2.2 La corr´elation des galaxies
2.2.3 Distorsions de redshift
Afin d’estimer la fonction de corr´elation ξ(r) (ou le spectre de puissance P (k)) on a besoin de connaˆıtre la position en 3D de chaque objet de l’´echantillon. En cosmologie, un probl`eme vient de la fa¸con diff´erente dont est estim´ee la position d’un objet : sa position angulaire sur le ciel est facilement estim´ee, mais sa distance dans la ligne de vis´ee est obtenue en g´en´eral grˆace `a son redshift. Comme on l’a vu dans la section 1.1.4 la distance comobile d’un objet en fonction de son redshift d´epend du mod`ele cosmologique, si bien que pour construire un ´echantillon il faut supposer une cosmologie fiducielle. L’effet d’une cosmologie fiducielle erron´ee peut ˆetre mod´elis´e, et c’est cet effet qui permet notamment de contraindre les param`etres cosmologiques.
Cependant il y a un effet suppl´ementaire qui vient des distorsions de redshift (redshift distortions) dues aux vitesses particuli`eres des objets. En effet, avec le bon mod`ele cosmologique, on peut calculer la distance comobile d’un objet `a partir de son redshift lorsque celui-ci suit le flot de Hubble. Mais cette estimation est fauss´ee car le redshift de l’objet est aussi affect´e par sa vitesse particuli`ere. Si l’on prend le cas particulier des relev´es de galaxies spectroscopiques, le redshift est mesur´e avec une grande pr´ecision (typiquement, σ(z) ∼ 10−4). Cependant les vitesses particuli`eres cr´eent des d´eformations dans le champ de densit´e (on dit qu’on observe le champ en espace redshift et non en espace r´eel). Ces d´eplacements particuliers peuvent ˆetre s´epar´es en deux types :
– Un d´eplacement dˆu `a des vitesses al´eatoires `a l’int´erieur des amas de galaxies, qui cr´ee un ´etirement de l’amas en espace redshift (effet finger of god). Cet effet a pour cons´equence de lisser la fonction de corr´elation approximativement `a l’´echelle du d´eplacement al´eatoire.
– L’effet Kaiser (Kaiser 1987) qui est plus subtil. Cet effet d´ecrit les vitesses particuli`eres d’objets qui s’effondrent gravitationnellement vers un centre de masse. Il diff`ere de l’effet finger of god car les vitesses des objets sont coh´erentes et non al´eatoires. Du fait de la coh´erence des vitesses avec le champ de densit´e, cet effet amplifie la corr´elation aux grandes ´echelles.
Ces deux effets impliquent que la fonction de corr´elation en espace redshift n’est plus isotrope (alors qu’elle est isotrope dans l’espace r´eel selon le principe cosmologique). Il est donc utile de consid´erer
Figure2.3 – Fonction de corr´elation bidimensionnelle ξ(π, σ) pour le relev´e de galaxies 2dFGRS, en fonction de la s´eparation sur la ligne de vis´ee π et dans la direction transverse σ, montrant l’ effet des distorsions de redshift. La forme de cigare `a π≈ 0 est dˆu `a l’effet finger of god qui lisse la fonction de corr´elation, alors que l’effet cigare aux grands π (i.e. l’amplification de la corr´elation) est dˆu `a l’effet de Kaiser. Figure extraite dePeacock et al.(2001).
la fonction en bidimensionnelle ξ(π, σ), qui d´epend de la s´eparation de la paire r projet´ee sur la ligne de vis´ee π et projet´ee sur la direction transverse σ. On peut voir sur la figure 2.3, pour le relev´e de galaxies 2dFGRS, les deux effets mentionn´es pr´ec´edemment dans la direction de π `a σ≈ 0 : la forme de cigare `a π≈ 0 est dˆu `a l’effet finger of god qui lisse la fonction de corr´elation, alors que l’effet cigare aux grands π (i.e. l’amplification de la corr´elation) est dˆu `a l’effet de Kaiser.
L’effet Kaiser (Kaiser 1987) peut ˆetre quantifi´e facilement dans le r´egime lin´eaire en supposant que l’on est dans l’approximation ’plan-parall`ele’ (plane-parallel), i.e. que l’observateur est suffisamment loin pour que les vitesses des objets dans la ligne de vis´ee puissent effectivement ˆetre consid´er´ees comme parall`eles. On obtient que le spectre de puissance en espace redshift Ps(k) est reli´e au spectre
de puissance en espace r´eel P (k) par la formule :
Ps(k) = (1 + βµ2k)2P (k) (2.25)
avec µk ∈ [−1, 1] ´egal `a la projection du vecteur unitaire ˆk sur la ligne de vis´ee, et β proportionnel au
facteur de croissance sans dimension introduit dans la section 1.3.2 : β = f (Ωm) b = 1 b d ln D d ln a (2.26)
avec b le biais (suppos´e constant) de la population d’objets. En particulier pour le champ de mati`ere lui-mˆeme, on a b = 1. De plus, comme on l’a vu dans la section 1.3.2, on peut en g´en´eral approximer f (Ωm, z)≈ Ωm(z)0.6.
Il est tr`es courant dans l’´etude des catalogues de galaxies de ne s’int´eresser qu’au monopole de la fonction de corr´elation ξ0(s) (ou du spectre de puissance) en espace redshift, de par sa simplicit´e et
de par le fait qu’il soit moins bruit´e que la fonction de corr´elation bidimensionnelle ξ(π, σ) : ξ0(s) = 1 4π Z Ω ξ(s)d2os (2.27) P0(k) = 1 4π Z Ω Ps(k)d2ok (2.28)
2.2 La corr´elation des galaxies 39
Les monopoles correspondent aux moyennes sph´eriques pour une norme donn´ee s = ksk ou k = kkk. Dans la litt´erature, le monopole de la fonction de corr´elation est souvent d´enot´e fonction de corr´elation par abus de langage (de mˆeme l’indice 0 du monopole est souvent oubli´e mais en g´en´eral le contexte est assez clair pour faire la diff´erence). A partir de la relation (2.25) on peut montrer que le monopole de la fonction de corr´elation et du spectre de puissance en espace redshift sont reli´es `a leur contrepartie en espace r´eel par les relations :
ξ0(s) = 1 + 2β 3 + β2 5 ξ(r) (2.29) P0(k) = 1 + 2β 3 + β2 5 P (k) (2.30)
L’effet Kaiser consiste donc en un simple effet multiplicatif sur la fonction de corr´elation et le spectre de puissance, i.e. que c’est un biais ind´ependant de l’´echelle.