Ce paragraphe est consacré au calcul du coefficient sécant de dilatation thermique en fonction de la température, sachant que ce coefficient n'est pas fourni explicitement par le Tableau II.5 qui décrit les propriétés matérielles de l'acier AISI 316L. Pour procéder à ce calcul, on commence par rappeler que le coefficient de dilatation thermique volumétrique est défini par [DEG.07] :
•(•)_st = #_ }_}• ž (II.11)
où V est le volume et l'indice P indique que le calcul est réalisé à pression constante. En prenant en compte le fait que la masse se conserve, l'équation (II.11) s'écrit de manière équivalente :
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•( )_st= − # }}• ž= − }trρ } (II.12)
où
ρ
représente la masse volumique et ln la fonction logarithme népérien. En supposant ensuite que le matériau est isotrope (ce qui est le cas de l'acier AISI 316L) et en considérant l'hypothèse des petits déplacements (hypothèse relativement standard dans le domaine des soudures), on rappelle [SEE.13] la relation classique entre le coefficient de dilatation thermique isotrope linéaire instantané •( )nr et le coefficient de dilatation volumique •( )_st :•( )nr= #G•( )_st (II.13)
En reportant (II.12) dans (II.13), on obtient finalement :
•( )nr=− 13Ÿ hρ ŸŠ (II.14)
En traçant la dépendance de
ρ
vis-à-vis de T à partir du Tableau II.5, on observe (Figure II.10) qu'il est possible d'approximer h(ρ) par un polynôme du second degré. L’insertion de ce polynôme dans l'équation (II.14) conduit à une variation linéaire de •( )nr en fonction de la température :•( )nr = #G(4,47075 10%¡+ 2 × 1,049990 10%¢× Š) (II.15)
Figure II.10 : Approximation par un polynôme du second degré du logarithme de la
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Grâce à l'équation (II.15), la valeur instantanée de la dilatation thermique •( )nr peut donc être obtenue pour chaque température du Tableau II.5. Il ne reste plus qu'à en déduire le coefficient de dilatation thermique sécant. Ce coefficient est important car il permet d'inclure la température de référence Tref dans le calcul des contraintes, ce que ne permet pas de faire le coefficient •( )nr qui représente une variation instantanée autour de la température courante T. La prise en compte de la température de référence constitue un point clef pour le calcul des contraintes élasto-plastiques qui génèrent la déformation des tôles. Ces contraintes sont en effet physiquement remises à zéro lors de la fusion et elles ne seront présentes dans le matériau que lors de la phase de refroidissement et de solidification. Elles apparaitront avec le refroidissement des tôles estimé avec la température de fusion comme température de référence. Autrement dit, les parties non fondues lors du processus de soudage conserveront la température ambiante comme température de référence alors que les parties fondues génèreront des contraintes lors du refroidissement à partir d'une température de référence de 1643 K. Pour tenir compte pratiquement de cet aspect dans le modèle éléments finis, on utilisera deux matériaux différents présentant exactement les mêmes propriétés matérielles, mais en associant aux deux matériaux deux températures de référence différentes. D'un point de vue opérationnel, la gestion des deux matériaux sera opérée de la manière suivante :
• au début du calcul thermique, le premier matériau est affecté à tous les éléments du maillage avec une température de référence Š—qS égale à 300 K,
• à chaque pas de temps du calcul thermique, les éléments dont la température atteint le point de fusion (1643 K) sont enregistrés,
• pendant le calcul mécanique, on affecte le second matériau (avec une température de référence Š—qS égale à 1643 K) aux éléments enregistrés lors du calcul thermique.
Les deux matériaux possèdent le même coefficient de dilatation thermique instantanée, mais deux coefficients de dilatation thermique sécants différents en raison du changement de la température de référence. Le coefficient sécant •( )–q se déduit par une intégration moyenne du coefficient instantané :
•( )–q =
‹£X¦U£ (£)¤¥
% X¦U (II.16)
126 •( )–q = ‹£ ] , §*§¡ #*¨©Y ×#,* ªªª* #*¨«× ^ £X¦U % X¦U = # G¬1,04999 10%¢]Š + Š&qS^ + 4,47075 10%¡- (II.17)
Il est à noter que cette forme polynomiale de degré un vis-à-vis de la température a déjà été utilisée dans la littérature, notamment dans [MOU.08]. Dans cette référence, le coefficient d’expansion thermique (équation 8) concerne un acier de type AISI 304 L qui ne peut donc être comparé stricto sensu avec l’acier AISI 316 L considéré dans cette thèse. Mais les grandes tendances peuvent être considérées comme significatives. La pente dans [MOU.08] est par exemple prise égale à 2.85 10-9 contre #
G1,04999 10%¢≈ 3.5 10%ª dans notre cas (équation II.15). Le terme constant est par ailleurs égal à 16.89 10-6 dans [MOU.08] contre #G®1,04999 10%¢×
300 + 4,47075 10%¡¯ ≈ 15.95 10%L avec l’équation (II.17). Que ce soit pour la pente ou pour le coefficient constant du polynôme, les ordres de grandeur sont donc cohérents, ce qui valide la formule (II.17). La forme polynomiale de degré un en température peut également se justifier par l’utilisation d’une régression linéaire appliquée à des données d’essai comme cela a été réalisé dans [TAN.05] pour l’acier 305. La Figure II.11 montre enfin que la formule linéaire (II.17) que nous avons établie est consistante avec la formule quadratique (II.10) extraite de la base de données ITER [ITE.01]. A une température de 1273 K, qui représente la limite supérieure d’application de la formule quadratique extraite de [ITE.01], on remarque par exemple une corrélation remarquable de l’ordre de 1% (20.408 10-6 pour la formule (II.17) contre 20.177 10-6 pour la formule (II.10)). De plus, la dépendance linéaire avec la température que nous avons retenue, ainsi que les ordres de grandeur du coefficient sécant d’expansion thermique que nous avons calculé, sont conformes aux mesures expérimentales réalisées dans [DEP.04] pour un acier 316 L.
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Figure II.11: Coefficient sécant d’expansion thermique – comparaison des
approximations linéaire et quadratique
La Figure II.12 présente le coefficient de dilatation thermique instantanée calculé à partir de l'équation (II.15) (couleur bleue) et les deux coefficients de dilatation thermique sécant correspondant calculés à partir de l'équation (II.17) (rouge et vert). Les deux courbes relatives aux coefficients sécants sont parallèles avec un écart de#
G1.04999 10%¢(1643 − 300) ≈ 0.47 10%¡
et les deux points d'intersection avec la courbe du coefficient instantané correspondent aux deux températures de référence 300 K et 1643 K.
Figure II.12 : Coefficient de dilatation thermique instantané et sécant (1/K)
0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 C o e ff ic ie n t S e c a n t d 'e x p a n si o n t h e rm in e ( 1 /K ) Temperature (K)
Approximation quadratique (équation II.8) Approximation linéaire (équation II.15)
1 1.5 2 2.5 3 0 500 1000 1500 x 1 0 -5 Alpha instantané Alpha secant TREF = 300 K Alpha secant TREF = 1643 K Alpha
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