Méthodes basées sur la géométrie fractale

La plupart des objets présents dans la nature présentent des formes complexes et

irrégulières faites de découpages, d’embranchements et de surfaces rugueuses. Les objets

fractals sont des objets mathématiques ou naturels présentant des formes extrêmement

irrégulières ou fragmentées quelque soit l’échelle d’observation et des structures qui se

reproduisent de façon identique à des échelles différentes. Ces objets ne sont pas décrits

correctement par la géométrie euclidienne. La géométrie fractale est actuellement de plus

en plus populaire en biologie et science des matériaux pour décrire ces objets complexes.

Il existe deux types d’objets fractals : les fractales stochastiques ou aléatoire et les

fractales déterministes. Cette différence provient de la manière dont ces objets sont créés.

Ils sont déterministes lorsque ces objets sont isssus d’un algorithme entièrement connu et

aléatoires lorsqu’ils proviennent de processus stochastiques.

- Les fractales déterministes.

Les fractales déterministes sont des objets entièrement générés par algorithme pour

lesquels il est aisé de calculer la dimension fractale qui les caractérise. Ils sont le

résultat de recherches en mathématique pure et ont permis l’élaboration de formes

comme le flocon de neige de Von Koch, le triangle de Serpinski, la courbe de Peano.

Ils sont issus de processus mathématiques bien définis, parfois très simples, et

présentent certaines propriétés particulières, longueur infinie, continuité délimitant

une surface finie qui fait parler de monstres mathématiques.

- Les fractales stochastiques.

Les fractales stochastiques proviennent du monde réel ou sont générées par des

phénomènes régis par des lois entièrement aléatoires. L’exemple le plus connu, donné

par Mandelbrot est celui de l’escarpement de la côte maritime de Grande-Bretagne.

Pour mesurer la longueur de la côte entre deux points fixes, on reporte un nombre N

de fois un compas d’écartement ε pour relier les deux points. La longueur L(ε)

séparant les deux points est ansi définie :

ε

ε

ε)= ( )×

( N

L

Un compas d’écartement ε ne tient pas compte des détails inférieurs à cet écartement

et donc induit une erreur. Cette erreur est d’autant plus importante que l’écartement

du compas est important. D’autre part, si on ferme le compas, la longueur mesurée

croît. En prenant des échelles d’observations croissantes, on augmente la longueur

calculée. Mandelbrot résout ce problème en s’inspirant des travaux de Richardson

(Mandelbrot, 1982). Il détermine un paramètre ne dépendant plus directement de

l’ouverture ε et du nombre N(ε) mais caractérisé par une constante Df qui détermine

le degré d’escarpement de la côte :

1

1

)

( ≈

L

ε

ε

soit 1( )

=

N ε ε

Cette constante Df représente la dimension fractale de la côte maritime analysée et

s’obtient directement par la relation suivante :

ε

ε

1

log

))

(

log(N

Df =

b - Dimension fractale

Les techniques d’analyse fractale utilisent souvent l’élévation verticale des niveaux de

gris de l’image. Ainsi une image bidimensionnelle en noir et blanc est en fait un réseau de

pixels dont on connaît les coordonnées x et y. Le niveau de gris du pixel peut donc être

compris comme la troisième dimension z permettant alors de convertir l’image 2D en 3D.

Ces objets peuvent être caractérisés par leur dimension fractale D comme nous l’avons

vu.

Plus un objet fractal possède une structure rugueuse, plus sa dimension fractale est

importante. De nombreuse méthodes d’estimations sont disponibles : méthode des boites,

méthode des gratte-ciel, méthode des couvertures…

c - Propriétés caractéristiques des fractales

La propriété d’invariance leur conférant un aspect identique lorsqu’elles sont examinées à

des échelles différentes est appelée auto-similarité. Un objet auto-similaire est composé

de copies de lui-même réduites par un facteur d’échelle. Chaque copie peut subir après sa

réduction des translations ou des rotations. Chaque partie d’une courbe ou d’une surface

présente donc un aspect identique à la courbe (ou à la surface) prise dans son intégralité à

un facteur d’échelle près. Cette propriété n’est vérifiée en général qu’avec les fractales

déterministes.

Les objets naturels ne respectent pas strictement cette propriété d’autosimilarité. Ils

vérifient plutôt une propriété d’autosimilarité statistique : ils sont composés de sous

ensembles distincts réduits par un facteur d’échelle différent mais possédant les mêmes

propriétés statistiques que l’ensemble original. On parle d’auto affinité plutôt que

d’autosimilarité.

d - Signature fractale

Pour un objet fractal, le calcul de la dimension fractale est indépendant du choix de

l’agrandissement. Par contre pour un objet non strictement fractal, la dimension fractale

est fonction de l’agrandissement. Cette fonction est appelée signature fractale.

Pour un objet fractal, la courbe log (A(ε)-log(ε)) est une droite dont la pente correspond à

la dimension fractale.

Pour une surface non fractale, la pente à une résolution donnée est utilisée pour définir la

dimension fractale à cette échelle. A partir de cela, on peut définir une signature fractale

qui est la dimension fractale estimée entre 3 points ε-1, ε et ε+1. La signature renseigne

sur la composition des primitives de l’image.

e - Méthode fractale des gratte-ciels

Cette méthode considère la surface tridimensionnelle de l’image comme une collection de

parallélépipèdes de hauteurs égales à l’intensité des niveaux de gris de l’image, de base

carrée de coté ε. L’aire surfacique de l’image est déterminée par la somme des aires des

carrés de côté ε correspondant au sommet des parallélépipèdes et des aires des faces

exposées de ces parallélépipèdes (Caldwell, et coll., 1998).

f - Méthode fractale des couvertures.

La méthode des couvertures morphologiques, développée par Peleg est fondée sur le

calcul de l’aire surfacique couvrant l’image (Peleg, et coll., 1984). Elle implique la

définition de surfaces supérieure et inférieure constituant ainsi une couverture « blanket »

qui recouvrent la surface initiale. Cette couverture est obtenue par dilation et érosion de

l’image initiale à partir d’un élément structurant de taille ε x ε. L’aire surfacique est alors

définie par le volume occupé par cette couverture divisée par 2 x ε.