Les équations aux dérivées partielles (EDP) issues de la mécanique des milieux continus sont traditionnellement résolues par des méthodes numériques qui ont connu un essor croissant depuis une quarantaine d’années avec les progrès fulgurants et continus de l’informatique.
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Les problèmes de structures solides et de thermique sont par exemple souvent traités avec la méthode des éléments finis ([ZIE.91], [BER.00] et [BER.04]). Les EDP associées aux écoulements fluides ont été traités dans le passé par la méthode des différences finies (FDM:
Finite Différence Method). On peut par exemple citer [KOV.84] où a été développé un
modèle théorique pour un arc d’argon. Aujourd’hui, les problèmes d'écoulement fluide sont majoritairement résolus par la méthode des volumes finis (FVM: Finite Volume Method) car cela permet d’obtenir des résultats précis avec une grande flexibilité au niveau de la représentation de la géométrie des domaines d’étude [TAY.02].
La méthode des éléments finis (FEM: Finite Element Method) permet de déterminer plusieurs champs locaux attribués à des sous domaines du maillage (élément). Le champ global est obtenu par juxtaposition des champs locaux de telle sorte qu’il soit proche de la solution du problème. La méthode des éléments finis peut s’adapter à une géométrie quelconque et est très souvent utilisée pour les analyses en thermique et en mécanique des solides et, plus généralement, pour tout problèmes multi-physique.
La méthode des volumes finis, qui permet de faire un bilan local des flux dans un petit volume de contrôle, est la base de tous les codes généralistes en mécanique des fluides. Jeong et al. [JEO.14] ont comparé l’utilisation des éléments finis et des volumes finis dans le domaine du CFD (Computational Fluid Dynamics). Les résultats obtenus ont montré que les codes FEM CFD comme ADINA étaient plus sensibles au type et à la qualité des mailles que les codes FVM CFD comme ANSYS CFX ou FLUENT. Le temps de calcul est de surcroît beaucoup plus court avec les volumes finis qu’avec les éléments finis.
Pour résoudre le problème thermique tridimensionnel complet dans le cadre de notre travail de thèse, nous avons effectué une analyse transitoire avec une discrétisation temporelle en plus de la discrétisation spatiale liée au maillage. Ce choix n’est pas trop pénalisant en termes de temps de calcul car les maillages que nous avons manipulés sont de taille modeste. Une alternative aurait été d’effectuer une analyse thermique en quasi stationnaire qui présente l’avantage d’être rapide. On pourra par exemple trouver dans [BER.00] une approche de ce type, une analyse quasi stationnaire étant réalisée au début de l’opération de soudage. Cette analyse quasi stationnaire sert ensuite d’initialisation pour une analyse transitoire dédiée à la fin de l’opération de soudage et à la phase de refroidissement.
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I.E.1.1 Maillage
Le maillage de la géométrie peut être uniforme, non uniforme statique ou adaptatif dynamique. Si la réduction du temps de calcul est un impératif, les maillages non uniformes statiques ou adaptatif dynamique sont recommandés ([LIN.97], [RUN.02], [KUA.08]). Dans le cas d’un maillage non uniforme statique, le maillage est fin dans la zone d’apport de chaleur et grossier dans les zones annexes. Dans le cas d’un maillage adaptatif dynamique, le raffinement ou le grossissement de la taille des mailles s’effectue en fonction de la position de la source mobile de chaleur [LIN.97]. Le maillage adaptatif dynamique exige donc un algorithme de transport de grandeurs physiques d’une taille de maille à l’autre, car cette variation de la taille des mailles provoque une réduction de l’état de contrainte résiduelle lorsque la taille du maillage est plus grande [RUN.02]. La problématique d’adaptation de maillage peut être subdivisée en deux parties [KUA.08] :
• la définition des critères d’adaptation,
• la génération ou modification de maillages de façon à respecter localement des critères d’adaptation.
Lors de la variation de la taille des éléments, il y a en général une perte d’informations ou de précision appelée erreur [LIN.97]. Dans ce cadre, Runnemalm et al. [RUN.02] ont introduit une formulation d'erreur a posteriori permettant d'évaluer à la fois la distribution de l’erreur sur la thermique et sur la mécanique. Pour cela, ils utilisent des mesures d’erreur pour guider le raffinement de maillage et concluent qu'il est préférable de combiner des mesures thermiques et des mesures mécaniques et qu’un remaillage ne peut être efficace sans mesure d’erreur. Lindgren et al. [LIN.97] ont proposé une procédure de remaillage automatique qui permet de réduire de 60% le temps de calcul. Ce résultat est obtenu sans perte de précision. La logique est de déterminer la taille des éléments en fonction de leurs distances par rapport à l'arc de soudure. Les auteurs ont ainsi suggéré de combiner leur logique avec une mesure d'erreur afin de disposer d'un outil polyvalent pour l’utilisation du maillage dynamique.
I.E.1.2 Modélisation de la source de chaleur
Dans la simulation thermique d’un processus de soudage, la principale difficulté est la modélisation de la source de chaleur. D. Rosenthal [ROS.46] a été l’un des premiers à proposer une représentation analytique de la source de chaleur dans un corps semi-infini. Ceci
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lui a permis de tenir compte de paramètres tels que l’intensité du courant, la vitesse de soudage et la géométrie de la pièce. Ultérieurement, les travaux de Christensen et al. [CHR.65] ont montré une bonne corrélation entre la source de chaleur ponctuelle proposée dans [ROS.46] et la géométrie réelle de la soudure. Cependant, selon la géométrie considérée, la différence entre les mesures expérimentales et le calcul peut atteindre un facteur trois. Les méthodes analytiques présentent en effet des limites puisqu’elles concernent principalement des milieux semi-infinis. Selon les cas, le transfert de chaleur est concentré en un point, sur une ligne ou sur une surface. De surcroît, les formules associées doivent être adaptées en fonction de l’épaisseur, de la forme et des dimensions de la soudure. Dans le cas où les tôles à souder sont épaisses, le transfert de chaleur a lieu dans les trois directions x, y et z et la source de chaleur est considérée comme une source ponctuelle :
T=
( )
−
(I.1)où T est la température,
α
la diffusivité thermique (m2.s-1), c la capacité thermique massique (J.kg-1.K),ρ
la masse volumique (kg.m-3), t le temps (s) et Q l'énergie (J) absorbée par la plaque à souder :Q =
η
I U (I.2)où
η
représente le rendement de la source de chaleur, I l’intensité du courant (A), U la tension de soudage (V) et D la distance (m) entre le centre de la source de chaleur, située à l’origine, et le point courant de coordonnées (x, y, z) := ( + + ) (I.3)
Dans le cas du soudage bout à bout de barres de fer, la distribution de température est supposée uniforme dans la section de la barre :
T=
( ) − (I.6)
où A est l'aire de la section et où D, la distance du point courant à la source, ne représente plus maintenant que la coordonnée le long de la fibre neutre de la barre.
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Dans le cas d’un soudage de plaques minces infinies, la variation de la température dans l'épaisseur z de la plaque peut être négligée et la distribution de chaleur s’effectue dans le plan (x, y) :
T=
−
(I.4)où toutes les quantités impliquées dans l’équation (I.4) ont déjà été introduites dans l’équation (I.1), à l’exception de
λ
et h qui représentent respectivement la conductivité et l’épaisseur des plaques. La longueur D décrit maintenant la distance entre le point courant de coordonnées (x,y) dans le plan et le centre de la source de chaleur située à l’origine. D ne dépend donc plus de z := ( + ) (I.5)
Pour améliorer les modèles analytiques, qui ne permettent pas de prendre en compte une variation des propriétés physiques des tôles à souder en fonction de la température, N. N. Rykalin [RYK.63] a proposé une approche numérique en 1D et en 2D mais avec les capacités CPU limitées des années 60.
Les mesures de températures dans le bain de fusion et dans les zones affectées thermiquement ont montré par ailleurs que les modèles basés sur une source de chaleur concentrée en un point [ROS.46] ne correspondent pas à la réalité. En effet, comme indiqué dans les travaux de J. Goldak [GOL.84], l’hypothèse de source concentrée ne présente une bonne corrélation que dans les zones où la température n’excède pas 20% de la température de fusion. Pour pallier ce défaut, une nouvelle génération de source de chaleur à base de profils Gaussiens a été développé [PAV69]. Le prochain paragraphe en fait la présentation.