Evolution non lin´eaire du champ de mati`ere

Diff´erentes m´ethodes existent pour calculer l’´evolution non lin´eaire du champ de densit´e. Une m´ethode tr`es utilis´ee est l’approximation de Zel’dovich (Zel’dovich 1970) qui est notamment utilis´e dans beaucoup de simulations N -corps pour le d´eplacement des particules `a l’instant initial de la simulation. Si l’on suppose la mati`ere non colisionnelle, la position Eul´erienne comobile d’une particule `a l’instant t est donn´ee en fonction du champ initial Lagrangien q :

x(q, t) = q + D(t)_∇qΨ(q) (1.101)

o`u D(t) est le facteur de croissance lin´eaire et Ψ(q) est le potentiel des vitesses initiales du champ. La conservation de la masse implique ρ(x, t) d3x = ¯ρ d3q avec ¯ρ la densit´e moyenne. On obtient alors la densit´e comobile :

ρ = ¯ρ     ∂x ∂q     −1 = ¯ρ_|δik+ D(t)Ψ,ik|−1 (1.102)

o`u δik est le symbole de Kronecker et Ψ,ik est la matrice jacobienne de Ψ. Si l’on note −α1,−α2 et

−α3 les valeurs propres de Ψ,ik on obtient :

ρ = ρ¯

(1_{− D(t)α}1)(1− D(t)α2)(1− D(t)α3)

0.001 0.01 0.1 T(k) 1 2 10 100 1000 10000 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 P(k) (h -3 Mpc 3) k (h Mpc-1) 1 2 3

Figure<sub>1.11 – Fonction de transfert T (k) (en haut) et spectre de puissance lin´eaire PL(k) (en bas) `a</sub> redshift z = 0 obtenu avec CAMB et les param`etres cosmologiques deKomatsu et al.(2011). La ligne en tirets verts correspond au spectre non lin´eaire obtenu avec l’approximation HALOFIT (Smith et al. (2003), voir section 1.3.4). On peut voir les effets de la fonction de transfert aux diff´erentes ´echelles. (1) : les grandes ´echelles (faibles k) sont rest´ees en dehors de l’horizon pendant la p´eriode o`u la radiation domine, T (k) = 1, et le spectre de puissance est ´egal spectre primordial PL(k)∝ kns `a un

facteur de normalisation pr`es. (2) : A l’´echelle de l’horizon `a l’´egalit´e mati`ere-radiation, on observe un changement de comportement, T (k) < 1, et le spectre de puissance atteint son amplitude maximum. (3) : Aux petites ´echelles (grands k), les fluctuations sont fortement att´enu´ees apr`es leur passage sous l’horizon, T (k)_{∝ k}−4_{, et l’on observe aussi l’effet des BAOs comme une s´erie d’oscillations `a la fois}

1.3 La formation des structures 25

D’o`u l’expression de la fluctuation :

1 + δ = 1

(1− D(t)α1)(1− D(t)α2)(1− D(t)α3) (1.104)

Si l’on a ordonn´e les valeurs propres telles que α1> α2> α3, on obtient alors un effondrement de

la mati`ere suivant la direction correspondant `a α1 et la cr´eation de feuillets.

Correction invariante d’´echelle + d´egradation non lin´eaire des BAOs

Une m´ethode plus r´ecente pour mod´eliser les non-lin´earit´es est bas´ee sur le formalisme du halo model (Seljak 2000;Peacock and Smith 2000;Cooray and Sheth 2002). Dans ce mod`ele, la distribution de mati`ere est d´ecompos´ee en populations de halos virialis´es, i.e. en ´equilibre gravitationnel. Cette approche a ´et´e utilis´e dans Smith et al.(2003) avec un grand nombre de simulations N -corps pour calculer les corrections non lin´eaires `a appliquer `a un spectre lin´eaire PL(k). Les r´esultats de cette

´etude constituent l’approximation HALOFIT (correction donn´ee en tirets verts sur la figure 1.11). Toutefois cette ´etude n’a ´et´e faite que pour des spectres PL(k) invariants d’´echelle, et l’approximation

HALOFIT ne d´ecrit pas bien l’´evolution non lin´eaire de la signature BAO dans le spectre de puissance.

Eisenstein et al. (2007b) a montr´e que la d´egradation non lin´eaire de la signature BAO ´etait domin´ee par les mouvements relatifs de paires de particules. Cette ´etude a plus pr´ecis´ement montr´e que cela pouvait ˆetre tr`es bien approxim´e par un lissage Gaussien de la fonction de corr´elation (i.e. la multiplication du spectre de puissance par une fonction Gaussienne centr´ee) au niveau du pic BAO, `a la fois en espace r´eel et en espace redshift (voir section 2.2.3).

Il en r´esulte l’ansatz simple estimer le spectre de puissance apr`es la d´egradation non lin´eaire des BAOs (dewiggled spectrum) :

Pdw(k) = [PL(k)− Pnw,L(k)]G(k) + Pnw,L(k) (1.105)

= PL(k)G(k) + Pnw,L(k)[1− G(k)] (1.106)

o`u G(k) = exph₋(ka)₂2i= exph₋k2 2k2

⋆

i

est un noyau Gaussien avec une taille de lissage a, et Pnw,L(k)

un spectre no wiggles lisse, avec la mˆeme forme que PL(k), mais sans la signature BAO (voirEisenstein

and Hu(1998)). Cette ansatz permet de conserver la puissance aux petites ´echelles et de n’appliquer la d´egradation non lin´eaire que sur la signature BAO.

Finalement on peut rajouter les corrections non lin´eaires ind´ependantes du pic BAO, qui sont importantes aux petites ´echelles. Pour ce faire on applique la mˆeme correction `a Pdw(k) que celle

donn´ee par HALOFIT pour le spectre lisse Pnw(k) :

Pdw,N L(k) =

 Pnw,N L(k)

Pnw,L(k)



Pdw(k) (1.107)

Ce type d’approche a ´et´e souvent utilis´e dans la litt´erature pour obtenir un mod`ele non lin´eaire du champ de mati`ere en espace redshift (e.g. dansEisenstein et al. (2005);Tegmark et al. (2006); Reid et al. (2010); Blake et al. (2011a,b)). S´anchez et al.(2008) a montr´e que cette proc´edure donne un excellent accord avec les r´esultats de larges simulations N -corps (voir figure 1.12). Cependant le mod`ele n’est pas parfait et il entraˆıne un tr`es l´eger biais dans les contraintes de param`etres cosmologiques, pouvant affecter l’analyse pour les relev´es futurs tr`es grands comme EUCLID (Robberto et al. 2007). En revanche,S´anchez et al.(2008) a montr´e qu’un mod`ele simple bas´e sur la th´eorie des perturbations renormalis´ee n’entraˆıne pas ce faible biais.

Th´eorie des perturbations renormalis´ee

De nouveaux d´eveloppement en th´eories des perturbations, comme la Th´eorie des Perturbations Renormalis´ee (Renormalized Perturbation Theory, RPT,Crocce and Scoccimarro(2006)), ont apport´e des progr`es substantiels dans la compr´ehension th´eorique des effets non lin´eaires, qui peuvent mainte- nant ˆetre mod´elis´es de fa¸con pr´ecise (Crocce and Scoccimarro 2006;Matsubara 2008a,b;Taruya et al. 2009). En se basant sur RPT,Crocce and Scoccimarro(2008) propose un ansatz simple pour d´ecrire la forme globale de la corr´elation :

ξN L(r) = ξL(r)⊗ ˜G(r) + Amcξ′Lξ (1)

Figure _{1.12 – Comparaison de la fonction de corr´elation obtenue sur des simulations N -corps de} volume total 120h−3_Gpc3 _{(plus de 4 fois le volume de Hubble), pour un mod`ele ΛCDM plat avec}

Ωm= 0.237, Ωb= 0.041, ns = 0.954, σ8= 0.77 et h = 0.735, en espace r´eel `a redshift z = 0 (cercles

noirs) avec : (i) la fonction de corr´elation lin´eaire ξL(r) (trait rouge continu), (ii) la fonction de

corr´elation non lin´eaire ξN L(r) apr`es la correction HALOFIT de ξL(r) (tirets bleus), (iii) la fonction

de corr´elation dewiggled ξdw(r) donn´ee par la formule (1.106) (tirets oranges), (iv) la fonction de

corr´elation dewiggled ξdw,N L(r) apr`es la correction HALOFIT de la formule (1.107) (tirets-pointill´es

bleus). Les barres d’erreur donnent l’´ecart-type de l’estimateur sur des volumes de 2.41h−1_Gpc3_.