Méthode de volumes nis pour des maillages de type éléments nis

II.2.1 Formulation faible

SoitT

hune discrétisation par éléments nis linéaires de h, l'approximation polygonale

II.2. MÉTHODEDEVOLUMESFINISPOURDESMAILLAGESDETYPEÉLÉMENTSFINIS 33

est eectuée à l'aide de triangles tandis que l'on utilise des tétraèdres en dimension trois. A chaque noeud Si, une cellule Ci, montrée sur les gures II.1 et II.2, est construite.

L'union de toutes les cellules forme une nouvelle partition de h:

h = ns [ i=1 Ci : i j G1 G2 I

Fig. II.1  Volume ni (ou cellule) en maillage non structuré bidimensionnel.

Considérons maintenant le problème de Cauchy et aux limites suivant:

8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > :

Q

 + ;! r:

I

F(

Q

) =;

J

; (

x

;) 2IR + ; n ^

E

= 0 ; (

x

;) 2; b IR + ; n^

E

=; s 0 "0 n^(n^

H

) ; (

x

;) 2; 1 IR + ;

Q

(

x

; = 0) =

Q

0(

x

) ;

x

2 ; (II.1) où ;b est une surface métallique parfaitement conductrice (une courbe en dimension

deux) et ;1 la frontière articielle. De plus,

Q

0 vérie les lois de Gauss électrique et

magnétique à l'instant initial. On ne supposera ici que des courants de type volumiques. Les équations de Maxwell sont valables pour n'importe quel volume inclus dans le domaine de discrétisation et en particulier pour les volumes de contrôle que nous venons de dénir. Une formulation faible de (II.1) pour chaque cellule Ci s'écrit alors:

34 CHAPITRE II. APPROXIMATIONNUMERIQUEENMILIEUHOMOGENE 1 M G M2 3 M 3 G 2 G 1 G

i

j k l

Fig. II.2  Volume ni en maillage non structuré tridimensionnel. Z (

Q

h)hdxdy + Z ;! r:

I

F(

Q

h)hdxdy = ; Z

J

hhdxdy ; (II.2)

en prenant comme fonctions tests h les fonctions caractéristiques associées à chaque

cellule: h(

x

) = 8 < : 1 si

x

2C i ; 0 sinon :

En supposant le terme des dérivées temporelles (

Q

h) constant en espace, on obtient

l'équation suivante écrite en chaque noeud Si:

Aire(Ci)(

Q

h) j S i + Z Ci ;! r:

I

F(

Q

h)dxdy = Z ;

J

hdxdy : (II.3)

En utilisant maintenant une formule de Green, l'équation (II.3) devient:

Aire(Ci)(

Q

h) j S i = ; X j2K(i) Z @C ij

I

F(

Q

h):  ijd <1> ; Z @C i \; b

I

F(

Q

h): n ibd <2> ; Z @C i \; 1

I

F(

Q

h): n i1d <3> ; Z

J

hdxdy <4> (II.4)

II.2. MÉTHODEDEVOLUMESFINISPOURDESMAILLAGESDETYPEÉLÉMENTSFINIS 35

où 

ij est la normale sortante à l'interface @Cij entre deux cellules Ci et Cj et K(i)

l'ensemble des noeuds voisins du sommetSi. Les normales extérieures unitaires aux bords

du domaine sont notées n

ib pour un métal parfaitement conducteur et n

i1 pour une

frontière absorbante. Le terme < 1 > référence les ux internes tandis que les termes

<2>et <3>correspondent au ux associés aux conditions aux limites; enn, le terme

<4> représente les courants volumiques.

II.2.2 Schéma décentré d'ordre un

Nous allons maintenant présenter la manière dont nous avons discrétrisé les ux in- ternes <1>. Ce terme intégral est évalué comme suit:



ij = c

I

F(

Q

h):  ; où  = t( 1;2) = Z @C ij  ijd et c

I

F(

Q

h) est une valeur approchée de

I

F(

Q

h) le long de

l'interface@Cij. Nous nous sommes ainsi ramené à l'évaluation de ux dans la direction de

la normaleet donc à un problème monodimensionnel. Comme les équations de Maxwell

sont hyperboliques, il est tout à fait naturel d'utiliser des schémas décentrés. On introduit comme fonction de ux numérique



ij un schéma décentré du premier ordre dépendant

des deux états

Q

i =

Q

h(Si) et

Q

j =

Q

h(Sj) de part et d'autre de l'interface @Cij et

associés à leurs cellules respectives i etj soit:



ij =



(

Q

i;

Q

j) :

Dénition II.2.1

Soient

I

F et A dénis respectivement par (I.21) et (I.22).

Le ux numérique



est dit décentré s'il vérie:



(

u

;

v

) =

I

F(

u

) +₂

I

F(

v

)
 ;

1

2 jAj(

v

;

u

) + O(j

v

;

u

j) :

pour deux états voisins

u

et

v

.

Ceci est une extension directe de la dénition du schéma décentré monodimensionnel de Lax, Harten et Van Leer (cf. [34, 54]).

On peut noter d'après cette dénition qu'un schéma décentré s'écrit comme la somme d'un schéma centré et d'un terme diusif. Ces schémas possèdent donc intrinsèquement un caractère diusif qui leur assure généralement stabilité et robustesse contrairement aux schémas centrés. Mais la diusion peut aussi altérer la précision de la solution, notamment l'amplitude, dans les problèmes instationnaires. Il est donc nécessaire de savoir construire

36 CHAPITRE II. APPROXIMATIONNUMERIQUEENMILIEUHOMOGENE

des schémas décentrés d'ordre élevé.

Remarque II.2.1

Cette dénition a été établie à partir d'un développement de Taylor

de la fonction de deux variables



. Dans la cas présent, le système étudié est linéaire et

la matrice jacobienne A ne dépend pas des variables

u

et

v

. Le terme en O(j

v

;

u

j) est

donc nul.

Remarque II.2.2

Il résulte de la linéarité du système de Maxwell que tous les ux dé- centrés d'ordre un sont identiques; il n'y a donc pas de choix parmi les schémas décentrés pour résoudre numériquement les équations de Maxwell en milieu homogène.

Une étude sur les schémas décentrés commence généralement par une description du pro- blème de Riemann. De nombreux schémas décentrés sont en eet basés sur une résolution exacte (solveurs de Riemann exacts) ou approchée (solveurs de Riemann approchés) de ce problème. Nous présenterons en fait le problème de Riemann associé au système de Maxwell dans le chapitre consacré aux milieux hétérogènes. Nous avons choisi dans cette partie (où nous rappelons que tous les schémas décentrés d'ordre un sont identiques) d'utiliser plutôt un schéma décentré basé sur une décomposition des ux et en particulier la décomposition dite de Steger et Warming [66].

Décomposition de ux de Steger et Warming

Nous introduisons maintenant les notations suivantes avant de décrire le schéma. La matrice jacobienne A() =

I

F

0

(

Q

) étant diagonalisable, on peut le réécrire:

A = T  T ;1 ;

 =diag(k) ;

où k sont les valeurs propres de

A dénies par la formule (I.23).

On pose d'autre part:

A 

= T  T;1 ;

où + =diag(max(

k;0)) et 

; =diag(min( k;0)) .

Nous avons avec ces notations les relations suivantes:

8 < : A = A + + A ; ; jAj = A + ; A ; : (II.5)

La linéarité du système implique de plus:

II.2. MÉTHODEDEVOLUMESFINISPOURDESMAILLAGESDETYPEÉLÉMENTSFINIS 37

D'après les relations matricielles (II.5) et la dénition des schémas décentrés (II.2.1), on obtient la fonction de ux numérique de Steger et Warming qui est donnée par:



ij =



SW(

Q

i;

Q

j; ) = A +( )

Q

i + A ;( )

Q

j :

D'autre part, l'invariance par rotation (I.24) permet d'écrire le ux de Steger et War- ming à l'aide d'une seule des composantes du ux mathématique

I

F(

Q

). Le ux numérique s'écrit alors:



ij =



SW(

Q

i;

Q

j; ) =kkR ;1( A + 1 c

Q

i + A ; 1 c

Q

j) ; (II.6) oùA + 1 et A ;

1 désignent respectivement les parties positives et négatives de A

1 =

@

@

QF

1(

Q

).

On trouvera un calcul explicite des matricesA + 1 et

A ;

Dans le document Résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires par une méthode de volumes finis (Page 40-45)