Méthodes indirectes

Bien que de nombreux modèles mathématiques aient été proposés pour décrire les données de conductivité hydraulique, la conductivité de matériaux poreux non saturés présente une variabilité in situ considérable et sa détermination expérimentale est un processus ardu et exigeant. Par conséquent, l’utilisation de méthodes indirectes selon lesquelles la fonction de conductivité hydraulique est estimée à partir de données plus facilement mesurables, est devenue de plus en plus commune. Par exemple, les modèles développés théoriquement permettent d’estimer la fonction de conductivité hydraulique à partir des paramètres décrivant la fonction de rétention d’eau et d’un facteur de concordance (cf. Mualem, 1986 et 1992). Le point de départ pour la dérivation de ces modèles est l’équation de Navier-Stokes dont la solution, pour un système d’écoulement poreux élémentaire quelconque, se traduit par une équation de même forme que celle proposée par Hagen-Poiseuille. D’après la loi de Hagen-Poiseuille, l’écoulement laminaire à travers un tube capillaire circulaire droit de rayon rc ou à travers un tuyau de

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 78 section transversale quelconque et de rayon hydraulique RH s’écrit ainsi (Mitchell, 1993) :

vw,moy. : vitesse d’écoulement moyenne de l’eau dans un tube capillaire ou un tuyau de section transversale quelconque, L·T^-1;

μw : viscosité dynamique de l’eau, F·L^-2·T.

Selon l’approche macroscopique, une analogie directe est établie entre les variables d’équations de forme [4.59(a)] et ceux de l’équation de l’écoulement macroscopique en milieu poreux (i.e. loi de Darcy). On présume donc que le milieu poreux est caractérisé par la taille équivalente d’un tube uniforme quelconque, de rayon hydraulique RH. Comme tous les tubes sont présumés de taille uniforme, une désorption du milieu n’est possible que si deux fluides y sont simultanément présents. Ainsi, l’air interstitiel circule au cœur de la section des tubes tandis que l’eau s’écoule le long de leurs parois.

D’après l’approche microscopique, l’équation [4.59(b)] est présumée valide au niveau d’un tube unique. Par analogie avec la loi de Darcy, cette équation permet donc d’estimer la conductivité hydraulique du tube élémentaire. Puisque le milieu poreux est considéré comme un assemblage de tubes reliés entre eux, la conductivité hydraulique totale, à une teneur en eau donnée, est déterminée par la sommation de la conductivité des tubes remplis d’eau. L’information concernant la répartition des tubes remplis d’eau est obtenue à partir de la fonction de rétention d’eau (cf. section 4.3.1). Les modèles utilisant cette approche se différencient donc par l’interprétation de la configuration géométrique du pore élémentaire, ainsi que par l’estimation de sa contribution à la conductivité totale ou plus précisément, la probabilité de la continuité des pores dans des endroits adjacents à l’intérieur du milieu poreux (Millington & Quirk, 1961). Brutsaert (1967), Mualem & Dagan

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 79 (1978), Mualem (1986 et 1992) et Leong & Rahardjo (1997(b)) fournissent des revues compréhensives des modèles statistiques disponibles dans la littérature.

Dans le cadre de cette étude, on adopte une formulation amendée du modèle statistique de Childs & Collis-George (1950). L’équation initialement proposée par Childs & Collis-George fut améliorée par Marshall (1958), Millington & Quirk (1961) et subséquemment par Kunze et al. (1968). Cependant, le concept de conductivité relative a été introduit dans ce type d’équation par Nielsen et al. (1960) et implanté dans les ouvrages subséquents à celui de Millington & Quirk (1961). Finalement, Mualem (1976) a présenté l’équation améliorée de Childs et Collis-George sous forme d’intégrales au lieu de la forme conventionnelle en sommes finies, soit :

( ) ( ) ( )

ou encore, en fonction de la teneur en eau volumétrique

( ) ( ) ( )

kw,r (Θ ) : conductivité hydraulique relative pour une teneur en eau volumétrique normalisée donnée ;

kw,r (θw ) : conductivité hydraulique relative pour une teneur en eau volumétrique donnée ;

kw,s : conductivité hydraulique à saturation, L·T^-1 ; l : paramètre de connectivité & tortuosité ;

X : variable fictive représentant la teneur en eau volumétrique normalisée ; Y : variable fictive représentant la teneur en eau volumétrique ;

(ua - uw)(X) : succion matricielle correspondant à une teneur en eau volumétrique normalisée X sur la fonction de rétention d’eau normalisée, F·L^-2;

(ua - uw)(Y) : succion matricielle correspondant à une teneur en eau volumétrique Y sur la fonction de rétention d’eau, F·L^-2.

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 80 Afin d’effectuer l’intégration le long de l’axe logarithmique de la succion matricielle, Fredlund et al. (1994) ont transformé l’équation [4.60(b)] comme suit :

( ) ( )

Z : variable fictive représentant le logarithme népérien de la succion matricielle ;

θ (e^Z) : fonction de rétention d’eau évaluée à une succion matricielle de e^Z ;

θ’(e^Z) : dérivée première de la fonction de rétention d’eau évaluée à une succion matricielle de e^Z, F^-1·L².

Lors du développement de ces équations, Childs & Collis-George (1950), Millington & Quirk (1961) et Kunze et al. (1968) proposent de fixer le paramètre de connectivité et de tortuosité l à 0, 4/3 et 1 respectivement.

Dans le but de procéder à une caractérisation inverse des propriétés hydrauliques, on utilise également le modèle de Mualem (1976). En analysant un modèle conceptuel du milieu poreux, similaire à celui de Childs & Collis-George (1950), Mualem (1976) a développé une équation dont la formulation généralisée s’exprime comme suit (Hoffmann-Riem et al., 1999) :

( ) ( ) ( )

est à noter que cette formulation généralisée permet également d’obtenir le modèle de Burdine (1953) (γ = 2 et Γ = 1).

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 81 Lorsque la conductivité hydraulique est exprimée en fonction de la teneur eau volumétrique, l’équation s’exprime comme suit :

( ) ( ) ( )

On peut également effectuer l’intégration le long de l’axe logarithmique de la succion matricielle, soit :

( ) ( )

Suite à la confrontation statistique de fonctions de conductivité hydraulique observées et estimées, Mualem (1976) a obtenu une valeur optimale pour l de 0,50. Dans une étude récente de la fonction généralisée de Mualem (cf. Mualem &

Dagan, 1978), Vereecken (1995) a établi des fonctions indirectes permettant de déterminer ce paramètre en fonction de propriétés physiques et hydrauliques.

Dans une analyse similaire, Schuh & Cline (1990) n’ont pu établir de corrélation entre ledit paramètre et les propriétés d’indice. Ils constatent néanmoins que le paramètre l se rapproche considérablement de la valeur proposée par Mualem (1976). En fait, la moyenne géométrique est de 0,63 alors que l’intervalle de confiance de 95% se situe entre -0,88 et 2,44. Physiquement, la longueur moyenne réelle des lignes de courant ne peut être inférieure à la longueur de l’échantillon (Τ ⁼

(

L Le

)

^{2≥ ∴1} Θ^{l ≥1}). La connectivité permet néanmoins au terme Θl d’adopter des valeurs inférieures à l’unité.

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 82 Les équations statistiques, ci-dessus mentionnées, utilisent la conductivité hydraulique à saturation comme facteur de concordance, obtenant ainsi une relation pour la conductivité hydraulique relative. Cependant, plusieurs auteurs (e.g. van Genuchten & Nielsen, 1985 ; Luckner et al., 1989 ; van Genuchten et al., 1991 ; Nielsen & Luckner, 1992) notent que cette conductivité est fréquemment mal définie ou difficile à mesurer et qu’il est conséquemment plus opportun de faire correspondre les fonctions, observées et estimées, en un autre point. En prenant par exemple, le facteur de concordance à une teneur en eau arbitraire Θc (ou θw,c) dans la gamme de teneurs en eau relativement élevées. Dans le cadre de cette étude, le facteur de concordance correspond néanmoins à la conductivité hydraulique du matériau saturé.

Bien que ces modèles nécessitent une connaissance de la teneur en eau résiduelle, la fonction de rétention d’eau est rarement déterminée expérimentalement à des teneurs en eau si faibles. L’effet d’utiliser une fonction de rétention d’eau partielle pour la prédiction de la fonction de conductivité hydraulique a été étudié par Kunze et al. (1968). Ils concluent que la précision de la prédiction est grandement améliorée lorsque la fonction de rétention est décrite sur tout le domaine (i.e. de θw,r à θw,s). Kunze et al. (1968) ont également démontré que les modèles statistiques peuvent être utilisés pour la supputation d’un segment de la fonction de conductivité hydraulique représentant, soit l'absorption ou la désorption. Cette affirmation n’est cependant pas applicable aux modèles macroscopiques qui supposent que les pores sont de tailles uniformes.

Lorsque la fonction de rétention d’eau est représentée par une équation empirique, ces intégrales peuvent être résolues par voie d’intégration numérique. Puisque l’équation empirique [4.37] représente la fonction de rétention d’eau sur une gamme étendue de succion matricielle, Fredlund et al. (1994) remplacent la borne d’intégration supérieure du modèle de Childs & Collis-George (1950) par une succion matricielle de 1·10⁶ kPa. En absence de données expérimentales, Leong

& Rahardjo (1997(b)) suggèrent alors d’utiliser un paramètre de connectivité &

tortuosité élevé (i.e. l = 2). Certains auteurs ont néanmoins développés des

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 83 modèles physico-empiriques en forme close résultant de la solution symbolique des intégrales. À titre d’exemple, le tableau A.3 présente divers modèles physico-empiriques répertoriés dans la littérature. Il est à noter que la solution symbolique est parfois dépendante d’une restriction paramétrique du modèle empirique de la fonction de rétention d’eau.

En omettant les forces d’adsorption et d’adhésion ainsi que l’occupation biphasique des interstices, les modèles statistiques sont fondés sur une représentation incomplète des processus thermodynamiques à l’échelle interstitielle (cf. Nitao & Bear, 1996). Cette approche peut donc être considérée inappropriée à des succions matricielles élevées (i.e. (ua - uw) ≥ (ua - uw)r) où l’eau interstitielle est principalement contrainte par des forces d’adsorption et d’adhésion. À de telles succions, les mouvements hydriques peuvent être attribués à une pellicule d’eau sise à la surface des grains (e.g. Li & Wardlaw, 1986 ; Toledo et al., 1990). Bien que Tuller & Or (2001) aient récemment présenté un modèle théorique complexe permettant une représentation plus réaliste des processus thermodynamiques, son implémentation demeure inadéquate en présence de matériaux à porométrie uniforme. Selon Leij et al. (2002), la déficience des modèles statistiques suggère l’introduction de corrections empiriques.

CHAPITRE V

COMPARAISON DES MÉTHODES EXPÉRIMENTALES POUR LA

Dans le document DÉVELOPPEMENT D’UNE MÉTHODOLOGIE DE SÉLECTION DES MATÉRIAUX DE FONDATION (Page 130-137)