1.3. Propriétés générales des milieux granulaires
1.3.1. Introduction
Les systèmes granulaires sont des systèmes désordonnés et hétérogènes formés par de nombreux élé-ments en interactions. Un milieu granulaire comporte deux phases complémentaires, une distribution polydisperse des tailles, des formes de particules variées, des interactions fortement non linéaires et une géométrie intrinsèquement désordonnée.
Suivant la composition des phases, le type de dynamique et les échelles mises en jeu, les milieux granulaires présentent des comportements assez variables. Une observation simple est qu’un assemblage de particules partage l’espace en deux phases complémentaires : une phase solide constituée par les particules et un milieu poreux entre les particules. De manière générale les pores sont occupés par un gaz ou un liquide. Il existe une large gamme de milieux où le fluide joue un rôle déterminant, mais dans le cas qui nous intéresse, nous nous limiteront aux seuls « matériaux granulaires secs non-cohésifs », où les pores seront simplement remplis par de l’air.
Figure 1.29: Échelle de longueur pour les milieux granulaires.
Les échelles misent en jeu dans les milieux granulaires peuvent être de différentes natures ; figure1.29. L’échelle microscopique est constituée par les contacts, siège des interactions entre les grains, et par les grains avec leur forme et leur granulométrie. L’échelle mésoscopique est définie au niveau de l’assem-blage des grains qui conditionne le remplissage de l’espace et le nombre d’interactions entre particules. Enfin, l’échelle macroscopique est définies soit par un Volume Élémentaire Représentatif (VER), volume suffisamment petit pour rendre compte d’un comportement général d’un matériau granulaire, soit par la structure granulaire réelle étudiée telle qu’un ouvrage.
À l’échelle du contact, essentiellement deux types d’interactions vont influencer l’ensemble du sys-tème granulaire sec : le frottement et les collisions inélastiques.
Les aspects les plus classiques du frottement « sec » se résument en trois lois [18] : – la force de frottement est indépendante de l’aire apparente de contact,
– la force de frottement est proportionnelle à la force normale de contact, – le coefficient de frottement est indépendant de la vitesse de glissement.
Ces lois permettent de définir un « Graphe de Coulomb » représenté sur la figure1.30. Ce graphe traduit une relation entre la vitesse relative tangentielleutet la force de frottementft. Le coefficient de frotte-mentµ est une propriété des deux corps en contacts. Comme nous le verrons plus loin, appliquée aux
contacts entre particules dans les modèles numériques des systèmes granulaires, cette loi laisse apparaître un comportement assez réaliste.
On peut alors distinguer essentiellement deux types de contacts : persistants et collisionnels. Un contact persistant sera un contact qui a une durée de vie supérieure au temps caractéristique d’obser-vation∆θ (typiquement il s’agit d’un pas de temps pour des simulations numériques), et implique une
force persistante. En revanche, un contact collisionnel a une durée de vie très faible et donc implique un échange rapide d’impulsion entre deux grains. En fait, le nombre de collisions pendant le temps∆θ
entre deux particules confinées par l’ensemble des autres particules, peut être très grand. Alors, le taux d’impulsion échangé durant le temps ∆θ entre les deux particules est une force « effective » et il est
possible d’assimiler l’ensemble des collisions séquentielles entre deux particules à un contact persistant [76]. Comme nous le présenterons plus loin dans ce chapitre, ce problème est traité convenablement dans
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES MILIEUX GRANULAIRES 35 t t fn fn
Figure 1.30: Graphe de la loi de Coulomb.fnetftsont respectivement, la force normale et la force tangen-tielle au contact.Utest la vitesse relative tangentielle au contact
le cadre de la méthode de Dynamique des Contacts.
Les collisions simples ont fait l’objet de nombreuses études expérimentales et théoriques [113]. Sur une base cinématique, on définit des coefficients de restitution normalρnet tangentielρtqui relient les vitesses relatives normales (vn+,v−n) et tangentielles (v+t ,v−t ) avant et après le choc :
ρn= −vn+ v− n ρt= −v+t v− t (1.1)
Ces deux coefficients dépendent faiblement de la vitesse d’impact, des formes des surfaces dans les zones de contacts, et également de la masse des particules.
Les milieux granulaires secs non-cohésifs présentent un spectre très large de comportements que l’on peut regrouper en différentes catégories :
1) Le comportement quasi-statique : le milieu est dense et les particules forment des contacts durables entre elles durant la déformation. Les forces entres les particules, dans ce régime, sont d’origine statique. Les écoulements lents, plastiques où viscoélastiques, relèvent de ce domaine. Dans ce cas, on dira que le milieu granulaire est dans un état solide.
2) Le comportement collisionnel : les collisions dominent la dynamique du système. Les forces entre les particules sont d’origine cinétique. Les systèmes granulaires vibrés et les écoulements rapides sont concernés par ce type de dynamique. Par exemple, un matériau granulaire peut s’écouler comme un liquide sous l’effet des vibrations ou au delà d’un seuil plastique (avalanche granulaire, glissement de terrain...). Dans ce cas, on dira que le milieu granulaire se comporte comme un liquide ou comme un gaz suivant le taux d’énergie injectée.
La transition entre un régime quasi-statique et un régime collisionnel est le résultat de phénomènes complexes. Un exemple est celui des avalanches qui met en jeu une transition d’un état quasi-statique vers un état collisionnel et vice versa. Un milieu granulaire est dans un régime statique ou quasi-statique si la pression (contrainte moyenne) statique est grande devant la pression cinématique (due au transfert de quantité de mouvement par collisions). En d’autres termes, dans l’état quasi-statique les effets inertiels
sont négligeables devant l’équilibre statique. Pour un milieu confiné, une grandeur sans dimension qui caractérise la transition entre ces deux régimes est I [16,123,42] :
I = ˙ε r m p en 2D, (1.2) I = ˙ε rm pd en 3D, (1.3)
où ˙ε est la vitesse de cisaillement, m la masse, p la pression et d le diamètre moyen des grains. L’état
solide correspond à des valeurs de I très inférieures à 10−3. De même un état liquide sera caractérisé
par une valeur deI comprise entre 10−3et10−1, alors que l’état du matériau granulaire sera comparable à un gaz pour I > 10−1. Néanmoins, dans le cas quasi-statique, même pour des faibles valeurs deI,
les effets dynamiques sont toujours présents. En raison du désordre et des fluctuations mécaniques, la transition entre deux états d’équilibre successifs au cours d’une déformation quasi-statique est presque toujours dynamique. Mais ces effets interviennent à très courte échelle de temps, et n’apparaissent donc pratiquement pas dans les mesures.