1.4.1. Méthodes de résolution
Les méthodes par éléments discrets (ou Discret Element Method, DEM en anglais) ont pour objectif de modéliser le comportement collectif d’un milieu constitué d’éléments distincts en interaction. Ces méthodes sont couramment utilisées pour la modélisation des milieux granulaires, par exemple le sable, les roches, les milieux condensés comme les gels ou les suspensions, les tissus vivants comme les cellules osseuses, les milieux fracturés ou enfin dans le domaine de la robotique. Le dénominateur commun des méthodes par éléments discrets est de considérer les degrés de libertés associés aux éléments (les grains) considérés comme objets rigides et d’intégrer les équations du mouvement pour ces degrés de libertés.
Les principales méthodes en éléments discrets peuvent êtres classées en deux grandes familles : 1) les approches Non Smooth basées sur la mécanique non régulière qui prennent en compte les chocs sans interpénétration des grains ; 2) les approches Smooth autorisant l’interpénétration des grains.
Les méthodes de type « Smooth » (régulière) sont basées sur l’approche Molecular Dynamics (MD) qui consiste à intégrer les interpénétrations à la description des lois de contact en considérant qu’une déformation locale des grains est possible (contact déformable et particules rigides). Ces approches sont utilisées pour l’étude de liquides, de cristaux, ou encore de macro-molécules à l’échelle des atomes. Cundall et Strack ont étendu cette approche au cas de corps solides par l’adjonction de lois de contact et de frottement [31,4]. Aujourd’hui, cette approche est la plus employée et elle fait l’objet d’un grand nombre d’extensions [47], en particulier par l’adjonction de lois de cohésion [90,36,104].
Les approches de type « Non Smooth » (non régulière) sont basées sur l’hypothèse de rigidité des contacts (contacts indéformables ; corps rigide ou déformable). Une non-régularité apparaît alors dans le traitement du contact et du frottement et dans l’évolution des vitesses au cours d’une collision entre deux particules. Ainsi, toute interpénétration pouvant apparaître avec une approche de type non-régulière est considérée comme une « violation », et est donc indésirable. Parmi les méthodes de type « Non Smooth »,
on peut citer la méthode Event Driven (ED) qui ne gère qu’une seule interaction à la fois avec une discrétisation irrégulière du temps. Elle est réservée à la simulation de gaz ou de systèmes de corps articulés. Pour les systèmes de corps où plusieurs interactions interviennent simultanément (systèmes denses), la méthode Contact Dynamics (CD), ou Non Smooth Contact Dynamics (NSCD) initiée par Moreau [74,49,98] est mieux adaptée.
Le degré de déformabilité au point de contact est le premier critère pour le choix de la méthode à em-ployer. Le module d’Young du ballast est de l’ordre de108 Pa [3], ainsi dans le cadre de la Dynamique Moléculaire, la raideur au contact doit être choisi suffisamment grand pour assurer une faible interpé-nétration, cela implique également une réduction du pas de temps jusqu’à presque10−10s. Ainsi, avec la Dynamique Moléculaire il faut réduire la valeur de la raideur au contact pour ne pas avoir des pas de temps bien trop petits. La Dynamique des Contacts permet ainsi d’éviter ce genre d’artefacts.
Ainsi, l’étude du comportement d’un échantillon de granulats soumis à diverses sollicitations, né-cessite la prise en compte de plusieurs milliers de grains. Le système à étudier sera le plus souvent compact, le nombre de contacts pouvant être important. L’approche CD permet d’employer des pas de temps plus grands, et surtout la prise en compte de l’unilatéralité au contact se fait sans approximation. Il est important de préciser aussi que la résolution des équations du mouvement, par la méthode CD est indépendante de la forme des particules. La forme de particules n’intervient que dans la détection des contacts [111,38].
Nous allons présenter dans la suite l’ensemble des éléments constituant cette méthode développée en particulier dans le code de calcul LMGC90 et que nous utiliserons par la suite. Les parties suivantes sont largement inspirées des travaux de M. Jean [49], L. Staron [118], M. Renouf [101] et G. Saussine [111].
1.4.2. La Dynamique des Contacts
Le principe général de la méthode de Dynamique des Contacts peut être résumé simplement grâce au diagramme suivant :
Boucles sur le temps
Détection des contacts
Détermination des forces de contact et des vitesses des corps Mise à jour des positions des corps
L’équation de la dynamique peut se mettre sous la forme suivante :
Mq(t) = Q(q, ˙q, t) + P(t) + r,¨ (1.26)
ouq, ˙q, ¨q correspondent respectivement à la position, la vitesse, et l’accélération des corps à un instant
donné. M représente la matrice de masse du système, Q(q, ˙q, t) représente les « termes gyroscopiques et
centrifuges », et P(t) les efforts extérieurs explicitement connus en l’absence de contact et r les forces de
contacts. En présence de conditions unilatérales, il se produit des chocs entre particules, des discontinui-tés du champ de vitesse peuvent alors apparaître et l’accélération n’est ainsi pas définie. Pour prendre en compte ces considérations, on préfère alors écrire l’équation 1.26en termes de mesures différentielles. Le système différentiel s’écrit :
Md ˙q(t) = Q(q, ˙q, t)dt + P(t)dt + rdν, (1.27)
oùdt est une mesure de Lebesgue, dν est une mesure réelle positive et dq représente la mesure
MÉTHODES NUMÉRIQUES 51
des impulsions exercées lors de la présence de contacts [74,49]. La description du mouvement ne peut se faire que si des conditions sur les contacts sont posées.
Dans ce sens, les particules sont considérées comme rigides et exercent des forces normales et tangen-tielles,fnetftrespectivement, l’une sur l’autre. Par convention, les forces normales de compression sont positives. De même, la vitesse relative normaleunentre deux particules en contact est comptée comme positive lorsqu’elles s’éloignent l’une de l’autre. Ainsi, la condition de contact (d’un point de vue géomé-trique) entre deux particules s’exprime comme la réalisation de l’une des alternatives suivantes ; équation
1.28:
fn>0 et un= 0
fn= 0 et un> 0. (1.28)
La figure1.46représente la forme graphique de cette condition, appelée condition de Signorini-Coulomb.
n n t t fn fn
Figure 1.46: Graphe de la condition de complémentarité en vitesse (Signorini) à gauche, et Graphe de la loi
de Coulomb à droite.
De la même manière, la loi de frottement de Coulomb implique trois alternatives possibles ; équation
1.29:
ft= −µfn et ut> 0, −µfn6ft6µfn et ut= 0, ft= µfn et ut< 0,
(1.29)
oùutest la vitesse de glissement au point de contact etµ est le coefficient de frottement. Pendant une
collision, les vitesses un etutcorrespondent aux vitesses après la collision. En d’autres termes, il est nécessaire que la solution du problème à chaque pas respecte la condition de non interpénétration entre les particules à la fin du pas. Mais, Moreau à montré qu’il était possible également de remplacerunetut
dans les graphes de Signorini et de Coulomb par une combinaison linéaire des vitesses avant et après le choc : un = u+n+ρnu− n 1+ρn ut = u+t+ρtu− t 1+ρt , (1.30) où u+ n, u−
n,u+t etu−t sont les vitesses relatives normales et tangentielles des particules au contact au début et à la fin de chaque pas. La condition de contact ou de collision correspond alors àun = 0, ce
qui correspond àu+n = −ρnu−n. Ainsi, les paramètresρnetρtintroduits dans l’équation1.30coïncident avec les coefficients de restitution normal et tangentiel définis habituellement pour le chocs binaires. La
dynamique des contacts permet ainsi de généraliser les coefficients de restitution du cas des collisions binaires au cas des collisions multiples ou aux systèmes multi-contacts [74,94].
Remarquons aussi que ces lois de contacts et de frottements peuvent être modifiées ou complétées par la prise en compte d’autres interactions comme la cohésion entre les particules. Par exemple, les forces normales aux contacts peuvent alors prendre des valeurs négatives jusqu’à un certain seuil correspondant à la rupture. Cela équivaut à une translation du graphe de Signorini vers lesfnnégatifs.
Pour la résolution, on utilise un solveur basé sur la méthode de Gauss-Seidel non linéaire [74,49]. De manière générale, l’unicité de la solution n’est pas garantie pour les particules parfaitement rigides. Cependant, en initialisant chaque étape de calcul avec les forces calculées dans l’étape précédente, l’en-semble de solutions admissibles se rétrécit aux seules fluctuations autour de la solution numérique.
1.4.3. Détection du contact : cas de grains polygonaux ou polyédriques
Un algorithme de recherche est appliqué à un ensemble de contacts potentiels, identifiés ou mis à jour dans chaque étape. La détection de contact entre deux corps consiste à rechercher les superpositions des parties de l’espace qu’elles occupent. Le traitement de l’interaction mécanique entre deux corps exige une étape supplémentaire qui consiste en l’identification d’un plan commun tangent au deux corps (une ligne dans le cas 2D). Naturellement, le contact peut avoir lieu par une ou plusieurs grandes zones de contact (c’est-à-dire en un point, ou deux,...). Plusieurs algorithmes existent pour la détermination de superposition entre les polygones et polyèdres convexes [32,38,112].
L’objectif de l’algorithme de détection est de déterminer s’il y a contact entre deux corps et dans ce cas de donner des informations nécessaires et suffisamment précises afin de pouvoir résoudre le problème. Ces informations sont : les coordonnées dans l’espace des points de contacts, du repère local de contact et de l’interpénétration géométrique que nous appellerons recouvrement. Dans le cas d’objets ayant une géométrie complexe, comme une enveloppe polygonale ou polyédrique, il faut d’abord déterminer si il y a contact, et dans ce cas calculer la position de points de contact. Une contrainte majeure est le temps de calcul puisque, en général, il faut traiter des interactions entre plusieurs milliers de grains. Deux méthodes permettent de répondre à ces questions : 1) méthode de type Shadow Overlap introduite par J.J Moreau [112] et généralisée au cas tridimensionnel par G. Saussine [111] ; 2) la méthode du type Common Plane introduite par P.A. Cundall [32,80]. Dans tous les cas, afin de limiter les tests, une première détection dite « grossière » est réalisée : partant d’informations géométriques grossières, comme par exemple une distance d’alerte qui consistent à estimer la proximité de deux grains, des situations ou il n’y a pas de contacts sont éliminées rapidement. Sinon, il faut tester au cas par cas les situations ou il pourrait y avoir contact. En annexe A sont présentés les deux principaux algorithmes programmés dans le code LMGC90.
Lorsqu’une situation de contact est détectée, une étape supplémentaire consiste à déterminer de quel type de contact il s’agit. Concrètement, en 2D seules deux possibilités sont envisagées : soit un contact côté-sommet, soit un contact côté-côté. Dans le cas tri-dimensionnel trois possibilités existent : face-sommet, face-arête et face-face. Suivant le cas, la stratégie adoptée dans LMGC90 est de considérer des points de contacts :
– Si un sommet s’avère rencontrer une face ; figure 1.47à gauche, le plan de contact est le plan qui passe par la face. En projetant orthogonalement le sommet sur ce plan, on détermine la profondeur de pénétration. On choisit le point de contact « effectif » comme étant le point au centre de cette
CONCLUSIONS 53
Figure 1.47: Représentation des contacts simple (sommet-face), double (arête-face) et triple (face-face).
distance. Par la suite, ce type de contact « sommet - face » sera également appelé contact simple. – Dans le cas où une arête rencontre une face ; figure1.47au centre, le plan de contact est donné par la
face, et la tangente commune est fixée comme étant un segment de la ligne formée par l’intersection de l’arête et du plan en question. L’impénétrabilité entre les deux particules qui ont un tel contact est assurée en appliquant les lois de contact ; équations 1.28et 1.29, sur seulement deux points de contact situés aux extrémités du segment commun aux deux polyèdres. Pour cette raison, les contacts arête-face seront aussi appelés contacts « doubles ».
– Dans le cas où une face rencontre une face d’un autre polyèdre ; figure 1.47 à droite, le plan de contact est donné par la face commune. Comme précédemment, l’impénétrabilité entre les deux particules qui ont un tel contact est assurée en appliquant les lois de contact ; équations 1.28) et
1.29, sur seulement trois points appartenant au plan de contact. Ces points de contacts sont choisis de telle sorte à être le plus représentatif de la zone de contact. Pour cette raison, les contacts face-face seront appelés contacts « triples ».
Pour nos études statistique, dans le cas des contacts doubles et triples, la force de contact est la ré-sultante des forces calculées aux points communs. Cette force est appliquée au barycentre de ces points qui, pour un contact non cohésif, se situe dans la zone de contact. De ce point de vue, le choix de deux points ou trois points pour représenter les contacts arête-face, ou face-face n’affecte en aucune manière les forces de contacts.