Approche saturée/non saturée

De façon générale, dans les sols non saturés, les mouvements d’eau se font sous diverses formes selon l’état des phases fluides (i.e. eau et air). Effectivement, dans la frange capillaire, l’air se retrouve sous forme occluse et le mouvement de l’eau ne se fait que par la phase aqueuse. Lorsque le degré de saturation atteint environ 85% (cf. Corey, 1954), les phases fluides ont des continuités distinctes et on dit qu’elles sont sous forme funiculaire. Le mouvement de l’eau se fait alors majoritairement par la phase aqueuse tandis qu’un faible volume d’eau se déplace par la phase gazeuse sous forme de vapeur d’eau. Finalement, lorsque le sol est sec, la phase aqueuse se retrouve sous forme lenticulaire. Le mouvement de l’eau s’effectue alors par la phase gazeuse (sous forme de vapeur d’eau) ou encore, par une pellicule continue d’eau adhérée (cf. Kovács, 1981 ; Dullien et al., 1989). La pellicule d’eau adsorbée, dont la viscosité dynamique est quasi infinie, ne participe généralement pas au mouvement de l’eau interstitielle.

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 35 À l’échelle macroscopique, l’eau circule dans le sol sous l’influence du gradient hydraulique (i.e. i_w = Δ Δh l) et ce, indépendamment du degré de saturation du sol.

La valeur de la charge hydraulique totale h, pour un fluide incompressible, peut être déterminée à l’aide de l’équation de Bernoulli et ce, en exprimant l’énergie par unité de poids : hp : charge de pression d’eau interstitielle, L ;

q_w : flux superficiel de l’eau par rapport à l’origine, L·T^-1 ; uw : pression d’eau interstitielle, F·L^-2 ;

z : charge d’élévation par rapport à un datum arbitraire, L ; ρw : masse volumique de l’eau, F·L^-4·T².

Il est à noter que l’énergie du fluide peut également être exprimée par unité de masse ou par unité de volume d’où, la définition des potentiels φ (unités : L²·T^-2) et P (unités : F·L^-2) respectivement (cf. Hillel, 1980). L’état énergétique, ou potentiel, du fluide se décompose donc en énergie cinétique, attribuable à la vitesse de déplacement du fluide, en énergie de pression et en énergie potentielle, selon sa position dans un champ de force. Le flux superficiel d’écoulement de l’eau n’est qu’un flux fictif qui est celui d’un écoulement traversant une surface transversale A tandis que la vitesse réel moyenne correspond à la vitesse de l’eau s’écoulant dans les pores du sol (i.e. q n_w ). Notons qu’en milieu poreux, la charge de vitesse (i.e. ^q_w²

(

2⋅^g

)

) est omise puisqu’elle est très faible par rapport à la charge de pression d’eau interstitielle et la charge d’élévation. Physiquement, la variation de charge hydraulique correspond au travail réalisé lors du processus d’écoulement ou encore, à l’énergie requise pour déplacer un fluide entre deux points du champ de force.

En plus d’être engendré par une différence de potentiel, le mouvement de l’eau interstitielle obéit à deux lois fondamentales, soit : la loi de la conservation de la masse d’eau et la loi de comportement de Buckingham-Darcy.

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 36 4.1.1 Loi de la conservation de la masse d’eau

Les équations auxquelles obéissent les phénomènes à l’échelle macroscopique sont formellement obtenues à partir des équations microscopiques de la thermodynamique des milieux continus auxquelles sont appliquées des procédures spécifiques de changement d’échelle tel la moyenne volumique. Selon l’approche Eulérienne, la loi de la conservation de la masse s’obtient avec un volume spécifique, fixe et indéformable, qu’on appelle volume de contrôle. Malgré que la forme du volume de contrôle soit arbitraire, ses frontières (ou surfaces de contrôle) doivent toujours former une surface close dans l’espace (cf. Figure 4.1).

En utilisant le concept de volume de contrôle, la forme généralisée de cette équation se développe comme suit (cf. Hillel, 1980 ; Bear, 1988) :

( )

Figure 4.1 Élément différentiel pour le développement de l’équation de la conservation de masse ou d’énergie.

Surface de contrôle (cs)

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 37 Développons le premier terme de gauche :

( )

δt : incrément temporel infinitésimal, T.

Développons le second terme de gauche :

( ) ( ) Jp,y : composante scalaire du flux massique dans la direction de l’axe des y, F·L^-3·T ; Jp,z : composante scalaire du flux massique dans la direction de l’axe des z, F·L^-3·T.

En utilisant une expansion de Jp,x, Jp,y et Jp,z, par série de Taylor et en négligeant les termes d’ordre deux et plus, on obtient :

t

Effectuons maintenant la sommation de l’équation de la conservation de la masse (i.e. équation [4.2]) avec les termes ainsi développés :

( )

En utilisant le concept de flux superficiel et en considérant que l’eau est compressible, l’équation de conservation de la masse d’eau, ou de continuité, s’exprime ainsi :

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 38 4.1.2 Loi de Buckingham-Darcy

En considérant une approche macroscopique du transfert hydrique dans les sables saturés homogènes et isotropes, Darcy (1856) a démontré que le flux d’eau à travers une section transversale A d’un élément parallélépipédique de sol de longueur Δl est directement proportionnel au changement de charge hydraulique totale Δh. En définissant la convention de signe arbitraire Δh = h2 – h1 avec h1

supérieur à h2, la loi de Darcy s’écrit : h

k

q_w =− _w,s ⋅∇ [4.8]

où : kw,s : conductivité hydraulique à saturation, L·T^-1.

Dans un contexte multidimensionnel, la généralisation formelle de cette équation s’écrit comme suit et ce, en notation vectorielle :

h k_ws⋅∇

−

= _,

qw [4.9]

Il est important de noter que la conductivité hydraulique doit être représentée par son tenseur d’ordre deux symétrique kw,s lorsque le milieu poreux est anisotrope.

Maints auteurs ont confirmé que l’écoulement de l’eau dans un sol non saturé est également régi par cette loi de comportement et donc, qu’à une teneur en eau donnée, la conductivité hydraulique est constante et le flux est linéairement proportionnel au gradient hydraulique (cf. Buckingham, 1907 ; Richards, 1931 ; Childs, 1936 ; Childs & Collis-George, 1950). La différence principale entre l’écoulement en milieu saturé et non saturé réside dans la variation de la conductivité hydraulique avec la teneur en eau et indirectement avec la succion matricielle lorsque le milieu est non saturé. Les pores remplis d’air ne peuvent donc contribuer à former des canaux conducteurs d’eau et leur comportement est assimilable à celui de la phase solide du sol (Childs, 1969). Pour un sol saturé/non saturé isotrope, la loi de Buckingham-Darcy s’exprime donc ainsi :

h k_w ⋅∇

−

w =

q [4.10]

où : kw : conductivité hydraulique, L·T^-1.

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 39 4.1.3 Équation constitutive du transfert hydrique

En substituant la forme généralisée de la loi de Darcy ou, loi de Darcy-Buckingham, pour un milieu poreux anisotrope dans l’équation de continuité, on obtient :

La dérivée temporelle du rapport du volume d’eau et du volume total initial (i.e.∂

(

V_w V_o

)

∂t) de cette équation peut être obtenue en effectuant la dérivée temporelle de l’équation constitutive du changement de volume de la phase d’eau (cf. Fredlund & Morgenstern, 1976 ; Fredlund & Rahardjo, 1993). En présumant que les coefficients de changement de volume m₁^w et m₂^w sont constants pour un incrément temporel donné au cours du processus transitoire, la dérivée temporelle de l’équation constitutive s’exprime par :

( )

^{∂ σ −} changement de contrainte normale nette, F^-1·L² ;

w

m2 : coefficient de changement de volume d’eau à l’état liquide par rapport à un changement de succion matricielle, F^-1·L² ;

(ua – uw) : succion matricielle, F·L^-2 ;

(σ_moy. – u_a) : contrainte normale nette moyenne, F·L^-2.

De façon générale, l’approche monophasique est employée dans la formulation de l’équation du transfert hydrique. Cette approche, qui néglige l’écoulement de la phase gazeuse et par le fait même, son influence sur l’écoulement de la phase aqueuse, implique que :

(1) La phase gazeuse est continue dans la région non saturée (i.e. ∂ua/∂t = 0).

(2) La pression absolue d'air interstitiel correspond à la pression atmosphérique (i.e. ua = 0).

(3) La phase gazeuse se déplace dans le sol avec une résistance négligeable (i.e. μa = 0).

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 40 De plus, on considère qu’il n’y a pas de chargement (ou déchargement) externe de la masse de sol durant le processus transitoire (i.e. ∂σmoy./∂t = 0). En appliquant ces hypothèses, l’équation précédente est réduite à :

( )

En substituant cette relation simplifiée dans l’équation [4.11] tout en reformulant la dérivée temporelle de la masse volumique de l’eau en terme de sa compressibilité Cw à température constante (i.e. ∂ρ_w ∂ =t ρ_w⋅C_w ⋅ ∂u_w ∂t) et en exprimant la

Puisque la composition chimique du fluide interstitiel peut influencer sa masse volumique, Frind (1982 (a) et (b)) propose d’exprimer l’équation du transfert hydrique en fonction de la charge de pression d’eau référentielle (i.e.

, ,

p w w o w w o p

h =u ρ ⋅ ∴g u =ρ ⋅ ⋅g h où ρ_{w o,} est la masse volumique référentielle de l’eau pure). En effectuant cette permutation, l’équation s’exprime :

, , 2

De cette équation générale, il est possible de développer maintes formes de l’équation constitutive du transfert hydrique (i.e. régime permanent ou transitoire, eau peu compressible ou incompressible, milieu saturé ou non saturé, isotrope ou anisotrope ou encore, compressible ou incompressible). Les équations communément rencontrées dans la littérature sont décrites dans les paragraphes subséquents. Notons que dans le cadre de cette étude, le comportement hystérétique des propriétés hydrauliques est omis. De ce fait, chaque sol introduit dans la simulation doit être représenté par des relations singulières.

Chapitre IV : Transfert de masse en milieu poreux 41 Cas 1 :

Hypothèses : 1- Régime transitoire.

2- Fluide interstitiel peu compressible et de masse volumique

Dans le document DÉVELOPPEMENT D’UNE MÉTHODOLOGIE DE SÉLECTION DES MATÉRIAUX DE FONDATION (Page 87-94)