra que la méthode classique du χ2 _{donne des significativités grossièrement incorrectes. Cela va}

notamment montrer que l’approximation de Cθ par une matrice constante C fausse grandement la

proc´edure de d´etection des BAOs.

On proposera une nouvelle méthode qui permet d’obtenir des significativités rigoureuses, même dans le cas d’hypothèses réalistes avec la matrice Cθ, et qui utilise une statistique ∆l donnant de

meilleures significativit´es dans ce cas.

5.2 M´ethode classique pour la d´etection des BAOs

La méthode standard pour détecter les BAOs est basée sur la statistique du χ2_{. A la différence}

des méthodes basées sur les ondelettes, cette méthode est très dépendante du modèle, et elle est donc surtout utile quand tous les effets intervenant dans la fonction de corrélation sont bien compris et modélisés.

5.2.1 La statistique du χ

Pour une fonction de corrélation estimée ˆξ ∼N (ξm, C) de dimension n, la statistique du χ2s’écrit :

χ2 = D ˆξ_{− ξ}m, C−1( ˆξ− ξm) E (5.13) = X 1≤i,j≤n h ˆ_ξ(r_i₎_{− ξ}_m_(r_i₎i Ci,j−1h ˆξ(rj)− ξm(rj) i (5.14)

En supposant que le mod`ele est correct (i.e. ˆξ ∼N (ξm, C)), la statistique du χ2 suit une loi χ2n,

i.e. une loi du χ2 _{à n degrés de liberté. La loi χ}2

n peut s’interpr´eter comme celle qui est suivie par

le carré de n variables Gaussiennes centrées réduites. Ainsi si X1, . . ., Xn sont de telles variables

ind´ependantes, alorsPn

k=1Xk2 suit une loi χ2n.

5.2.2 La m´ethode du χ

_{pour la d´}_{etection des BAOs}

Montrons comment fonctionne la procédure qui est utilisée classiquement pour la détection des BAOs. On note θ = (θ1, . . . , θk)∈ Θ les paramètres dont dépendent les fonctions de corrélation avec

et sans BAOs, ξBAO,θ et ξnoBAO,θ. Les hypoth`eses sont donn´ees par :

H0 : ∃ θ ∈ Θ t.q. ˆξ ∼N (ξnoBAO,θ, C)

H1 : ∃ θ ∈ Θ t.q. ˆξ ∼N (ξBAO,θ, C)

La méthode du χ2_{teste des hypothèses avec une matrice de covariance constante C. Les paramètres}

de θ ne représentent pas directement les paramètres cosmologiques usuels mais ils leur sont liés. Par exemple dansEisenstein et al.(2005), ils sont donnés par un paramètre de dilatation α (pour modéliser l’effet d’une cosmologie fiducielle pour convertir les redshift en distances), un paramètre d’amplitude B = b2_{(pour modéliser l’effet du biais des galaxies par rapport `}_{a la matière, des redshift distortions, et}

pour le normalisation du spectre de puissance σ8), et le paramètre ωm= Ωmh2(qui détermine l’échelle

de l’horizon à l’époque de l’égalité matière-radiation, l’amplitude du pic BAO et plus modérément la position du pic). D’autres paramètres ont aussi un impact sur la vraie fonction de corrélation (ωb = Ωbh2 et l’indice spectral n), mais ils sont mieux contraints pas les mesures sur le CMB et on

de corr´elation est affine (voir annexe B.2) .

Ce résultat peut être utilisé avec minθχ2BAO,θ pour vérifier que la mesure est compatible avecH1.

Plus pr´ecis´ement, on peut tester si minθχ2BAO,θ est compatible avec la distribution χ2n−k suivie par

cette variable siH1 est vraie :

min

θ χ

BAO,θ∼ χ2n−k siH1est vraie (5.17)

Pour rejeter l’hypoth`ese _H0, la proc´edure habituelle est plus complexe. Pour comprendre cette

procédure, on doit ajouter un paramètre artificiel dans le fit, afin de réunir les 2 classes de modèles. Par exemple ce paramètre, que l’on va nommer β, peut être une pondération de ξBAO,θ et ξnoBAO,θ

dans le mod`ele de fonction de corr´elation :

ξβ,θ= β ξBAO,θ+ (1− β) ξnoBAO,θ (5.18)

Sous H0, la vraie fonction de corrélation (l’espérance de la fonction de corrélation mesurée E[ˆξ]

s’il n’y a pas de biais) est de la forme ξnoBAO,θ pour la vrai valeur du param`etre θ = θ0. Mais elle

est ´egalement de la forme ξβ,θ avec β = 0 et θ = θ0. Ainsi le meilleur fit χ2 dans la classe non-BAO

suit une loi χ2

n−k, et le meilleur fit χ2 dans la classe ´etendue suit une loi χ2n−(k+1)(puisque β est un

param`etre additionnel).

On est dans le cas de 2 classes de modèles imbriquées, qui contiennent toutes les 2 le vrai modèle. Dans ce cas la différence entre les valeurs de meilleur fit suit une loi du chi-carré avec un nombre de degré de liberté égal à la différence du nombre de paramètres entre les 2 classes. A nouveau ce résultat n’est pas rigoureusement valide dans le cas général, mais seulement si les espaces des modèles de fonctions de corrélation sont affines (voir annexe B.2).

Ici il n’y a qu’un paramètre additionnel, β, dans la classe étendue. Ainsi la différence des meilleurs fit du χ2_{suit une loi χ}2

1 : ∆χ2global= min θ χ 2 noBAO,θ− min β,θ χ 2 β,θ∼ χ21 (5.19)

Ceci montre qu’ajouter un paramètre additionnel, qui n’est pas requis par le vrai modèle, ne fait que décroˆıtre modérément la valeur du meilleur fit. Pour rejeter _H0, on peut regarder la différence

∆χ2

global et calculer la probabilit´e d’obtenir une telle valeur sousH0, i.e. pour une loi χ21.

En pratique, le meilleur fit dans la classe étendue est remplacée par le meilleur fit dans la classe BAO (i.e. en restreignant à β = 1) :

∆χ2_{= min} θ χ 2 noBAO,θ− min θ χ 2 BAO,θ (5.20)

Cette différence ∆χ2 _{est nécessairement inférieure à ∆χ}2

global de l’´equation (5.19), qui suit une loi

χ2

1 sousH0. En effet on a minθχ2BAO,θ≥ minβ,θχ2β,θet donc ∆χ2≤ ∆χ2global.

Ainsi pour une r´ealisation avec une valeur donn´ee ∆χ2_{= x, on a :}

P (∆χ2> x_{| H}0)≤ P (∆χ2global> x| H0) (5.21)

3. Rappelons que la fonction de corrélation mesurée ˆξ et la fonction de corrélation théorique ξm(θ) sont des vecteurs n-dimensionnels, i.e. sont des versions discrétisées de leur équivalent continu. Donc l’ensemble des modèles de corrélation (ξm(θ))_θ∈Θconstitue un sous-espace de Rn_{, qui a doit ˆ}_{etre un espace affine de dimension k pour que le r´}_{esultat mentionn´}_e soit valide.

5.2 M´ethode classique pour la d´etection des BAOs 93

Une loi χ2

1 est simplement la loi suivie par la carré d’une variable normale centrée réduite. Si l’on

note Φ la fonction cumulative d’une fonction Gaussienne centr´ee r´eduite, comme ∆χ2global ∼ χ21, on

obtient pour x_{≥ 0 :}

P (∆χ2> x_{| H}0)≤ P (∆χglobal2 > x| H0) = 2Φ(−√x) (5.22)

ce qui correspond à un nombre de σ égal à√x pour une loi normale. Ainsi, quand ∆χ2_{≥ 0, on peut}

évaluer la significativité de la détection des BAOs commep∆χ2_.σ.

Dans Eisenstein et al. (2005) cette statistique est ´egale `a ∆χ2 _{= 11.7, ce qui correspond `}_{a une}

détection à 3.4σ avec cette méthode. DansPercival et al. (2010) elle est égale à ∆χ2= 13.1, correspondant à une détection à 3.6σ.

A cause de l’inégalité dans l’équation (B.12) la méthode peut sembler conservatrice. Cependant comme les hypothèse de la méthode ne sont pas vérifiées, on verra dans la section 5.5.1 que la méthode peut en fait surestimer la significativité.

5.2.3 Limitations de la m´ethode du χ

Le lemme de Neyman-Pearson indique que lorsque l’on effectue un test d’hypoth`eses entre _H0 et

H1, le test le plus puissant est bas´e sur le rapport de vraisemblance :

Λ( ˆξ) = LH0( ˆξ)

LH1( ˆξ)

(5.23) Plus pr´ecis´ement, le test le plus puissant de taille α est le suivant :

– si Λ( ˆξ)≤ η alors accepter H1(i.e. rejeterH0)

– si Λ( ˆξ) > η alors accepter_H0(i.e. rejeterH1)

avec α la probabilité de rejeter_H0 siH0 est vraie (risque de première espèce) :

α = PΛ( ˆξ)_{≤ η | H}0

(5.24) La puissance du test est définie comme la probabilité d’accepter _H1 si cette hypothèse est vraie.

Elle est égale à 1_{−β, avec β la probabilité de rejeter H}1si cette hypothèse est vraie (risque de seconde

esp`ece) :

β = PΛ( ˆξ) > η| H1

(5.25) Comme on l’a vu dans la section 5.1.1, les tests avec des niveaux de seuil prédéfinis sont peu utilisés en cosmologie, et il est plus commun de citer le niveau de significativité correspondant à la valeur obtenue pour la statistique. Pour une réalisation avec une valeur donnée Λ(ˆξ) = x, la significativité (donnée comme une valeur p) est égale à :

α(x) = PΛ( ˆξ)≤ x | H0

(5.26) Comme on le montre en annexe B.3, le lemme de Neyman-Pearson implique que l’espérance de la significativité obtenue de cette manière sous_H1, est meilleure avec Λ( ˆξ) qu’avec n’importe quelle autre

statistique. Plus précisément, sous_H1, l’espérance de la valeur p de l’équation (5.26) est plus petite

et l’espérance du nombre de σ est plus grand pour Λ( ˆξ) que pour n’importe quelle autre statistique. Il faut noter que la statistique Λ( ˆξ) est optimale dans ce sens, mais on doit connaˆıtre sa distribution sousH0(pour calculer la significativité α(x) correspondant à une réalisation Λ( ˆξ) = x). De plus dans

le cas d’hypothèses composites, la significativité n’est pas bien définie. L’avantage de la statistique

∆χ2global est que sa distribution est identique pour tous les mod`eles inclus dansH0 (une distribution

χ2

1). Dans ce cas on est capable de donner une significativité même pour des hypothèses composites.

Toutefois comme on l’a vu plus haut, ce résultat nécessite que les espaces des modèles des fonctions de corrélation soient affines. Comme cela n’a pas de raison d’être vérifié en pratique, on verra avec des simulations dans la section 5.5.1 que la loi de ∆χ2

global est tr`es diff´erente d’une loi χ21. Le fait que la

m´ethode du χ2 _{utilise la statistique ∆χ}2 _{et non ∆χ}2

global va toutefois compenser cette erreur comme

en premi`ere approximation d’un facteur multiplicatif B dans la matrice de covariance :

CBAO,θ = CnoBAO,θ ∝ B2C (5.27)

Dans la m´ethode du χ2_{classique, χ}2

BAO,θet χ2noBAO,θ sont calcul´es avec une matrice de covariance

constante C. Ainsi pour une r´ealisation B0ξ avec Aˆ ≥ 0, on obtient le meilleur fit BAO :

min θ χ 2 BAO,θ(B0ξ)ˆ = min θ D B0ξˆ− ξBAO,θ, C−1(B0ξˆ− ξBAO,θ) E = B02min θ ˆ ξ−_B1 0 ξBAO,θ, C−1 ˆ ξ−_B1 0 ξBAO,θ = B02min θ χ 2 BAO,θ( ˆξ) (5.28)

La dernière égalité vient du rôle de B, qui permet n’importe quelle normalisation positive du modèle. Le même raisonnement peut être appliqué pour minθχ2noBAO,θ qui est multiplié par B02, et

donc la statistique ∆χ2 _{est aussi multipli´ee par B}2 0.

Avec les hypothèses où la matrice de covariance varie comme B2_{, des réalisations de}

H0 avec

θ = (ωm, α, B2) peuvent être obtenues à partir de réalisations de H0 avec θ = (ωmh2, α, B1) avec

une multiplication par B2/B1. Ainsi il y a une dilatation d’un facteur (B2/B1)2de la distribution de

∆χ2 _{entre les 2 modèles. Cela crée de grandes différences entre les 2 modèles dans} _H

0, de sorte que

la significativité donnée par la méthode classique du χ2 _{est fausse. La conclusion est que la méthode}

classique du χ2_{ne peut pas être utilisée dans le cas d’une matrice de covariance dépendant du modèle.}

Dans le document Etude statistique des corrélations dans la distribution des galaxies - application aux oscillations baryoniques acoustiques (Page 111-114)