Méthodes de résolution

2.4.3.1 Problèmes de satisfaction de contraintes

Les problèmes de satisfaction de contraintes (csp - Constraint Satisfaction Problems ) per-mettent de modéliser de la connaissance et de raisonner sur celle-ci an de trouver l'ensemble des solutions compatibles avec un problème courant. Les premiers problèmes de satisfaction de contraintes ont été dénis par Montanari (Montanari, 1974) il y a une trentaine d'années. Dénition 1 : Problèmes de satisfaction de contraintes Les problèmes de satis-faction de contraintes sont dénis comme un triplet (V ; D; C) où :

 V = v1; v2; . . . ; vk est un ensemble ni de variables,

 D = d1; d₂; . . . ; d_k est un ensemble ni de domaines de dénition des variables,  C = c1; c₂; . . . ; c_k est un ensemble ni de contraintes portant sur les variables.

Trouver les solutions d'un problème donné revient à résoudre le problème de satisfaction de contraintes, c'est-à-dire à traduire les fragments de connaissances élémentaires soit sous forme d'élément unique de C, soit sous forme de plusieurs éléments répartis sur le triplet (V ; D; C) (Vernat, 2004). C'est le niveau d'abstraction du fragment qui va déterminer si celui-ci est directement utilisable sous la forme d'une contrainte, ou s'il doit être décomposé. Dénition 2 : Solution d'un CSP Une solution d'un problème de satisfaction de contraintes est une instanciation de toutes les variables respectant toutes les contraintes. Propagation des contraintes Propager cette contrainte se fait alors simplement par arc-consistance locale sur chacune des contraintes. La contrainte est modélisée sous la forme d'un graphe biparti, où sont représentées d'un côté les variables, de l'autre l'union des domaines des variables. Une arête entre une variable et une valeur indique que cette valeur fait partie du domaine de la variable. La contrainte est évidemment consistante si et seulement si le couplage maximum du graphe est de cardinalité n.

L'intégration de tels algorithmes permet de bénécier de l'ecacité de techniques de re-cherche opérationnelle dans le cadre très souple de la programmation par contraintes. En d'autres termes, nous disposons d'une part d'algorithmes très ecaces de recherche opéra-tionnelle mais dont le spectre d'utilisation est parfois réduit, et d'autre part de techniques plus générales de propagation de contraintes dont le spectre est beaucoup plus large mais dont l'ecacité reste souvent à démontrer.

Résolution des problèmes de satisfaction des contraintes Les méthodes complètes de résolution de CSP explorent de manière systématique l'espace de recherche et sont ca-pables de fournir toutes les solutions d'un problème. L'algorithme de recherche de base le plus souvent utilisé est l'algorithme de retour arrière ou Backtrack (Golomb et Baumert, 1965). Cet algorithme met en place une stratégie de profondeur avec un mécanisme de re-tour arrière sur la situation précédente lorsqu'il détecte que l'aectation partielle courante 5

n'est pas cohérente. Il est souvent amélioré par des heuristiques déterminant, par exemple, l'ordre des variables à instancier et l'ordre des valeurs à tester pour minimiser le nombre de branches à explorer.

Les méthodes de résolution dites incomplètes n'explorent pas de façon systématique l'es-pace de recherche. Elles sont basées sur une exploration opportuniste de l'ensemble des aectations complètes6 et ne fournissent qu'un sous-ensemble de solutions. Elles nécessitent une fonction d'évaluation et de comparaison d'aectations. Nous pouvons citer la méthode de recherche tabou (Glover et Laguna, 1993) ou le recuit simulé (Kirkpatrick et al., 1983). Ces méthodes incomplètes sont généralement utilisées pour résoudre des problèmes de taille élevée.

Les méthodes de résolution utilisées fournissent un ensemble de solutions. Il faut alors choisir la solution la mieux adaptée au problème de départ. Comme pour les raisonnements à base de cas, ce choix nal requiert un eort de réexion et d'analyse supplémentaire.

Cependant, nous menons cette recherche dans un contexte où intervient le phénomène de l'explosion combinatoire, puisque la taille du problème peut évoluer exponentiellement avec la dimension du réseau étudié.

2.4.3.2 Simulation de Monte Carlo

La simulation de Monte Carlo est une méthode numérique basée sur le tirage de nombres aléatoires (Kermisch et Labeau, 2002). Elle permet d'estimer l'espérance mathématique d'une variable aléatoire qui est une fonction de plusieurs paramètres. Elle permet également d'estimer toute quantité, déterministe ou stochastique, dont la valeur a pu être associée à l'espérance mathématique d'une variable aléatoire qui n'est pas directement liée à la physique du problème étudié.

La simulation de Monte Carlo (Batut, 1986; Desieno et Stine, 1964; Dubi, 2000) est une technique utilisée pour estimer la probabilité des résultats en répétant un grand nombre

de fois une expérience à l'aide de la simulation et en utilisant des nombres aléatoires. La simulation est une méthode qui a pour but d'imiter un système réel. La simulation de Monte Carlo est utilisée lorsque d'autres analyses sont mathématiquement trop complexes ou trop diciles à reproduire.

L'utilisation de la simulation Monte Carlo dans l'étude de sûreté de fonctionnement permet de lever l'hypothèse markovienne et permet de traiter des systèmes industriels. Depuis les années 80, diérentes méthodes ont été développées, comme les méthodes de transitions forcées qui permettent de réduire le nombre d'histoires à simuler. D'autres techniques se sont basées sur la réduction de temps d'une histoire. Des méthodes pour accélérer la simulation ont été développées dans (Champagnat, 1998).

En général, la simulation de Monte Carlo est associée à une autre méthode, cette dernière modélise le comportement d'un système. La simulation de Monte Carlo permet de réaliser un grand nombre d'histoires du système modélisé. Un traitement statistique permet ensuite d'obtenir les résultats recherchés.

Un des avantages de la simulation de Monte Carlo est sa faible sensibilité à la complexité et à la taille des systèmes. Cependant, dans le cadre de la sûreté de fonctionnement, le modèle simulé est régi par des évènements très rares, les défaillances, et des évènements très fréquents, fonctionnement normal du système, et ce, simultanément. La simulation est alors cadencée par de nombreuses occurrences d'évènements fréquents qui ne reètent pas le comportement du système en présence de défaillances. C'est le problème de simulation des évènements rares. Un nombre important d'histoires est nécessaire pour voir apparaître un évènement redouté, ce qui implique des temps de calcul importants. De nombreuses techniques d'accélération de la simulation permettent de réduire ces temps (Garnier, 1998). Elles sont basées soit sur une diminution de la complexité du modèle, soit sur la réduction du nombre de scénarios à simuler, en favorisant l'apparition des évènements rares. Toutefois, ces méthodes ne sont pas toujours faciles à mettre en ÷uvre, car elles impliquent des hypothèses assez fortes et/ou ne fournissent pas forcément des estimateurs de qualité.

L'inconvénient de la simulation de Monte Carlo, par rapport à d'autres méthodes ana-lytiques, est la durée du temps de calcul nécessaire. Ceci est directement lié à la précision. Par exemple, la précision d'un paramètre évalué à partir de N tirages aléatoires est dénie par la quantité K(N, α) de la fonction de Kolmogorov pour un seuil de risque α donné.

K(N, α) = s

ln(_α²)

2(N + 1) (2.6) Par ailleurs, pour les systèmes complexes, les ingénieurs se limitent le plus souvent à exé-cuter des simulations Monte Carlo car celles-ci sont basées sur l'utilisation de générateurs de nombres aléatoires. Cette méthode est mal adaptée, en particulier dans l'étude des évè-nements qui se produisent avec une faible probabilité. Les simulations Monte Carlo doivent alors être répétées un si grand nombre de fois que le temps de calcul en devient rédhibitoire. Avec l'augmentation de la puissance de calcul des machines, cette critique devient moins fondée et il convient de remarquer que les méthodes de Monte Carlo permettent toujours d'estimer l'intervalle de conance des résultats obtenus, ce qui est généralement impossible pour les méthodes analytiques nécessitant de nombreuses approximations dans leur mise en ÷uvre.

Cette section a porté sur les méthodes d'évaluation du risque. Nous avons d'abord pré-senté les méthodes qualitatives incluant les méthodes basées sur l'analyse fonctionnelle et la matrice des risques, devenues un standard dans le monde industriel. Ensuite, nous avons discuté les méthodes quantitatives utilisées pour évaluer le risque des systèmes complexes comme les systèmes relatifs aux applications de sécurité. Autant de méthodes pour un seul objectif : évaluer. Un comparatif des méthodes étudiées s'impose.

2.5 Comparaison des méthodes d'analyse des risques